Арнольд - Обыкновенные дифференциальные уравнения, страница 57

Эта теорема полезна также как технический метод для конструирования днффеоморфизмов. Например, с ее помощью можно доказать, что всякое замкнутое многообразие, имеющее гладкую функцию лишь с двумя критическими точками, гомеоморфно сфере. Рис. 259. Векторное поле, равное 0 вне компакта К 1. Теорема. Пусть М вЂ” гладкое (класса Сс, г > 2) многообразие (рис. 259), о: М ь ТМ вЂ” векторное поле. Пусть вектор о(к) отличен от нулевого вектора ТэМ только лишь в компактной части К многообразия ЛХ. Тогда существует однопараметрическая группа диффеоморфизмов Вэ: М -+ ЛХ, для которой поле и является полем фазовой скорости: — В'*= е(В' ).

д ас Следствие 1. Всякое векторное поле о на компактном многообразии М является полем фазовой скорости некоторой однопараметрической группы диффеоморфизмов. В частности, в условиях теоремы или в условиях следствия 1 имеет место Глава б Следствие 2. Всякое решение дифференциального уравнения х = е(х), х Е М (2) можно продолжать вперед и назад неограниченно. При етом значение решения длх в момент 1 зависит от 1 и от начального условия х гладко.

Злмкчлнив. Условие компактности нельзн отбросить. пример 1. м = ж, х = тз (см. з 1. п. 7): решении нельзя продолжать неограниченно. Примкр 2. М=(х: 0<с<1), х=1. Приступаем к доказательству теоремы. 2. Построение диффеоморфизмов Вл при малых 6. Для каждой точки х Е М существует открыпшя окресгпность П С М и число г > 0 такие, что для любой точки у из (7 и для любого 1 с ф < г решекие длу ураенения (2) с начальным условием у (при 1 = О) существует, единственно, дифференцируемо эаеисит от 1 и от у и удовлетворяет условию и' хх ахб у если )л/ < г, !Ц < г, /я+ Е) < г.

Действительно, точка х изображается на некоторой карте, а для уравнений в области аффинного пространства наше утверждение доказано (см. гл. 2 и гл. 4)1. Итак, компактное множество К покрыто окрестностями с7. Мы можем выбрать конечное покрытие (Ц). Пусть 61 — соответствующие числа е; возьмем го = пппгз > О. Тогда пРи Щ < го опРеделены в целом диффеомоРфизмыу": М + М, уььа = кгяа, если )з), )1), ~з + Ц < г, дхх = х при х вне К.

Гдакззатальстза единственности требует небольшого дапалнитальнага рассуждения: нужно проверить, что из единственности решения с данными начальными услааиями яа каждого фиксираааинай карта вытекает единственность иа многообразии. На неотделимом многообразии единственности может и на быть (примар: уравнение х, = 1, Е = 1 на мнагаабразии, напученном из двух прямых (х), (р) атождасталаииам точек с равными отрицательными координатами). Нели жа многообразия М отделимо, та проходит даказатальстао единственности из З 7, п.

6. (Отделимость используется при даказатальстаа сазпадения значений решений дд(Х) и рз(Т) а первой тачка х,начиная с которой ани иа совпадают.) 135. Фазовый поток, эаданный векторным полем 337 Действительно, хотя определенные с помощью разных карт решения уравнения (2) с начальным условием л (при 2 = 0) а рг1ог1 различны, они совпадают при ф < ео ввиду выбора ео и локальной теоремы единственности. Далее, по локальной теореме дифференцируемости точка дэх зависит дифференцируемо от 1 и в, а поскольку дэд ' = .Е, то отображение дэ: М вЂ” > М вЂ” диффеоморфизм.

Заметим, что — дэт = в(х). д д1 э=о 3. ПостРоение Дэ пРи любых 1. ПРедставим 1 в виде пао/2+ г, где п целое и О < г < ао/2. Такое представление существует и единственно. Диффеоморфизмы део/з и д' уже определены. Положим 3" = (део/з)ад'. Это диффеоморфизм М на М.

При Щ < ао/2 новое определение согласуется с предыдущим (см. п. 2) определением. Поэтому — ~ дэж = в(ж). дз э=о Легко видеть, что при любых в, 1 (4) Действительно, пусть тео пео Йео э = -Ь р. 1 = — + д, е -~- 1 = — -~- г. 2 ' 2 ' ' ' 2 Тогда левая и правая части равенства (4) принимают вид ( „о/э)ь (Л о/э) о(вэо/э) о Возможны два случая: 1) т+ и = 1о, р+ а = г, 2) т + и = 1е — 1, р+ ч = г+ (ео/2). Заметим, что поскольку )р~ < ео/2, (й~ < ео/2, то диффеоморфизмы Лэо~~, ао и ао коммутируют.

Отсюда вытекает формула (4) как в первом случае, так и во втором (аэо~~й" = авдо, так как (р), (д), )г) < ео/2, р+ а = ео/2 + г.) Остается проверить, что точка дэж зависит от й и в дифференцируемо. Это следует, например, из того, что дэ = (дэ/~), а дэ/~ при достаточно больших ээ' зависит дифференцируемо от 1 и л (см. и. 2). Итак, дэ есть однопараметрическая группа диффеоморфизмов многообразия М; соответствующее поле фазовой скорости есть и, и теорема доказана. 22 Заказ 1ээИ17 Глава б 4. Замечание. Из доказанной теоремы легко вывести, что каждое решение неавтономного уравнения х=о(Пх), хЕМ, гЕК, заданного зависящим от времени 1 векторным полем и на компактном многообразии М, можно продолжать неограниченно. Этим объясняется, в частности, возможность неограниченного продолжении решений линейного уравнения х=о(1, х), о(1, х) =А(1)х, 1ЕК, х ЕК".

(5) х=о(1,х), хЕКР", уЕК. (6) Проективное пространство компактно. Следовательно, каждое решение уравнении (6) можно продолжать неограниченно (рис. 260). Решение с начальным условием в КР" всегда остается в КР" , так как поле е' касаетсн КР" По теореме единственности решения уравнении с начальными условиями в К" остаются в преде- 1. Но в пределвх К" уравнение (6) имеет вид (5). Итак, уравнения (5) продолжается неограниченно. Рис. 260. Продолжение линейного векторного полн не проективное пространство лах К" при всех каждое решение ЗАДАЧА 1.

Доказать лемму. Рвшвнив 1. Пусть (хы..., х„) — аффинные координаты в КР", (уы..., уь) — другие аффинные координаты: — 1 — 1 у~=х,, уь=хьх, (1=2,...,п), В самом деле, будем рассматривать К" как аффинную часть проективного пространства КР". Пространство КР" получаетсн из своей аффинной части добавлением бесконечно удаленной плоскости: КР = К" 0 КР" Пусть о — линейное векторное поле в К" (о(х) = А(х)). Легко проверяется Лемма. Векторное поле о на К" можно единственным образом продолжить до гладкого поля е' на КР". Поле ьз на бесконечно удаленной плоскости КР" касается КР" В частности, продолжим (при каждом 1) поле о(1), задающее уравнение (5), до поля а'(1) на КР".

Рассмотрим уравнение 236. Индексы особыз точек векторного поля Уравнение Про в новых координатах: де = О. Дифференциальное уравнение (5) аз дг — аазд, 1=1,...,а, г=1 в новых координатах записынается в виде (рис. 261) Рис. 261. Поведе- ауе — = — дг(аье -~- ~ акеуь), к > 1; ние продолженного поля вблизи бес- Фа — =а, ф~ ~а,д — у (а, -Ь~~~ а,д), еЫ конечно удаленной плоскости Й>1, 1>1. Из этих формул, верных при уе ~ О, видно, как доопределить поле при у1 = О. ауе При уе = О находим — = О, что и доказывает лемму. д1 В 36.

Индексы особых точек векторного поля Здесь рассмотрены простые примене- 1 ния топологии к исследованию дифферен- 2 8 1 циальных уравнений. ъ,1,е 2 1. Индекс кривой. Начнем с наглнд- е 7 8~6 8 ных рассуждений; ниже они будут подкреплены точными определенинми и дока- 5 зательствами (см. п. 7). Рассмотрим векторное поле, заданное на ориентированной Рис. 262. Кривая индекса 1 евклидовой плоскости. Пусть на плоскости дана замкнутая ориентированная кривая, не проходящая через особые точки полн (рис. 262).

Пусть точка обходит кривую в положительном направлении. Вектор поля в рассматриваемой тачке при движении точ- Рвшннив 2. Аффинное преобразование можно рассматривать как проективное, оставляющее на месте бесконечно удаленную плоскость,но не ее точки. В частности линейные преобразовании е ' продолжаютсн до диффеоморфизмов проектнвного пространства, оставляющих на месте бесконечно удаленную плоскость.

Эти диффеоморфизмы образуют однопараметрическую группу; ее поле фазовой скорости н есть е'. 340 Глава б ки будет непрерывно поворачиватьсяз. Когда точка, обойдя кривую, вернетсн на место, вектор тоже вернется к исходному положению. Но при этом он может делать несколько оборотов в ту или другую сторону.

Число оборотов вектора полн при обходе кривой называется индексолз кривой. 11ри этом число оборотов берется со знаком плюс, если вектор вращаетсн в сторону, заданную ориентацией плоскости (от первого орта ко второму),и со знаком минус в противном случае. Пгимкг 1. Индексы кривых а, )з, 2„6 на рис. 263 равны 1, О, 2, и — 1 соответственно. Пгимкг 2. Пусть Π— неособап точка поля. Тогда индекс всякой кривой, лежащей в достаточно малой окрестности точки О, равен О. Действительно, направление полн в точке О непрерывно и в достаточно малой ее окрестности меннется меньше чем, скажем,на л/2.

Рис. 263. Кривые с разными индексами ЗАдАчА 1. Зададим векторное поле на плоскости и = С без точки О з к формулой о(з) = з" (и — - целое число, не обнзательно положительное). Сосчитать индекс окружности з = е""", ориентированной в сторону возрастания Зз 1плоскость ориентирована репером 1, з). Отвкт. и. 2. Свойства индекса. Свойство 1.

При непрерывной деузорлации замкнутой кривой ее индекс не лзеяяется, пока кривая не проходит через особые точки. Действительно, направление вектора поля вне особых точек меняетсн непрерывно; поэтому число оборотов также непрерывно зависит от кривой. Будучи целым числом, оно постоянно. г Чтабы следить зз лазаретам пептарз, удобно снести псе векторы и одну точку О, следуи естестиеаиаи пзрзллелиззции плоскости.

З 36. Индексы особых точек векторного поля Свойство 2. Индекс кривой не меняется при непрерывной деформации векторного поля, если только при этом на кривой во все время деформации нет особых точек поля. Из этих двух свойств, интуитивно достаточно очевидных', вытекает множество глубоких теорем. 3. Примеры. Прнмкр 1.

Рассмотрим векторное поле на плоскости. Пусть Р— круг, а я его окружностьз. Теореме. Если индекс кривой Я огпличен от О, то внутри ограниченной ею области Р есть хоть одна особая точка. В свмом деле, если особых точек нет, то В можно внутри Р деформировать непрерывно и не проходя через особые точки, так что после деформации получится сколь угодно близкая к одной точке Р криван (можно даже просто деформировать Я в точку 0). Индекс полученной маленькой кривой равен О.

Но при деформации индекс не меннется: значит, и вначале он был равен О. ЗАДАЧА 1. Докажите, что система дифференциальных уравнений + Р(х, у) Ф = у+ Гг(х, у), где Р и ьг ограниченные на всей плоскости функции, имеет по меньшей мере одно положение равновесии. Примкр 2. Докажем основную теорему алгебры: Всякое уравнение ха+игл г+...+оа зз О имеет по л«еньшей мере один комплексный корень. Рассмотрим векторное поле е на плоскости комплексного переменного г, заданное формулой е(х) = г" + адх" г +... + а„. Особые точки поля е — это корни нашего уравнения. Лемма.