Арнольд - Обыкновенные дифференциальные уравнения, страница 54

Утверждение леммы 6 справедливо для линейного уравнения х = А(г)х. 816 Главе 4 Действительно, достаточно принять за хз значение решения с начальным условием уэ(г) = х в фиксированный момент го. Согласно лемме 1 хь = В(у) х, где В(г): Я" -+ П" — линейный оператор класса С~ по К П координатах (й хз) наше линейное уравнение принимает вид хз = О.

Лемма 7 доказана. ДОКЛЗЛтВЛЬСтВО ЛВММЫ 6 . Линеаризуем уравнение й = е(г, х) в нуле, т. е. составим уравнение в вариациях х = А(г)х, где А(г) = е,(г, 0). По условию. о Е С~, поэтому А С С". По лемме 7 можно выбрать Сцкоординаты хэ = В(1)х так, что в новых координатах линеаризованное уравнение примет вид хз = О. Легко проверить, что в этой системе координат правая часть исходного нелинейного уравнения будет иметь нулевую линейную часть. Действительно, введем обозначении У = Ах + Я (тогда В = о(~х~)) и в = Схь (тогда С = В ~). Дифференциальное уравнение для хз получается из ф = а подстановкой х = Сеы Получаем Сиз -~-Сфэ = АСхз+ В. Но, по определению С, первые (линейные по хь) слагаемые слева и справа равны.

Итак, йь = С 'В(й Схь) = о((хь!), Лемма 6 доказана. Соединян леммы 6 и 4, приходим к следующему заключению: Лемма 8. Решение дифференциального уравнения й = о(г, х) с правой частью класса С дифференцируелзо зависит от начального условия. Производная г решения по начальному условию удовлетворяет системе уравнений в вариациях *' = о(г, и), г = в*(г, х)з, г(го) = В: П" — «П". Для доказательства леммы 8 достаточно записать уравнение в системе координат леммы 6 и применить лемму 4.

Для доказательства теоремы осталось убедиться в непрерывности производной решении по начальному условию. Согласно лемме 8 это производная существует и удовлетворяет системе уравнений в вариацинх. Из леммы 3 следует непрерывная зависимость решений этой системы от хо и и Итак„ теорема доказана. ГЛАВА 5 Дифференциальные уравнения на многообразиях В этой главе определяются дифференцируемые многообразия и доказывается теорема о существовании фазового потока, заданного векторным полем на многообразии. В теории дифференциальных уравнений на многообразиях получено много интересных и глубоких результатов, о которых нельзя было успеть рассказать в настоящей главе, являющейсн лишь кратким введением в эту область на стыке анализа и топологии.

З ЗЗ. Дифференцируемые многообразия Понятие дифференцируемого, или гладкого, многообразии играет в геометрии и в анализе столь же фундаментальную роль, как в алгебре понятия группы н линейного пространства. з~ ~4~~ )т' Рис. 231. Примеры многообразий 1. Примеры многообразий. Когда ниже будет дано определение многообразии, то многообразиями окажутся, например, следующие объекты (рис.

231): 318 Глава 5 1. Линейное пространство К" или любая его область (открытое подмнолгество) Г. 2. Сфера Я", заданнан в евклидовом пространстве К"+~ уравнением г 2 х1 + ° + х„ь1 = 1. В частности, окружность Я~. 3. Тор Тг = У х о1 (ср. Ц 24). 4. Проективное пространство КР" = ((хо .хд ...... х„)). Вспомним, что точками етого пространства нвляются прямые, проходящие через начало координат в К"~~. Такан прямая задается любой своей (отличной от О) точкой. Координаты втой точки (хо, ..., х„) в К"~~ называютсн однородными координатами соответствующей точки проективного пространства.

Последний пример особенно поучителен. При рассмотрении следующих определений полезно иметь в виду аффинные координаты в проективном пространстве (см. пример 3 п. 3 ниже). 2. Определения. Дифференцируемое многообразие М зто множество М вместе со структурой дифференцируемого многообразии в нем. В множестве М введена структура лгногообрагин, если задан атлас, состонщий из карт, которые согласованы. Определение 1.

Картой называетсн область СГ С К" вместе с взаимно однозначным отображением ~р: И' -+ Г подмножества И' множества М на Сг (рис. 232). Мы назовем ~р(х) изойраженивлг точки х Е И' С М на карте Г. Рассмотрим карты (рис. 233) у;: Иг -+ сч и ~ру: И' -+ Г . Коли множества И'; и И' пересекаются. то их пересечение И'; П И' имеет изображения на обеих картах: ВВ = рг(И; П И'1), 1Г,; = ру(И; ~ И';). Переход с одной карты на другую задается отображением подмножеств линейных пространств рВ:СИ вЂ” )ЮЗАМ РВ(х) = рг(р.

(Х)). Определение 2. Две карты у;: И'; — > Гп рг: И' -+ Г. называются согласованными, если 319 '3 33. Диффереииируемые многообразии Рнс. 232. Карта Рис. 233. Согласованные карты 1) множества ахль 7Узч открыты (быть может, пусты); 2) отображения сзз, и сззч (определенные, если И'; П И', непусто) являются диффеоморфизмами областей К".

ЗАМЕЧАНИЕ. В ЗаВИСИМОСтИ От КЛаССа ГЛаДКОСтИ ОтОбРажЕНИй 1З;з получаются разные классы многообразий. Если под диффеоморфизмом понимать диффеоморфизм класса С', 1 < г ( оо, то многообразие (которое мы определим ниже) будет называться дифферекцируемым многообразием класса С". Если положить т = О, т.е. требовать лишь, чтобы анз были гомеоморфизмами, получитсн определение токологического многообразия. Если требовать, чтобы сзхз были аналитическимит, то получим аналитические многообразии. Есть и другие возможности. Например, если фиксировать в Р и ориентацию и требовать, чтобы диффеоморфизмы ~рзз- ее сохраняли (якобиан 1о; в каждой точке положителен), то получитсн определение ориентированного многообраз и.

Определение 3. Атласом на М называется совокупность карт ~о;: И'х — > Р и если 1) любые две карты согласованы; 2) любая точка т. Е М имеет изображение хоть на одной карте. Функция аналитична, если ее рид Тейлора сходится к ней н окрестности каждой точки. 320 Глава 5 Определение 4. Два атласа на М эквивалентны, если их объединение есть снопа атлас (т.е. если любая карта первого атласа согласована с любой картой второго). Легко видеть, что определение 4 действительно задает отношение эквивалентности. Определение 5.

Структурой диу)увренциу рувмого многообразия на М называется класс эквивалентных атласов. (в(х) (э(у) И'~ = яг ~ )у И'з = Яз ~ Я Злдлчл 1. Написать формулы для отображении «ч,г и проверить. что наши две карты согласованы. Отметим здесь же два условия, часто накладываемые на многообразия, чтобы избежать патологий.

1. Отделимвст»о у любых двух точек х, у б М есть непересекающиеся окрестности Рис. 234. Отделимость (рис. 234). То есть либо существуют две карты ~р;: И'; — > Ц и ду: И вЂ” Ф Гэ с непересекающимися И';, Иг), содержащими т, и у соответственно, либо существует карта, на которой изображены обе точки т„ у. Коли не требовать отделимости, то многообразием будет множество, полученное из двух прямых и = (х), и = (у) отождествлением точек с равными отрицательными координатами х, у.

Нв таком многообразии неверна теорема единственности продолжения решений дифференциального уравнения, хотя локальная теорема единственности и верна. 2. Счетность: существует атлас М из не более чем счетного числа карт. Далее слово «многообразие» означает дифференцируемое многообразие, удовлетворяющее условиям отделимости и счетности. 3. Примеры атласов. 1. СфеРУ оз, заданнУю УРавнением хг» + хгг + хз г= 1 в К", можно снабдить атласом из двух карт, например — в стереографической проекции (рнс. 235). Здесь 321 3 33.

Дифференцируемые многообразия Рис. 235. Атлас сферы. Семейство касающихся в точке Ж окружностей, лежащих на сфере, изображается на нижней карте семейством параллельных прнмых, а па верхней — семейством касающихся окружностей Рис. 236. Атлас тора Рис. 237. Аффинные карты проективной плоскости Аналогичным образом, дифференцируемую структуру Я" можно задать атласом из двух карт. 2. Атлас тора Тг строится с помощью угловых координат: широты уг и долготы уг (рис. 236). Например, можно рассмотреть 4 карты, соответствующие изменению уг и гр в интервалах 0 < уг < 2л, -х < ьо < л; 0 < ф < 2п, -л < уг < х. 21 Заказ РеИ17 322 Раааа Б 21 2»«2 Рис. 238. Согласованность карт проектиеной плоскости можно составить из трех «аф- Эти карты согласованы.

Например, согласованность ~ро и 1р1 означает, что отображение «го,1 области Го,1 = (У1, уг.. У1 ф О) плоскости (у1, Уг) на область (71 о. 21 у- 'О плоскости (21. 22), заданное формулами 21 = у 1, 22 = угу 1. явлнется диффеоморфизмом (рис. 238). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. — 1 — 1 У1 = гг: Уг = 2221 Аналогичным образом, дифференцируемая структура в проектнвном пространстве КР" задается атласом из я + 1 аффинной карты. 4.

Компактность. Определение. Подмножество С многообразия М называетсн открыл»мм, если его изображение д(И' й С) на каждой карте «2: И' — » Г являетсн открытым подмножеством области и линейного пространства (рис. 239). Злдлчл 1. Докажите. что пересечение двух и объединение любого числа открытых подмножеств многообразия открыто. Определение. Подмножество К многообразия М называется компактныл», если из всякого покрытии множества К открытыми мнол«ествами можно выбрать конечное подпокрытие. 3. Атлас проективной плоскости КР финных карт» (рис. 237): а» У' хо Уг— Хо Хо.Х».тг — > 21 — — —, а» Хо и1= —, иг= Х2 — если хо у- 'О.