Гурбатов С.Н., Руденко О.В. - Акустика в задачах, страница 54

Действительно, если Т = б(Г), то 2р(х,() = Е(с 1-х). Следовательно, в произволь. ной точке х» г( в интервале времени (к-И)/с «( «(х~г()/с акустический импульс (как функция Г) будет воспроизводить вид функции Е(х). 9.2.18. Источником двумерного акустического поля является круг, излучающий широкополосный шум с неизвестной плотностью спектральной мощности.

Можно ли по измерениям дальнего шумового поля определить радиус круга н спектр источников? Решение. Можно. По аналогии с задачей 9.2.16 приходим к выводу, что амплитудно-частотная характеристика шумового поля за пределами круга пропорциональна (см. (4,3)) выражению ) 7,(ы)? /с ) Н( )(ыт/с ) (. (1) Значения частот, при которых (1) обращается в нуль для всех г, дают информацию о радиусе круга )? . Далее, зная расстояние г от центра круга до точки наблюдения, определяем зависимость от частоты аргумента функции Гаккеля Н~ ). После О этого можно рассчитать плотность спектральной мощности. 9.2.19. Излучателем монохроматического поля является транспарант †плоскос к у, распределение источников иа которой описывается функцией ); правая часть уравнения (см.

(1.1.2)) при этом равна Е, = 1(х,у) б(г) ехр(-нвог). Функция 31з 1 в 0 лишь в пределах ограниченного участка плоскости. Поле измеряется удаленной приемной апертурой конечного объема. Показать, что решение задачи определения источников по нзлученному нмн полю единственно. Решение. Если два разных излучателя Р и Р создают одинаковые внешние поля, то Р— Р есть "нензлучающий излучатель".

Существование последнего является необходимым н достаточным условием неединственности решения обратной задачи излучения. Покажем, что рассматриваемый транспарант не может быть неизлучающим. Пространственный спектр этого источника )16 е' ~ Нг = )((х,у) ехр(- й х- !л у) с(хднф = )(я,л ). Поскольку )(х,у) отлична от нуля в ограниченной области, пространственный спектр )()г,х ), напротив, не обращается в Х нуль ни на какой области переменных й, й ненулевой плоша- У дн. Кроме того, спектр ) не зависит от й . Отсюда следует, г' что ( не может обратнться в нуль на всей поверхности сферы Эвальда (см, задачу 9 2.14), т.е.

транспарант не может быть "неизлучающим излучателем". 9.2.90. Монохроматическнй источник в трехмерном пространстве имеет форму цилиндра, Р = )(х,у) ехр(- йв г). Можно ли, измерив поле на удалении от источника, определить функцию ( единственным образом? Рещение. По аналогии с задачей 9.2.19 ищем пространственный спектр: )((х,у) ехр(- гйг) с(г = 2п б(л ) )(й,я ).

Отсюда следует: для таких ), спектр которых ( в 0 в сечении сферы Эвальда х + й = м /с, обратная задача имеет единст- 2 2 2 ° 2 х э 0~0' венное решение. В общем же случае это не так. В частности, излучатель в виде круглого цилиндра радиуса )го: ()(х,у,г) =' = 1 для х !-у ~ Й и 1 0 для х +у ~ )со) имеет прост-.

2 2 2 2 0 ранственный спектр ~об(й г~!(йР0)г~з Если Ромогсо есть олин из корней функции Бесселя 11, то цилиндр радиусом )1 на частоте ы будет неизлучающим. 9.2.21. Единственно лн решение трехмерной обратной задачи в классе плоскослоистых монохроматических источников Р 0 )(х) ехр( йвог)г Решение. Пространственный спектр источника: )((г) ехр(- (кг) дг 4п д(й ) б(й ) )(А ). Обратная задача излучения имеет единственное решение в классе излучателей, для которых ((л ) в 0 в точках й = +ы /с ° =-о'О на сфере Эвальда. 9.2.22. Требуется создать энергетически наиболее экономный излучатель в области )?, формирующий заданное поле р(г,() в области У. Единственно ли решение этой задачи? Ответ, Да.

Минимизация энергетических затрат автоматически отрезает класс "неизлучающих излучателей", которые не вносят вклад в поле р в удаленной области У, но потребляют энергию для создания внутренних полей в )?. Такая задача связана с конструированием сложных антенн, распределенных фазированных апертур и других излучающих систем, создающих требуемое поле в заданной области (например, в окрестности фокуса).

Она имеет единственное решение благодаря естественному требованию минимизации энергозатрат. 9.3. Обратные задачи рассеяния: альтернативные постановки 9.3.1. В области )? локализована неоднородность скорости звука с(г), принимающая за пределами )? фоновое значение с . Источники лоцирующего монохроматического поля распределены в области Х.

Рассеянный сигнал регистрируется на приемной апертуре У. Области Х, У, )? обладают ненулевыми объемами и удалены друг от друга (см. рисунок). Обратная задача рассеяния состоит в локационном определении неоднородности с(г). Как сформулировать эту задачу математически? о Р Ре К задаче 9.3.1 315 Решение. Для измеряемой характеристики — монохроматического (на частоте ы ) поля акустического давления — воспользуемо ся уравнением Гельмгольца 2 ыо 'пр(г,ьэ) 2 Р(г,ы ) = ) (г,а ).

(1) с (г) Здесь р, (-спектральные амплитуды поля и источника. В области источников Х в уравнении (1) с(г) = с . В рассеивающей области Л в (1) ( и О. Наконец, на приемной апертуре У в (1) следует положить с и с, ) я О. фактически мы имеем дело с тремя различными уравнениями. Если амплитуда поля Р была бы найдена в рассеивающей области )г, то задача определения с(г) решалась бы тривиально: с (г) = - ырр/йр.

Однако ампли- 2 о туда р в Й неизвестна заведомо и не измеряется в процессе лоцирования. Поэтому задача формулируется так: найти функпию с(г) такую, что решение всех трех уравнений (1) (в Х, Р, У) будет сшиваться на границе области )г прн продлении р(г, ы ) из областей Х (где функция р известна) и У (где р измерена). Сшитое решение должно удовлетворять условию излучения иа бесконечности. Задача может быть сформулирована относительно интегрального уравнения, соответствующего (1).

Выделим в левой части (1) гельмгольцнан; йд+ — Р= ( — 2- 2 Ь ° ),. с с с (г)~ 2 (2) 336 В правой части (2) наряду с источником лоцирующего поля по- явился член (й -Й (г)) Р— "источник" рассеянного поля, воз- 2 2 о никший из-за того, что с в с. Применим к (2) интегральный оператор, обратный гельмгольциану (см. задачи 9.1.1, 9.1.?): 1 ехр(ио~ -г ~) 2 2, ~ = — Гг ( — П вЂ”, ~ — П,-~ ("')) К ',~) ~" ' И, я Здесь р (г.,ы ) — зондирующее, а Р(г',ы ) — полное акустическое о'о о пола.

Это -уравнение типа р(г) — р (г) = )' 6(~-г') ч(г') р(г') й", (3) я агп называют уравнением Липпмаиа — Швингера; Интегральная По- становка обратной задачи рассеяния основана на двукратной записи уравнения (3): в области приема (г е У) и в рассенва- 1 ющей области (г н )г). В системе двух уравнений присутствуют две неизвестные функции г, и р, локализованные в )г. Первое ив (2.) Из (1), (2) следует, что поле в неоднородной среде есть суперпозиция "запаздывающих" полей, вычисляемых по формулам, справедливым для однородной среды.

9.3.3. Получить уравнение рассеяния и исследовать постановку обратной задачи 9.3.1 в предположении о том, что наряду с неоднородностью скорости звука в области )7 присутствует неоднородность плотности Р(г), принимающая вне я фоновое значение Ро. Решение. Рассмотрим уравнения непрерывности и движения (см.(1.1.1)), считая в анх сжимаемость (3 = В(г) и плотность р = р(г). Полагая изменение источников и полей во времени о 317 уравнений (3) связывает неизвестные г„Р с функцией р — Р, о измеряемой на приемной апертуре У в результате локационного эксперимента.

Второе нз уравнений (3) можно рассматривать как связь, накладываемуЮ на неизвестные г„р. Отметим, что для решения обратной задачи (восстановления Я(г)) требуется определить "ненужную" функцию Р— поле внутри рассеивающей области )2. Интегральная постановка обратной задачи проще и наглядней, чем дифференциальная; здесь автоматически учитывается требование непрерывности поля и условия излучения. 9.3.2. Решить задачу 9.3.1, предположив, что зондирование' неоднородности ведется сигналом конечной длительности ) (г,(). ° Рещение. Для получения уравнения типа (1.3) нужно воспользоваться оператором, обратным даламбериану. Интегральное уравнение получается таким: Р Ро = ~лг ~С(г г, Г Г ) 6(г ) Р(г,г )'г(т ( 1') и -м Как и в' задаче 9.3.1 для монохроматического поля, здбсь следует решать пару уравнений (1): на приемной' апертуре (г й У)' и в рассеивающей области (г и )7).

В этой системе функция' ~ = с ~ — с (г) и р внутри )7 являются неизвестными. Функций' о Грина дается выражением (см.задачи 9.1,7, 9.1.8) б"(г-) г)/со) 6(г,О =— и г а первичное (облучаюшее) поле вычисляется по источникам и р о' б(г-г'-1 — )/ о) = -г Р 1 — с — ~о — — -'1,(*.~')а. Определив в результате решения двух обратных задача рассеянна эффективные рассеиватели на двух частотах: е,(г,ы ) - "е, ь~„п + л, г,(г,м) и е ыэл + п, найдем Пг(Г) =«О ~~)~("О "1) " (Г) =(ЫО~1-Ы~~О)~(ЫО '1) 9.3.7.

В результате решения обратных задач рассеяния на неоднородностях скорости звука и плотности среды удалось определить функции а, п (см. (6.1)). Можно ли по этим данным с' однозначно восстановить с, (Э? Решение. По известной и скорость звука находится из перс вой формулы (6.1): с(г) = с (1- п,(г)со] (1) Для определения р(г) нужно решить уравнение типа Шредингера ЛФ вЂ” и (г) Ф = О, Ф = (р /р(г)) Р (2) Известно, что уравнение (2) имеет единственное решение, которое, в отличие от (1), находится численными методами.

9.3.8. Доказать, что обратная задача рассеяния на неоднородностях скорости звука и плотности при зондировании рассеивателя на одной частоте имеет бесчисленно много решений. Решение. Возьмем 3 любые гладкие функции, локализованные в )?: й, Рр р . Определим четвертую функцию по правилу "= "- 1-,')"' 1;1"'- 1-,')"' 1-,'1"' Таким образом, имеем две пары функций хр р1 и й, рэ, образующих одинаковую неоднородность г(г) (см.(5.1)). Следовательно, внешние поля этих рассеивателей тождественны. 9.3.9. Нижние слои атмосферы зондируются двумя сонарами (см. рисунок). Стратификация невозмущенной атмосферы (толщнны слоев и их характеристики) известны.

Цель эксперимента-определение акустических характеристик возмущения — неоднородности. Лоцирование ведется монохроматическим полем. Получить интегральные уравнения рассеяния как для давления, так н для колебательной скорости Решение. По аналогии с задачей 9.3.1 эта задача приводится к паре уравнений Липпмана — Швингера (в области )? и у), но в матричной форме ()(г) = НО(г)+ ~А ~(г — г')~(г')()(г')г(г', (1) д 319 К задаче 9.39 где в качестве полного и зондирующего полей выступают векторы О) РО( О) Матричный оператор А определяется (1.11.1), (1.11.2), а искомый рассеиватель — диагональной матрицей — 0(В(з)-В(.)) О ыо(Р(з) Р(г)) в которой В(г) и р(г) — известные функции, описывающие стратификацию неоднородной атмосферы, а В(г) н р(г) — искомые трехмерные возмущения этой стратификации.