Арнольд - Обыкновенные дифференциальные уравнения, страница 60

Решение. На торе любой размерности есть дифференциальное уравнение без особых точек (см., например, 3 24, п. 5), поэтому «(Т") = О. Ясно, что «(И") = 2«(НР"). Действительно, рассмотрим отображение р: 5 — з КР~, переводящее каждую точку сферы Ип С И +~ прямую, соединяющую ее с началом координат. Отображение р локально диффеоморфно; при этом прообраз каждой точки проективного пространства — это две диаметрально противоположные точки сферы. Следовательно, всякое векторное поле на НР определит на И" поле с вдвое большим числом особых точек, причем индексы каждой из двух противоположных особых точек на сфере будут такие же,как индекс соответствующей им точки в проективном пространстве. Чтобы сосчитать «(Яп) зададим сферу уравнением хо+...

+ х„= 1 в евклидовом пространстве Р" ы и рассмотрим функцию хе: И" — з Б'.. Составим дифференциальное уравнение на сфере х = бгадхе 23 Заказ ЖИ17 Глава у и исследуем его особые точки (рис. 272). Векторное поле кгайхо обращается в 0 двух точках: в северном полюсе Ф (хо = 1) и в южном Я (хо = — 1). Линеаризуя дифференциальное уравнение в окрестности северного и южного полюса соответственно, получим уравнения — ~ В Ио = ТА Я"; г) = ьь ч1 Е йо = ТвК . Следовательно, индекс северного полюса равен ( — 1), а южного равен (Ь1)", значит, у(о'") = 1-~- ( — 1)". В частности отсюда вытекает, что всякое векторное поле ка четкомвркой сфере имеет хоть одну особую точку.

ЗАДАЧА 13. Построить на нечетномерной сфере Я " ' векторное поле без особых точен. Указание. Рассмотреть дифференциальное уравнение второго порндка и = — х., и С Ж". Программа экзамена 1. Теорема о выпрямлении Я 7, и. и. 1, 7) и ее доказательство Я 32, п.

5). 2. Теоремы о существовании, единственности и дифференцируемости Я 7, п. и. 2 — 5 и Х 31, п. и. 1 — 8; 332, и. п. 1-4). Сжатые отображения Я 30). 3. Теорема о продолжении Я 7, п. 6) и теорема о том, что векторное поле на компактном многообразии задает фазовый поток Я 35, п. п.

1-3). 4. Фазовые кривые автономной системы. Теорема о замкнутых фазовых кривых Я 9). 5. Производная по направлению векторного поля и первые интегралы Я 10, 3 12). 6. Экспонента линейного оператора. Экспонента комплексного числа и экспонента жордановой клетки Я 14; 315, п. и. 4, 5; Х 25, и. 1).

7. Теоремы о связи фазовых потоков. линейных уравнений, однопараметрических групп линейных преобразований и экспонент Я 4, п. п. 2 — 4; Х 13, п. п. 1 — 3; ~ 15, п. и. 1 — 3). 8. Свнзь определителя, экспоненты и следа. Теорема Лиувилля об определителе Вронского Я 16; 318, и. 4; 3 27, и.

6). 9. Классификация особых точек линейных систем на плоскости Я 2, п. п. 4, 5: х 17, п. 2; х' 19, п. 4; з 20, н. и. 3 — 5). 10. Решение линейных однородных автономных систем в комплексной и вещественной области в случае простых корней характеристического уравнении Я 17, п. 1; 318, п. 5; Х 19; Х 20). 11. Решение линейных однородных автономных уравнений и систем в случае кратных корней характеристического уравнения Я 25). 12. Решение линейных неоднородных автономных уравнений с правой частью в виде суммы квазимногочленов Я 26).

И. Линейные однородные неавтономные уравнении и системы. Определитель Вронского. Случай периодических коэффициентов Я 27 и 328, п. 1). 14. Решение линейных неоднородных уравнений с помощью вариации постоянных Я 29). 15. Теорема об устойчивости по линейному приближению Я 22, п. п.

3-5; х 23). 16. Фазовые кривые линейного уравнения с чисто мнимыми корнями характеристического уравнения. Малые колебании консервативных систем Я 24 и ~ 25, п. 6). Образцы экзаменационных задач 1. Для остановки речных судов у пристани с них сбрасывают канат, который наматывают на столб, стоящий на пристани.

Какан сила будет тормозить судно, если канат делает 3 витка вокруг столба, коэффициент трения каната о столб равен /г и рабочий на пристани тянет за свободный конец каната с силой 10 кгс? 2. Нарисовать на поверхности цилиндра фазовые кривые маятника, на который действует постоянный крутящий момент: х = 1+ 2вшх. Какие движения маятника отвечают кривым разных типов? 3. Вычислить матрицу е , где А — данная матрица второго или треть- АИ его порядка. 4.

Нарисовать образ квадрата ~хг~ < 1 прн преобразовании фазового потока системы хд = 2хг, хг = тг ф хг за время 1 = 1. 5. Сколькими деснтичными знаками записывается сотый член последовательности 1, 1, 6, 12, 29, 59, ... (х = х г -~-2х„-г -~-я, хг = хг = 1)? б. Нарисовать фазовую кривую системы г = Зх+г, р=х+р, проходящую череа точку (1, О, О). 7. Найти все и, (), 7, прн которых три функции энга, зш)г1, вш?1 линейно зависимы.

8. Нарисовать на плоскости (хг,хг) траекторию точки, совершающей малые колебании: сч17 (5хг — 8хгхг -~- 5хг) дхг 2 Начальные условняг хг = 1, хг = О, хг = хг = О. Во всех числовых задачах допускается погрешность в 10 — 20% ответа. 358 Образцы элэ менапионяых задач 15. Нарисовать геодезические на торе, пользуясь теоремой Клеро: произведение расстонния до оси вращения на синус угла геодезической с меридианом вдоль каждой геодезической на поверхности вращении постоянно.

16. Выпрямить фачовые кривые уравнения а = ж — хз в окрестности точких=О, х=1. 17. Выпрямить интегральные кривые уравнения х = ж+ сов й 18. Выпрнмить поле направлений уравнения х = х + ?е'. 19. Выпрнмить поле фазовой скорости уравнения х = х вблизи точки х = О. 20. В каких координвтах разделяются переменные в уравнении '~У з + г?зэ дж 21. Решить уравнение ж = ж -~- б(1 — 2).

22. Найти производную решения уравнения х = тэ + Ахз с начальным условием х(0) = 1, х(О) = 0 по А при А = О. 23. Найти собственные числа и векторы оператора монодромин 2к-периодического решения уравненин х — х = эшй 24. Решить уравнение х = Агх+ ж, где А: Б! — э Б" линейный оператор. 25. Могут ли операторы А и В не коммутировать. если е =с =е + =Е? А в А в 26.

Найти есе не зависящие от времени непрерывные на всей фазовой плоскости первые интегралы системы х = у, у = х+ у. 27. Числа 1 и з' собственные длн А: Б'.э — э Из. Имеет ли уравнение х = Аж непрерывные в Из непостоннные первые интегралы? 28. Числа 1 н — 1 собственные длн А: Б~ — э Б!з. Имеет ли уравнение х = Ах непрерывные в Б непостоннные первые интегралы7 з 29.

Решить задачу Коши +и„= О, и( з=о 30. Уравнение хф1 = Г(В х, ..., х?" Ы) имеет решении 1 и шпй Определить и. 31. Продолжаются ли решения уравнении х = тэ шпх на всю ось времени'? 32. Продолжаются ли все решения уравнения Ньютона х= — бгаб(?, (? = хэ ф хэхг ф хз,неограниченно? ЗЗ. Продолжаются ли неограниченно все решения уравнения х = 1-~- 2шпж? 359 Образцы экзаменационных задач 34. Может ли положение равновесия уравнения Ньютона быть устойчивым по Ляпунову, не будучи точкой локального минимума потенциальной энергии? 35. Может ли периодическое решение автономной системы, изображаемое не фезовой плоскости прелельиым циклом, быть есимптотически устойчивым? 36. Может ли периодическое решение автономной системы быть неустойчивым по Ляпунову, если не фезовой плоскости оно изобрежеетсн предельным циклом, нз который снаружи и изнутри неметывеютсн спирельно приближеющиесн к циклу при движении в направлении возрастания времени фозовые кривые? 37.

Может ли неустойчивое по Ляпунову положение равновесия сделаться после линееризеции устойчивым? есимптотически устойчивым? 38. Может ли есимптотически устойчивое положение равновесия стать неустойчивым по Ляпунову после линееризеции? Дополнительные задачи 1. Имеет ли ограниченные не всей оси времени ненулевые решения уравнение в вариепинх длн уравнения й = — япл вдоль решении с начальным условием ло = О, йо = 2? 2. Имеет ли неограниченные решения уравнение в вариациях вдоль решенин с начальным условием ло = О, ло = 1 того же уравнения? 3. Решить уравнение в вериецинх задачи 1.

4. Найти собственные числа и векторы оператора монодромин для уравнении в вариациях задачи 2. 5. Найти производную 2л-периодического решения уравнении й+яп х = = с соль обращающегося при с = 0 в т = л, по с при с = О. 6. Найти наибольшее значение $, при котором решение задачи Коши п)~=о и~+ни, = — е1пл, продолжаетсн нл )О, 1). 7.

Найти все конечномерные подпростренстве пространства бесконечнодифференцируемых функций не прямой, инвериентные относительно всех сдвигов прямой. 8. Пусть функция о имеет в нуле 2-кратный корень. Докажите, что уравнение й = о(я) диффеоморфизмом окрестности нули приводится к виду у = у~ -~- Суз (постоянная С определяетсн полем). 9. Докажите. что нули линейной комбинации первых и собственных функций задачи Штурма †Лиувил и, +д(х)и=ли. и(0) =и(1) =О, д)0 делит отрезок ~0, 1] не более чем не и частей. Образцы энз мениционных задач Указание (И. М. Гельфанд).

Перейти к ферми-частицам, т. е. к косо- симметРическим РешениЯм УРавненин А,'ие.., + ~ д(хз)и = Ли, и воспользоваться тем, что его первая собственная функция не имеет нулей внутри фундаментального симплекса 0 < хз « ... х <1. 10. (Н. Н. Баутин). Докажите, что обобщеннан система Лотка — Вольтерра х = х(п+ Ьх+1у), д = у(Ь+ знх+ ~у) ие имеет предельных циклов: ее замкнутые иеточечные фазовые кривые, когда они есть, заполняют целиком кольцеобразные области.

ГЕ Рассмотрим движение материи по окружности под действием переноса полем скоростей и малой диффузии. Докажите, что если поле скоростей имеет стационарные точки н общего положения, то почти вся масса соберется в конце концов в окрестности одной из притягивающих точек. (Уравнение эволюции плотности: и = еи„— (ие), где ад/дх поле скоростей. На накрывающей окружность прямой поле потенциальна: е = — (1,.