Брейсуэлл Р. - Преобразование Хартли (теория и приложения), страница 11

При анализе столбцов, элементами которых являются произведения четырех видов, становится ясно, что б-й столбец является зеркальным изображением 5-го столбца со знаком минус, а 8-й столбец — зеркальным изображением 7-го. Отсюда ясно, что нет необходимости выполнять четыре умножения, а достаточно двух.

Один способ вычислений состоит в представлении требуемой суммы в виде '!г Н, (ч) [Нг (ч) + Нг ( — ч)2 + '/ Н, ( — ч) 1Н (ч) — Н ( — ч)5, что является другой формой записи тождественного выражения, приведенного в данной главе выше. Подавляющее большинство сверток, реализуемых в численной форме в повседневной практике, требует только упрощенной процедуры, иллюстрируемой с помощью табл. 5.1. В приложении 1 приводится программа ГНТСОМУ, реализующая эту свертку с использованием преобразования Хартли.

Целесообразнее всего рассматривать эту программу как реализацию циклической свертки, однако она может быть использована и для выполнения обычной свертки путем дополнения данных достаточным количеством нулей для предотвращения наложения. Почти всегда необходимо дополнять одну из двух последовательностей нулями, но при большом количестве дополнительных нулей снижаются преимущества этого метода преобразования. Возможно, что непосредственное суммирование, реализуемое в программах СОМУ и ССОМУ, окажется более быстрой процедурой; проверку достоверности этой возможности следует осуществлять путем сравнения времени машинного счета, когда число элементов более короткой последовательности меньше или сравнимо с логариф- Свертка аеецммотрачамх вкледоватольцоетеа В 1 Н, Нг Н~Нг — Н!В Н,Нг Н!Нг !гого !г мом (по основанию 2) числа элементов более длинной последова- тельности.

В определение ДПХ в силу его аналогии с ДПФ был включен коэффициент гУ '. Однако числовые примеры, приведенные выше, наводят на мысль вернуться к вопросу: не лучше ли было бы использовать коэффициент )У "г? В таком случае, дважды применяя одно и то же преобразование, мы получим исходную функцию, тогда - как аналогичное двухэтапное применение принятого здесь определения для получения исходной функции предполагает наличие дополнительного коэффициента 1У. Однако применительно к операции свертки кажущееся упрощение оказывается обманчивым, так как коэффициент )У, фигурирующий в теореме о свертке, не исчезает, а принимает вид )У11г В приложении к фильтрации, где используются одни и те же коэффициенты фильтра при реализации умножения различных последовательностей данных на коэффициент !У, который фигурировал выше после второго преобразования, можно избежать использования этого коэффициента, включив его в коэффициенты усиления фильтра.

В ряде приложений требуется, чтобы выходная последовательность была нормирована к единичной сумме, что имеет место для распределений вероятности; в других приложениях требуется нормировка, предцолагаюгцая равенство начального элемента единице, что справедливо для корреляционных функций. В этих случаях коэффициент Ж может быть учтен при нормировке. Кроме того, при отображении выходных последовательностей в графической форме должен быть выбран масштабный коэффициент, соответствующий формату устройства отображения (дисплея). Учет различных коэффициентов в виде одного масштабного коэффнпнента позволяет полностью избежать этапа изменения (нормировки) каждого выходного элемента в процессе предварительных вычислений. С целью повьппения быстродействия вычислительных процедур можно также в принципе не осуществлять умножение на величину М, предусматриваемое определением преобразования.

И только на завершающем этапе нормировки все неучтенные коэффициенты могут быть объединены в один калибровочный, или масштабный, коэффициент. Числовой пример корреляционной функции Примеры алгоритма определения корреляционной функции могут быть даны как для простого случая, когда заданная функция является четной, так и для более общего случая. Сначала рассмотрим простой случай на примере выборочной последовательности вида (6 4 1 0 0 0 1 4). Представление алгоритма в виде таблицы по существу идентично свертке в случае, когда одна из функций является четной, за исключением того, что алгоритм оперирует только с одной заданной функцией. В табл.

5.3 третий столбец представляет собой ДПХ заданной последовательности5'(т). Для получения данных 4-го столб- Таблица 5.3 Быстрый алторвтм определенна коррслпааонной фуютаии четной послсдова- т,т Дт) Н(т) !Н(т))т С (т) Таблица 5.4 Быстрый алторатм определения коррслаааоавой фувкаав последовательности общего вада т,т йт) Н(т) Н(- т) (1!2)[Ю + Нт(-Д С(т) 56 4,5 — 1,707 — 1 — 0,707 — 0,5 — 0,293 0 0,707 2 1,457 0,5 0,043 0 0,043 0,5 1,457 4,5 0,707 0 — 0,293 — 0,5 — 0,707 — 1,0 — 1,707 4 2,123 0,25 0,002 0 0,002 0,25 2,123 20,25 1,707 0,5 0,293 0,25 0,293 0,5 1,707 70,016 56 28,032 8 1,984 8 28,032 56 204 175,998 156 144,002 140 ! 44,002 156 175,998 ца следует просто возвести в квадрат значения ДПХ 3-го столбца и для получения окончательного результата выполнить ДПХ данных 4-го столбца.

Как и выше, ограничиваясь тремя знаками после запятой, получим приближение точного результата„представляющее собой рациональные дроби. Общвй случай иллюстрируется в табл. 5.4, где заданной является последовательность (1 2 3 4 5 6 7 8). В обоих примерах требуется вычисление для последнего столбца только половины приведенных в нем значений плюс одно, что обусловлено свойством симметрии. Низкочастотная фильтрации Пример низкочастотной фильтрации был упомянут в начале данной главы при рассмотрении вопроса, связанного со сглаживанием метеорологических данных.

Эта процедура должна заключаться в реализации свертки с прямоугольной, функцией, содержащей 12 элементов, следователъно, результат будет получен с помощью фильтра, имеющего передаточную функцию вида йпс (12Я. Так как понимание простого случая такого рода представляется достаточно полезным, мы подробно проанализируем соответствующий пример. Предположим, что ежемесячно фиксируемые данные, зарегистрированные за 8 лет, должны быть подвергнуты сглаживанию посредством свертки с последовательностью '/, ((')з) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ('/з)).

Так как всего имеется 96 элементов и 13 коэффипиентов фильтра, сглаженная последовательность содержит 108 элементов. Естественно, для данного примера первые шесть и последние шесть элементов выходной последовательности (результата свертки) не представляют никакой ценности, так как среднегодовые данные могут быть определены только по истечении 12 месяцев. Однако в ряде других приложений имеет значение вся последовательность, полученная в результате свертки, для которой ниже и будет выполнен расчет. Выбирая !т7 = 128,мы тем самым обеспечиваем согласование последовательностей. Последовательность данных, которая будет нами искусственно сформирована, можно представить как результаты ежемесячных измерений температуры, для которых характерны сезонные случайные изменения, наложенные на температурный тренд.

Увеличение содержания углекислого газа в атмосфере представляет собой угрозу для урожая груш, являющихся одним из средств к существованию сельского населения. В силу того что повышение температуры на несколько градусов приводит к нерентабельности культивирования этой сельскохозяйственной продукции, необходимо исследование тенденций в изменении температуры. На рис. 5.3 данные измерений показаны кружками.

Обращают на себя внимание значительные, но нерегулярные сезонные изменения. Для температурного трецда характерен глубокий минимум в зимние месяцы, однако в летний период соответствующий максимум не очевиден. В результате сглаживания с зв го 10 )гв зто явление вряд лн будет иметь неправильное толкование. В ряде других ситуаций могу~ отсутствовать защитные зоны из дополнительных нулей, что приводит к взаимному наложению во времени учао~кое возрастания и убывания сглаженной последовательности, а .

это может создать видимость правдоподобия сглаженной последовательности. Один метод исключения неправильного толкования заключается в определении сглаженных значений, имеюшнх физический смысл, и их графическом изображении. Выходная сглаженная последовательность, представленная на рис. 5.3, оказывается олной и той же как при вычислении циклшческой свертки в области исходных : данных с применением операций умножения и сложения, так и при использовании метода преобразования. Время, месяцы ряс, 538 Данные ежемесячных измерений за восьмилетний период (круж"") " годовые усредаеавые (сглажевные) данные, изображенные для месячных интервалов (сплошная кривая) в полученные в результате циклической свертки лля М = 128 при дополнении последовательностей нулями с целью искусственного формирования 128-элемевтиых последовательностей.

помощью 13-элементной последовательности получается кривая, предоставляющая более широкие возможности для анализа. Если вычислительный процесс реализуется в виде циклической свертки при М = 128, то значения данных могут быть присвоены элементам с порядковыми номерами, начиная с 97-го по 127-й. Пусть они равны нулю.

Иногда может быть реализована ситуация, когда этим элементам присваиваются наиболее правдоподобные значения; в данном случае можно принять значение для установившегося состояния, равное 17, которое приближенно равно среднегодовой температуре. Однако при использовании нулевых элементов соответствующий график очень наглядно иллюстрирует участки расхождения вычисленной циклической и истинной сверток.