Арнольд - Обыкновенные дифференциальные уравнения, страница 55

Х2 Хо' Хг — если х1 ~ О, Х1' Х1 — если хг ф О. Х2 323 2 33. Диффереииируемыг многообразия Рнс. 239. Открытое подмножество Рис. 240. Компактное подмножество Злдлчл 2. Докажите. что сфера Ь компактна. Компактно ли просктивнос пространство КР"? Указание. Для рсшсннн можно воспользоватьсн следующей теоремой. Теорема.

Пусть подмножестео Е многообразия М (рис. 240) является объединением конечного числа подмножеств гь каждое из которььт имеет компактное иэображение на одноб из карт гг С И',, у;: И'; — ~ Ц, ~рг(сг) компакт в й". Тогда г' компактно. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть (Сз) — открытое покрытие множества г'. Тогда (у;(С; й И;)) при каждом г' есть открытое покрытие компакта ~р;(г)). Выбираем из него конечное подпокрытие. Заставляя з' пробегать полученное конечное множество значений, получаем конечное число Сэ, покрывающих г'. 5.

Связность н размерность. Определение. Многообразие М называетсн связным (рис. 241), если для любых двух его точек з, у существует конечная цепочка карт си: И~; — ~ Г; таких, что И'г содержит к, Иг„содержит у и И;. П Игььг 'гг непусто, а Гг связно~. (Я ) СМь') Рнс. 241. Свнзнос многообразие М и нссвнзпос Мь О Мг Если многообразие М не связно, то оно естественным образом распадаетсн на компоненты свнзности Мг. ьто есть любые Лае точки ГЧ можно соеаииить ломаной в ?Ч С Ж" 324 Глава й Злдлчл 1.

Связны ли многообразии, заданпыс уравнениями в Яг (в ЯР«) х' + у' — г' = С, С ~ О? ЗАДАЧА 2. Множество всех матриц порядка п с отличным от О определителем имеет естественную структуру дифференцируемого многообразия (область в Н"). Сколько компонент связности имеет это многообразие? 'ТеоРема.

ПУсть М сеаэное лногоойРаэие, Уг;: Иг; -+ (Хг его нарты. Тогда размерности всех линейных пространств Н", обласпгяли в которых являются (Х«, одинаковы. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Это следует из того, что диффеоморфизм между областями линейных пространств возможен лишь при равных размерностях пространств, и из того, что вспкие две области Игги Иэ связного многообразия М можно соединить конечной кепочкой попарно пересекаюшихсн областей. Определенное в теореме число п называется раэлеряосгпью многообразия М и обозначается «)ивМ (от англ.

«Жшепв(оп»). Например, ьйшйп = с((шЯ" = йппТ" = «((шНР = п. Несвязное многообразие называетсн п-мерным, если все его компоненты связности имеют одинаковуго размерность и. ЗАДАЧА 3. Снабдить множество О(гг) всех ортогопельных матриц порндка п структурой дифференцируемого многообразия. Найти его компоненты связности и их размерность.

п(п — 1) Отввт. О(п) = ЯО(п) х сг, дгпгО(п) = 2 6. Дифференцируемые отображения. Определение. Отображение Хг Мд -+ Мг одного Сс-многообразия в другое называетсп дифференцируелыл (класса Сс), если в локальных координатах на Мг и Мг оно задается дифференпируемыми функциями (класса С'). Иными славами, пусть уг. И'г — » ХХ« карта Мм изображающая точку х Е И"г, «гг . 'И"г — » Х?г — иерта Мг, изображающая точку Х(х) б Игг (рис. 242).

Тогда заданное в окрестности точки угг(х) отображение областей евклидовых пространств»гг о Х о «г, ~ должно быть дифферевцируемым класса С'. 325 '833. Дифференцируемые многообразия Рнс. 242. Днфференцнруемое отображение Рнс. 244. Кривая на многообра- зии М и эллипсоид диффеоморфны. Илн параметризованной кривой, так как кривыми на М иногда называют также одномерные полмногообразяя многообразна лх (опрелеленне см. ниже. в и. 8].

У параметрнзованной крнвой могут быть точки самопересечення, тачки возврата н т. и. (рнс. 244). Примкр 1. Проекция сферы на плоскость (рнс. 243) есть дифференцируемое отображение 1: Яз — г К . Мы видим, что образ дифференцируемого отображении не обязательно дифференцируемое многообразие. Примвр 2. Лрнвой~ на многообразии М.

выходящей в момент го из точки и б М, называется дифференцируемое отображение 1: 1-+ М содержащего го интервала 1 вещественной оси г в многообразие М, причем 1(го) = т. ПРИМВР 3. Диффеоморфизмом 1: Мг — г Мз многообразия М1 на многообразие Мз называетсн дифференцируемое отображение 1, обратное к которому 1 '. Мз — + Мг существует и дифференцируемо. Многообразии Мг и Мз днффеоморфны, если существует диффеоморфизм одного на другое. Например, сфера Рнс.

243. Прн проектировании сферы на плоскость получветсн замкнутый круг 326 Глава 5 7. Замечание. Легко видеть, что вснкое связное одномерное многообразие диффеоморфно окружности (если оно компактно) или прямой (если оно не компактно). Примерами двумерных многообразий явлнются сфера, тор (диффеоморфный «сфере с одной ручкой») и «сфера с п ручками» (рис. 245). Рис. 246.

Недиффеоморфные двумерные многообразии В курсах топологии доказываетсн, что всякое двумерное компактное связное орнентнруемое многообразие днффеоморфно сфере с и 3 0 ручками. О трехмерных многообразиях известно мало. Например, неизвестно, всякое лн компактное односвязное трехмерное многообразие диффеоморфно сфере Я~ (гипотеза Пуанкаре) илн хотя бы гомеоморфно ей. В больших размерностях днфференцируемая и топологнческая классификация многообразий не совпадают. Например, существует ровно 28 гладких многообразий, гомеоморфных сфере Я«, но не диффеоморфных друг другу. Онн называ»ется сй»ерема Миллора.

Сферу Милпора можно задать в Сл с координатами хм ..., л» следующими двумя уравнениями: з,'" ' + зз ф хз' +,' -» г,' = О, ~х,!' ->... ф ~зл!' = 1. Прн й = 1, 2, ..., 28 получаем 28 сфер Мнлнораз. Одно нз этих 28 многообразий диффооморфно сфере Я'. 8. Подмногообразия. Сфера в К, заданная уравнением кх+ уз+ +гз = 1, доставляет пример подмножества евклидова пространства, наследующего от него естественную структуру дифференцируемого многообразия структуру яодмногообразня Н~.

Общее определение подмногообразин следующее: Определение. Подмножество Р многообразии М 1рис. 246) называется яодмяогообразием, если каждан точка х Н р имеет такую »Многообразне однасвлзно, есле вслкнй замкнутый путь в неы можно непрерывно стянуть в точку. зсм. к. Врнскорн. примеры нз дифференциальной топологии асобеннастей.

—- сб. пер. «Математнка», 1967, 11, 6, стр. 132 †1. 327 Х 33. Ди4фереяиируемые многообразия Подмногообразие И само имеет естественную структуру многообразия (И" = И' П 1', (7' = р(И")) Следующий фундаментальный факт приводится без доказательства и не будет использоватьсн в дальнейшем. Теорема. Всякое многообразие М" диу7узео- мору7но подмногообразию евклидова пространства достаточно большой размерности И~ (напр мер, достаточно Х ) 2п.

где и = «1ппМ"). Рнс. 246. Подмяегообразие Таким образом, абстрактное понятие много- образия в действительности охватывает не боль- ший круг объектов, чем «н-мерные поверхности в зч'-мерном простран- ствем Преимушество абстрактного подхода состоит в том, что он сразу охватывает и те случаи, когда заранее не дано никакого вложении в евклидова пространство, а его привлечение привело бы лишь к ненуж- ным усложнениям (пример: проективное пространство КР"). Положе- ние здесь такое же, как с конечномерными линейными пространства- ми (они все изоморфны координатному пространству ((кы ..., к„)), но привлечение координат часто лишь усложняет дело). М,= ПО(3) « — (( ° - ° .Н ф) М«о м О,„ Рнс.

247. Примеры трехмерных многообразий 9. Пример. Рассмотрим в заключение пять интересных многообразий (рис. 247). М« = ЯО (3) есть группа ортогональныг матриц третьего порядка с определителем +1. Поскольку матрица имеет 9 элементов, М1 есть подмножество пространства р'.э. Легко видеть, что это подмножество является в действительности педмнегообразнем. окрестность И' в М и такую карту ум И' -> 17, что д(Иг й (7) явля- етсн областью некоторого аффинного надпространства того аффинного пространства К", в котором лежит Г.

Глава д Мз = Т28~ есть лгнвжвствв всех касательных векторов длины 1 я сфере Я~ в трехмерном евклидовом пространстве. Ввести структуру днфференцируемвго многообразия в этом множестве предостввляетсн читателю (ср. 2 34). Мз = ВР— зтв трв лгвряав првективнав првстрансгпвв. Мз — конфигурационное пространства твердого тела, закрепленного в неподвижной точке О. Мз — пвдмнвгввбразие првстраиства и = С, заданное уравнеяиялги з в з зз + хз + зз — — О, (хг) + 1зз! -'г 1зз! = 2.

Злдячзз1. Какие из многообразий Мг — Мз диффеоморфныу 8 34. Касательное расслоение. Векторные поля на многообразии С каждым гладким многообразием М связано другое многообразие (вдвое болыпей размерности), называемое насателънмлг расслоениелгг М и обозначаемое ТМ. Касательное расслоение позволит нам сразу перенести на многообразия всю теорию обыкновенных дифференциальных уравнений. 1. Касательное пространство.