Гурбатов С.Н., Руденко О.В. - Акустика в задачах, страница 55

9.3.10. Идеально мягкий граничный рассеиватель характеризуется функцией у(г), равной единице внутри рассеивателя (г е )() и равной нулю вне й. Доказать, что поле давления (при зондировании на частоте ы ) удовлетворяет уравнению Гельмгольца для неоднородной среды оР+ лор = Рйу+)0. 2 (1) Решение. Воспользуемся интегральной формулой Кирхгофа (2.9.1), выражающей рассеянное поле р - р через интеграл по 0 поверхности рассеивателя 5: р — рв = ~ ~р(г' ) В-„- 6(г-г' ) — 0(г-г' ) -ф-). ] г(5'.

(2) 5 На поверхности идеально мягкого рассеивателя р(г') = О, поэтому равен нулю первый подынтегральный член (2). Сменим знак при нулевом члене (2) и преобразуем подынтегральное 390 выражение Р д и б дл дл (Рб) дб Пользуясь формулой Остроградского — Гаусса, перейдем от поверхностного интеграла к объемному: р — р, = — )Ь(рб) с(г' = -)у(г') й(рб) йг' = -)рб Ьу дг'. м м Здесь мы перешли от интегрирования по объему 1/ области )? к интегрированию по всему пространству, а затем воспользовались интегрированием по частям. Применив к полученному равенству гельмгольциан, придем к доказываемому утверждению (1). 9.3.11. Какому уравнению удовлетворяет полное поле давления в случае монохроматического зондирования идеально жесткого граничного рассеивателя? Огаег.

Действуя по аналогии с предыдущей задачей и замечая, что на поверхности рассеивателя др/дп = О, приходим к уравнению типа (10.1). Отличие в том, что первый член правой части имеет противоположный знак — плюс. 9.3.12. Можно ли в результате дистанционного зондирования идейльного граничного рассенвателя определить его тип (жесткий или мягкий), размер, форму? Ответ. Да, Допустим, рассеиватель мягкий. Определим на базе уравнения Липпмана — Швингера, отвечающего (10.1), аффективный рассеиватель г. = Ьу. Форма границы (следовательно, размеры) рассеивателя можно найти, применив к рассчитанной функции г. обратный оператор Лапласа Ь (в трехмерном случае это ньютонов потенциал). Если реконструированная характеристическая функция у оказалась положительной, следовательно, тип рассеивателя угадан правильно — он акустически мягкий.

В противном случае у получится отрицательной. 9.3.13. Монохроматическая волна нормально падает иа плоский рассеиватель рефракциоииого типа (й = й(х), Р = сопз1). Спектральная амплитуда в рассеивающей области 1? О) ( о ) р( о) ~) р( о (1) Определить рассеивающую неоднородность и спектральную амплнтулу ро(х,ыо) зондирующего поля. Решение. Вычислим источники рассеянного поля. совцадающие в )? с гельмгольцианом р(х,ы ): г( рlг(х + йор = 2'йо(2(йо 1Г 3(х). (2) !1рименив к обеим частям (2) оператор, обратный оператору Гельмгольца, найдем рассеянное поле: ехр(й,)х-х')) 2)ИО ехр(И, )х)) т- то 1 —— тв — ттг~т к*') '*' т)г-'т— Так как полное поле (1) известно, находим зондирующее поле ро = ехр(й х).

Запишем уравнение Липпмана-Швингера: р(И ( -х' ~) т т (~К*')т)*',,)ш (4) Сравнивая (4) и (3) и учитывая, что согласно (1) 2Ио ' ~-в — Тд(х') р(О,ы ) д(х') р(х',ыо) б(х'), О находим неоднородность ч = б(х). 9.3.14. Решить предыдущую задачу при условии, что в обла- сти Я поле Р(х,ыо) = — (2йо-') 'ехр(тйо(х()+ ехр(йох) (1) Ответ. Аналогично решению предыдущей задачи получаем 2 2 О А (х) = йо Г:7;б(х), Ро ехр(йох). ' о Интересно, что смена знака при рассеянном поле (ср. (1) н (13.1)) не эквивалентна смене знака прн характеристике рас- сеивателя, 9.3.15.

Решить задачу 9.3.13 при условии, что полное поле имеет вид 2И, Р(х,ио) = — ~;~ — Техр(й )х))+ ехр(й х). (1) О Ответ. Ф (х) = й, + Ю(х), т.е. Ч = — б(х). Отсюда следует, 2 2 что и смена знака при характеристике рассенвателя не приво- дит к смене знака поля (ср. (1) н (13.1)). Это естественно, так как уравнение Липпмана — Швингера не является симметричным относительно этих функций. 9.4.

Лннеаризованные обратные задачи днфракции: приближения Бориа и Рытова 9.4.1. Разложить уравнение Липпмана — Швингера (3.1.3) в ряд по итернрованным ядрам. При каком условии применимо боР новское приближение однократного рассеяния? Решение.

Запишем (3.1.3) в виде РО Здесь р, р — полное н зондирующее поля, Е-функция, характео ризуюшая рассеиватель, 6-интегральный оператор с соответстл вуюшей функцией Грина. Заменим р под знаком оператора б всей правой частью (1): р = ро+~~(ро'В~р) ро' сро+ Повторяя эту процедуру У раз, получим р Ро (.(~ч) Ро~(~ч) р (2) а ! -разложение (1) по итерированным ядрам. Если норма ~ )ОЕ~ ~ «1, то при М + и последний член в (2) исчезает н рассеянное поле выражается через зондирующее р суммой, носящей название ряда Бориа-Неймана. Если ) )бЕ! ( к 1, главным становится пер- вый член ряда, и мы приходим к борковскому приближению: ро' ~ч рю (3) отвечающему однократному рассеянию зондирующей волны на не- однородности.

9.4.2. Одномерная рассеивающая неоднородность (слой) сои редоточена в области О «х «(., где с = с(х). Вне слоя ско- р сть звука с и с, а плотность равна ро во всем пространст- ве. На слой нз области х « О нормально падает плоская волна, давление в которой р (х,() -произвольная, фниитиая по времео ии функция. Считая, что неоднородность слабая: шах ~ с -с (х) ~ а с 2, и справедливо борковское приближение, получить выражение для давления в прошедшей и отраженной волнах.

Найти функцию от- клика-реакцию слоя на воздействие 6-импульсом. Можно ли оп- ределить с(х) по измерениям поля прошедшей волны? Отраженной вол н ы? Решение. Запишем исходное уравнение, выделив в левой час- ти даламбериан: д -26 2 2 1 2 — — с — ~р = - Е(х) — Е+(, Б с — с (х). д -2 -2 хг о б(23 бг2 о о Обратный оператор (см.

задачу 9,1.6) имеет внд с — ~- Яг — Р - ) — — ~~( ° ) г(х'й', 'о где 8 -единичная ступень Хевисайда. Применяя этот оператор к уравнению даламбера, перейдем к интегральному уравнению Лнп- пмана-Швиигера 1 1! р = р-р «,-'~'В~(-1 -~-" — -"-ЦЕ(х )'— р(х <уР. (3) Интегрируя дважды по частям, "перебросим" вторую производную с р на функцию Хевисайда: р = — 2о~~(6[1 — 1' — "х — ~ — )-)~(»') р(х',1') г(х'й1'.

(1) Для слабых рассеивателей выражение (з) допустимо использовать в борновском приближении. В этом случае под интегралом (1) следует заменить р на поле падаюшей на слой волны р,. Для поля, прошедшего через слой (х и ь), "од Р„ - - д- Ву ~6»') Ро[х', 1 в ~ ~г(х'. (2) о поле, отраженное от слоя, представляется иначе (х «О «к'): со В р = — р- лу )г(х') р [х', 1 + †)г(х'. О Найдем реакцию слоя иа д-импульс р (х,1) = Раб(1-х/с ): с Ро х с Р б хэс1 2 — б [1 с ~~~(х') г(х', Р =--2 — Ву~[ — 2 — ~, (4) о Из (4) следует, что рассеянная вперед волна несет информацию лишь об интегральной характеристике Г Ях') Ых'.

С помошыо о лоцирования "напросвет" иной информации о рассеивателе г(х) получить не удается. В случае же лоцирования слоя "на отражение" картина иная: р как функция времени (при фиксироотр ванном х) повторяет по форме е' (как функцию координат). 9.4.3. Рассмотреть задачу 9.4.2 прн условии, что зондирование слоя производится плоской монохроматнческой волной Ро ехр (- 1ы 1 э ьй х). Получить выражения для коэффициентов отражения и прохождения. Решение. Опуская времвнйую зависимость, запишем уравнение Липпмана-Швингера для спектральных амплитуд ос р = -~~,-~ ~ехр(1А )К вЂ” х' () Я(х') р(х') пх'.

о В приближении Бориа (р = р ) для прошедшей и отраженной волн: о д Фа уыосоро ехр(1яо») ~~(» ) г(» ' 1 (1) о р = 2'ы с,Р Р(2йо), г(я) = )Р(х) е' "г(х. (2) о Из выражения (1) для прошедшей волны следует, что, измеряя ее амплитуду, можно восстановить только интегральную харак- 324 теристику неоднородности (см. 'задачу 9.4.2). Сама же ~(х) не восстаиовима.

Иное дело — измерение отраженных слоем гармоник. Облучая слой волнами многих частот я всякий раз измеряя амплитуды отраженных сигналов, можно получить фурье-компоненты Е(2я ) для любого значения й = 2й = 2ы /с . Совершив затем обратное преобразование Фурье, можно восстановить г(х). Таким образом, неоднородность нужно лоцировать волнами многих частот (или широкополосными импульсами, как в задаче 9.4. 2). Коэффициенты прохождения и отражения равны ь (хгдй ~'Е(х) дх р г2тй +~ Е(2й ) О 9.4.4.