Арнольд - Обыкновенные дифференциальные уравнения, страница 59

Э 36. Индексы особых точек векторного иола Для доказательства леммы достаточно явно проделать описанные выше операции, взяв в качестве двух карт, например, карты сферы в стереографической проекции 1рис. 236). Параллельные прямые первой карты перейдут на второй в окружности рис. 268, из которого ясно. что индекс равен 2. Рассмотрим теперь векторное поле е на сфере.

Выберем за полюс неособую точку полн. Тогда все особые точки поля изображаются на карте дополвения к полюсу. Сумма индексов всех особых точек поля равна индексу окружности достаточно большого радиуса на плоскости этой карты (по теореме п. 5). Перенесем эту окружность на сферу, а со сферы на карту окрестности полюса. На этой карте индекс полученной окружности в исследуемом поле равен О, так как полюс — неособая точка поля. Оставаясь на этой новой карте,мы можем истолковать индекс окружности на первой карте как «число оборотов поля и относительно поля е,ь при обходе окружности. Рис. 268.

Векторное поле, параллельное на одной кар- те сферы,но нарисованное на другой Рис. 269. На каждом острове сумма числа вершин с числам котловин на 1 больше числа перевалов Это число равно +2, так как на новой карте при обходе по окружности вокруг точки 0 в положительную для первой карты сторону изображенное на новой карте поле е« совершает 2 оборота, а поле и О оборотов. Злдлчл*2. Пусть 1: Я~ †к~ гладкая функция на сфере, все критические точки которой просты (т.е.

второй дифференциал в каждой критической точке невыражден) Докажите, чта та — т« -Ь тг = 2, где ше число критических тачек, у которых отрицательный индекс инерции второго дифференциала равен «. Глава б Инымн словами, если от числа мии мулов отнять числа седел и прибавить число максимумов, та всегда получится 2. Например, число всех горных вершин на Земле плюс число всех котловин на 2 больше, чем число перевалов.

Если ограничиться одним островом кли материком, т.е. рассматривать фУнкпнн на кРУге без кРитических точек на кРаю, то те — тз + тг = 1 (рис. 269). Указание. Рассмотрите градиент функции Г". ЗлдАЧА*З. Докажите теорему Эйлера о многогранниках: Длп всякого выпуклого ограниченного многогранника с ое вершинами, оз ребрами и ог гранями оо — оз -рог = 2. Уквзание. Эту задачу можно свести к предыдущей. Злдлчл*4.

Докажите, что сумма индексов К особых точек векторного па и на любом двумерном компактном многообразии не зависит ат поля. Число К называется эйлераеай характеристикой многообразии. Например, выше мы видели, что зйлерова характеристика сферы К(Я~) равна 2. ЗАДАЧА 5. Найдите зйлерову характеристику тора, кренделя и сферы с и ручками (рнс. 246). Отвкт. О, — 2, 2 — 2п. Злдлчл" 6. Перенесите результаты задач 2, 3 со сферы на любое двумерное компактное многообразие М: Пге — П11 + 1пг = ое — о1 -~- ог = К(ЛХ).

Т. Обоснование. Дадим теперь точное определение чисзга оборотов векторного поля. Пусть о гладкое векторное поле, заданное в области сГ плоскости с координатами (х11 хг) своими компонентами П1(х1, хг), ег(хз, тг). система координат (хз,хг) задает на плоскости ориентацию и евклидову структуру. Выкинем из области Еь особые точки поля и обозначим оставшуюся область через Г'. Зададим отображение области (Г' на окружность формулой Г: Гг' — + Я~,Дх) = 1 е(х) !е(х)! Это отображение гладкое (так как мы исключили особые точки поля).

Рассмотрим какую-нибудь точку х области Г1'. На окружности 349 З36. Индексы особых точек векторного пола в окрестности образа 1(х) точки х можно ввести угловую координату р. Мы получаем тогда определенную в окрестности точки т гладкую вещественную функцию у(хм хз). Сосчитаем ее полный дифференциал. Имеем при о1 ф О оз оз йог — от с1вз ейр = с1агс1ц— Ю1 2+ 2 Левая часть равна правой и при о1 = О, оз ф О. Итак, хотя сама функция ~о определена только локально и только с точностью до прибавления кратного 2к, ее дифференциал есть вполне определенная гладкая дифференциальная форма во всей области Г'.

Мы будем обозначать зту форму через сор. Определение. Индексом ориентированной замкнутой кривой т: Я~ — ~ Г' называется интеграл формы (1) по кривой т, поделенный на 2к: ы, Г,йр 2п д" Теперь мы можем аккуратно доказывать приведенные выше теоремы. Докажем, например, теорему о сумме индексов (см. и. 5). ДОВАВАтельство. Пусть 11 область с границей Я, внутри которой данное поле о имеет конечное число особых точек. Обозначим через 11' область, полученную из 11 выкидыванием малых круговых окрестностей особых точек. Тогда граница 1л' с учетом ориентации есть д11' = Я вЂ” 2 К, где Яе — окружность, обходящая вокруг г'-й особой точки в положительную сторону (рис.

270). Применим к области 11' и интегралу (2) фоРмулу Грина. Получим Слева стоит О, так как форма (1) локально является полным дифференциалом. Ввиду определения (2) получаем !пс1 Я = 2 епс1 ЯО что и требовалось доказать. 350 Глава 5 яфО я, о о Рис. 270. Область, в которой применяется формула Грина Рис. 271. Отобра- жение степени 2 ЗАДАчА*1. Докажите, чта индекс замкнутой кривой — целое числа. Злдлчл*2. Провести иалнастью доказательства утверждений и. п. 1, 2, 3, 4.

Определение. Степенью отображения у" в регулярной точке х называется число Йод 7', равное +1 или — 1 в зависимости от того, переводит ли Г', заданную ориентацию пространства Т М" в заданную ориентацикз пространства ТГОПМз или в противоположную. Злдлчл 1. Докажите, чта степень линейного автамарфнзма А: К" — > К" во всех точках одинакова и равна оей, А = зез1йе1А = 1 — 1)™-, где гл 8. Многомерный случай. Многомерное обобщение понятия число оборогпов называется степенью отображения. Степень отображения это число прообразов точки с учетом знаков, определяегиых ориентациями. Например, степень отображения ориентированной окружности на ориентированную окружность, нарисованного на рис.

271, равна 2, так как число прообразов точки у, учитыван знаки, равно 1 + 1 — 1 + 1 = 2. Чтобы дать общее определение, поступаем следующим образом. Пусть 1: М" -+ М" гладкое отображение одного и;мерного ориентированного многообразия на другое такое же. Точка х, Е М," многообразии-прообраза называется регулярной точкой, если производная отображения Г" в точке х есть невырожденный линейный оператор У,е: Темам -+ Т11 )Мз" Например, точка х на рис.

271 регулнрна, а точка х' нет. 836. Индексы особых точек векторного поля количество собственных чисел оператора А с отрицательной вещественной частью. ЗАДАЧА 2. Пусть А:и" †>и — линейный автоморфизм в евклидовом пространстве. Определим отображение единичной сферы на себя формулой Х(х) = А(х)/~Ах~. Найти степень отображения Х в точке х. Отввт. «1ей Х = «1ейА. ЗАДАЧА 3. Пусть Х: Я" — » 5 ' — отображение, переводящее каждую точку сферы в диаметрально противоположную.

Какова его степень в точке хф Ответ. «1ей Х = ( — 1)". Злдлчл 4. Пусть А: С" — » С" пень его овеществлении нА. С-линейный автоморфизм. Найти сте- ОтВет. +1. Рассмотрим теперь какую-нибудь точку у многообразии-образа Мз". Точка у б ЛХг" называется регулярным значением отображения Х, если все точки ее полного прообраза Х ~у регулярны. Например, на рис.

271 точка у нвляется регулярным значением, а точка у' нет. Предположим теперь дополнительно, что наши многообразии М" и М" компактны и связны. Тогда имеет место Доказательство этой теоремы довольно сложно и не будет здесь приводиться; оно имеется в учебниках топологии». ЗАМЕЧАНИЕ 1. В действительности регулярными значениями являются почти все точки многообразия М": нерегулнрные значении образуют множество меры О. Злмечлиие 2.

Условие компактности существенно не только для второго, но и для третьего утверждения теоремы. (Рассмотрите, например, вложение отрицательной полуоси в числовую прямую.) »Ом., ивпример. «Особенности лиффереицируемых отображений» (Мл Мир, 1968, стр. 38 — 40).

Теорема. 1. Регулярные значения существуют. 2. «Хисло точек прообраза регулярного значения конечно. 3. Гумма степеней отображения во всех точках прообраза регулярного значения не зависит от того, каное именно регулярное значение мы рассматриваем. 352 Глава 5 ЗАМЕЧАНИЕ 3. Число точек прообраза (без учета знаКов) для разных регулярных значений может быть разным (напрнмер, на рис. 271 у значения у их четыре, а у значении уо всего два). Определение.

Сумма степеней отображения 7' во всех точках прообраза регулярного значения называется степенью отображения: йейу" = ~ Йейх 7. хеУ |к Злдлчл 5. Найти степень отображения окружности )з( = 1 на себн, заданного формулой 7"(х) = з", н = О, х1, х2, ... ОтВет. и. Злдлчл 6. Найти степень отображения единичной сферы в евклидовом пространстве К" на себя, заданного формулой 1(з) = Ас/~Ас~, где А; Н" — г Н" невырожденный линейный оператор. Ответ. с1еб Г = збпооФА. Злдлчл 7.

Найти степень отображения комплексной проективной прямой СР' на себя, заданного формулой а) З'(л) = с"; б) 7'(с) = л . Отвкт. а) н; б) — и. Злдлчл 8. Найти степень отображения комплексной прямой СР' на себя, заданного многочленом степени н. ОтВет. н. Задача*9. Докажите, что индекс замкнутой кривой 7: Я' -з У', определенный в и. 7, совпадает со степенью следующего отображения Ь окружности на окружность. Пусть Г': У' -+ Я' — построенное в и. 7 с помощью векторного поля е в области сГ' отображение.

Положим Ь = 7' о 7: Я~ — ~ Я~. Тогда Определение. Индексом изолированной особой точки О векторного поля о, заданного в содержащей О области евклидова пространства К", называется степень соответствующего полю отображения 6 сферы малого радиуса г с центром в точке О на себя. Отображение Ь: Я" ~ -+ Я з, Я ' = (х б Н": )х! = г) задается формулой го(х) )е(х) ) 353 336. Индексы особых точек еепторпого поля Злдлчл 16. Пусть оператор о,е линейной части поля е в точке О невы- рожден.

Тогда индекс особой точки О равен степени этого оператора. Злдячп 11. Найти индекс особой точки О полн в Н", соответствующего уравнению х = — х. ОтВет. ( — 1) Понятие степени позволяет сформулировать многомерные аналоги рассмотренных выше двумерных теорем. Доказательстна можно найти в учебниках по топологии. В частности, сумма индексов особых точек, векторного полн на компактном многообразии любой размерности не зависит от выбора поля и опреде яется свойствами самого многообр зия.

Это число называетсн эйлеровой характеристикой многообразия. Чтобы вычислить зйлерову характеристику многообразия„достаточно исследовать Рис. 272. Линеаризапия дифференциального уревособые точки какого-нибудь одного диффе- нения на сфере вблизи его ренциального уравнения, заданного на нем. ЗАДАЧА 12. Найти эйлерову характеристику сферы о'", проективного пространства Нрп, тора Т". Ответ. «(5 ) = 2«(НР ) = 1 -~-( — 1)", «(Т") = О.