Гурбатов С.Н., Руденко О.В. - Акустика в задачах, страница 52

(1) 9.1.3. Решить задачу 9,1,2 для одномерного пространства. Ответ. Заменим г на х, а в импульсном пространстве (г на й: Р(х) = г г, 6 = 2 ~-ехр(йо(х-хо() ехр(-1ио!). (1) о 9.1.4. Проверить непосредственной подстановкой, что функция Грина 6 (см. (3 1)) есть решение уравнения — + й 6 = б(х-х ) ехр( — 1и !).

д 6 г о о о (1) Решение. При дифференцировании учтем, что производная )х) ' = 29(х) — 1 (где  — функция Хевисайда, равная 1 при х > О и О при х ~ 0). Производная 9'(х) = д(х). Поэтому а'6 Н г ,(г х о о = й — й (29(х-х ) — 1) 6 — й 6 - д(х-х ) ехр(-1и !), о о о откуда следует справедливость (1).

9.1.5. Получить решение волнового уравнения (1.2) для произвольной зависимости источников от времени Исследовать случай точечного мгновенного "щелчка" Е = д(г-г ) д(1-! ). Решение Пользуясь преобразованием фурье по времени: и и р(г,!) = )р(г,и) е ' Ы, Ео(г,!) = )Ео(г,и) е ' !(и, сведем волновое уравнение для каждой из частотных компонент р(г,и) к уравнению Гельмгольца (см.(1.4)).

Его решение имеет вид (1.6). Интегрируя по всем частотам, найдем Р р(г !) = — 4%1 Я- Т ~)Ео(г' и) ехр[- 1и(! сп )г-г'()) г(и = —  — — Г РЕо("- о'( -" () от (1) Поле давления (1) есть сумма сигналов, излученных объемными элементами г(г' и пришедших в точку приема г с различными за- паздываииями. Для д-щелчка из (1) получаем Р = — й--р--„--Г д (! — (1, +с„) г-г' ()~. (2) и г го Видно, что расстояние (г-г ( между точками излучения и прио ема импульс пробегает за время 1-1, двигаясь со скоростью с = (В Р ) .

Множитель !г-г ) в (2) описывает убывание -!/2 сигнала вследствие сферической расходимости. 9.1.6. Решить предыдущую задачу в одномерной постановке. Ответ. Решение (аналог (5.1)) имеет внд -Р~Т с = — 2 ~Р (х', 1-с (х-х' (~ г(х'. -Ф Для точечного мгновенного "щелчка" Р = д(х-х ) д(( — г ) имеем со р(х,г) = — 209(! — 10-с~ (х-х'(). (2) При х» х возникает ступенеобразный импульс, бегущий вдоль 0 х вправо, а при х «хо такой же импульс бежит влево. 9.1.7.

Показать, опираясь на задачи 9.1.1-9 1.3 и 9.1.5, 9.1.6, что функция Грина является ядром интегрального опера- тора, обратного дифференциальному оператору, производящему исходное уравнение. Так, обратным гельмгольциану (Ь»22) ( ° ) 0 будет ) О(г-г') !(г' ( ). Какой вид имеет оператор, обратный даламбериану г2(') = (Л вЂ” с, д /д( ) ( )? -2 2 2 Решение. Из определения функции Грина следует (Л«й~) ~!(г' 6( ) = ~г(г' д(г — г') (') 1('), т.е. произведение прямого и обратного операторов Гельмгольца есть единичный оператор. Аналогично показывается, что обрат- ным даламбериану будет оператор с! ! = 2 — )ге кс(~ ~ ) О(г — г') (') г(г' ды Ж', (1) поскольку !2 !2 ! = 1.

Например, для трехмерного пространства С! = — йп-~д(à — Р— с (г-г' () ( ° ) 1, -!, . !(г'Нг' (2) 9.1.8. Показать путем непосредственной проверки, что для обратного оператора (см. (7.2)) справедливо с! о = 1. -! Решение. Обозначим в (7.2) для краткости аргумент д-функ- ции буквой т. Дифференцируя, убеждаемся в справедливости п~д(т) (г-г') 1 = — 4пд(г — г') д(т). Поэтому !2 и (') = ~д(т) д(г-г') ( ) г(г' а'. Применяя оператор (1) к произвольной функции ((г,(), убеждаемся в том, что ~б(т) д(г-г') ((г',(') !(г'Ф' = ~Ь(г-(') )(г,~') Ж' = )(г,(). 9.1.9.

Систему акустических уравнений (1.1) можно запи- сать в матричной форме; '"И-Ю "-1,"" „„'1 Найти оператор А, обратный данному. -1 Решение. Считая, что переменные р и ч изменяются как ,ехр(-йМ+ йг), т.е. рассматривая один компонент пространственно-временного спектра поля, приведем дифферепцнально-матричный оператор А системы (1) к обыкновенной матрнце. Ее можно обратить по известному правилу: , Г".' —,.".Г- ! "(,'";".) Здесь й = Р р ыз, Применяя к обращенному оператору (2) пространственное преобразование Фурье, находим матричную функцию Грина: (ыроб Чб (8) где 6 = Сг(ы, г-г') -функция Грина уравнения Гельмгольца, которая для пространств одного, двух н трех измерений найдена в задачах 9.1. 3, 9.1. 2, 9.1.1.

Таким образом, в результате обращения матричного оператора А (1) получаем А ( ) = 2-„-1е ~"( ) 6(ы, г-г') ( ) дг' НыЖ'. (4) Результат (4) есть матричное обобщение формулы (7.1). 9.1.10. Действуя по аналогии с задачей 9.1,8, показать, что интегральный матричный оператор А предыдущей задачи "-! является правым обратным дифференциальному матричному опера-1 тору А, т е. АА = 1, где 1 — единичная матрнца.

9.1.11. Найти функцию Грина системы (9.1) для случая стратифицнрованной (слонстой) среды. Стратификация задана функциями р' = б(г), р = р(г). Переменные р и т изменяются по гармоннческому закону ехр(- но г). о Решение. Примерами таких сред служат плоскослонстые модели атмосферы и океана (г — вертикальная координата), многослойные полимерно-клеевые покрытия. Поиск обратного операто- ра ведется способом, аналогичным использованному в задаче 9.1.9, и приводит к выражению А ( ° ) = — )ехр [й (х-х')+й (у-у'Ц 6( ° ) т(г'!(й гй . Щ 2» у к у' Здесь [ (ыор(~)к (йку,й д, с(д/т(г) 1 ку' уа' трыор(х) Ы.')' а функцни д является решением одномерного уравнения — ы В(х) Р(2) — (а +Ы ) к = д(х-е'). у Полезно убедиться в том, что выражение (1) является нравыМ обратным оператором по отношению к исходному дифференциально-матричному (по схеме задачи 9.1.10) 9.2. Обратные задачи мзлученин 9.2.1.

Источник плоских воли (см.(1.1.2)) имеет вяд у,(х,!) = ехр(-!ыо!) при )к) « е! и у и О прн )х! с( . Ках зависит поле давления от !(? Прокомментируйте результат с точки зрения решения обратной задачи излучении. Решение, Обратная задача излучения состоит в определении источника по.нзлучениому им. полю, измеренному на удалении от источника (за его пределами). Используя функцию Грина одно мерного уравнения Гельмгольца, в области х « — !т' наидем Н р ехр(по г-й х) = 2 —.й- ) ехр(й х) с!х = — -кк з!и й !к. (1) 1 ! О О ! О й О О Поле в области х « — Н есть плоская волна, бегущая в сторону уменьшения значений х н имеющая амплитуду )з!и й !Г)/й .

ТОч- 2 но так же показывается, что при к ~ с( существует плоская волна равной амплитуды, бегущая в сторону возрастающих х. Внутри излучателя ()х( «Н) поле -Уио! -Й» -жОУ -й» !аОУ к и Р = н-х- е [с )ге !2У т е )!е с(У~ ""О -а к 2 О -«з ) = л е (1-созй х) е '. (2) Видно, что при й Н 2пл амплитуда поля вне излучатели (1) О обрашаетси в нуль. Внутреннее поле (2) при этом не есть тождественный нуль, но обращается в нуль на границе х = »1.

Таким образом, существует множество (л = 1, 2,3, ...) источников, не излучающих за свои пределы, но создающих сколь П Акустика а ааааиак угодно сильные поля в области своей локализации. Наличие "неизлучаюших излучателей" доказывает, что обратные задачи излучения ие имеют единственного решения. Действительно, к любому источнику, излучающему поле вовне, можно приплюсовать комбинацию неизлучающих источников, В результате получится источник, описываемый совершенно иной функцией Р, однако внешнее поле р(х,г) не изменится. 9.2.2. Пара излучающих плоскостей задана выражением Ро = ехр (- 1"о')(б(х хо) ' б(х хо6 При каком значении х источник (1) будет неизлучающим? Решение.

По аналогии с задачей 9.2,1 находим Р(х г) й соз(лохе) ехр (- (ыо(+ (лох). (2) о Знак плюс отвечает волне, бегушей при х» х вправо, минус— о при х ч - х влево. Поле между плоскостями 0 «О и"о' р(х,г) = — — 'е соз(А х) е „- х м х х о " о о ни при каком хо тождественно в пуль ие обращается; здесь возникает стоячая волна с амплитудой й !. Во внешней области )х)» х давление (2) обращается в нуль тождественно при о й х = п(л-1/2). Итак, хотя каждая из пластин создает нену- О о левое поле, эти поля за счет интерференции могут друг друга гасить, На атом основана идея активного гашения звука, используемая во многих устройствах. 9.2.3.

Показать в общем виде, что одномерная обратная задача излучения единственного решения не имеет. Решение. Излучение плоских волн описывается неодкородиым волновым уравнением Даламбера гб« р б2! а!р(х,г) = ! — - с — ~р Р (х,1). ! ' 1бх2 о л(2~ о (1) Пусть (для простоты рассуждений) Р м 0 при всех х за пределами области )г. Возьмем произвольную гладкую функцию д(х,!), которая также равна нулю вне )с Вычислим с! д = Р, найдя тем г самым новый источник Р!(х,г). Теперь рассмотрим уравнение пр Р+Р (2) Понятно, что решения (1) и (2) совпадают вне )г.

Следовательно, внешнее поле не определяет излучатель единственным образом. Эти рассуждения дают алгоритм построения "неизлучаюшего излучателя" из любой дважды дифференцируемой функции ф К задаче 9.2Л (2) 9,2.4. Гармонические во времени источники в двумерном пространстве распределены равномерно внутри круга радиусом )( . Рассчитать поле, проанализировать результат с точки зре- ния возможностей решения обратной задачи излучения. Решение. Воспользуемся двумерной функцией Грина (1.2.1).

Для расчета поля (см.рисунок) нужно взять интеграл 2п и ) "Ф ) НО )яо(т + г' — 2гг'созЮ) ~г' з(г'. (1) О О Учитывая, что функция Ганкеля выражается через функции Вес- селя и Неймана (Н ) = ) + (М), и пользуясь формулами (! О О ) ~ (а +В -2аВсозр)' / г(р пао(а)~ ), )а( < )В), О О ~ Н,(В)!' приходим к выводу, что интеграл (1) распадается на два — для случая г ч )) (точка наблюдения находится внутри круга) и о для г ь )( (точка вне излучающего круга). Далее, пользуясь формулами интегрирования бесселевых функций и соотношением У (г) Н()(г) -) (г) Н()(г) = 2/((пг), получим выражения для внутреннего поля (г ч Р ) р = й ~1 — ((п/2)л Н Н( 1(й Н ) у (й «)~е ' о' и внешнего поля (гь)г ) кругового излучателя Р = - ('и/2)(йо/'О) 'ЙРО) НО '(Ю е (3) Из (3) следует, что для значений аргумента й )то, при которых l = О, р — Π— круг превращается в "неизлучаюший излуча- 1 тель".