Teoria_i_tekhnika_obrabotki_radiolokatsi onnoy_informatsii_na_fone_pomekh (Рекомендованные учебники), страница 11

Пусть события В~ состоят в реализациях непрерывно распределенных значений вектора р на различчающихся интервалах ар. Тогда вероятности Р (А ! В,) ж р (у1Я-4,"Р (В ) ж р (($) Н~. Подставляя приведенные выражения в формулу полной вероятности и сокращая обе части равенства на ау, находим аналог этой формулы для непрерывно распределенных событий р: р (у) = ~ р (у ~ О) р Ф) йр. (6.1) (р) Реализация у возможна не только в присутствии полезного сигнала, как предполагалось при выводе (1), но и в его отсутствие. Она характеризуется в этом случае плотностью вероятности р (у). Поделив на указанную плотность вероятности обе части равенства (1), найдем отношение правдоподобия 1(у)=р.

(у)lрв(у) = ~ 1(у|())р(Р)41 (6.2) (р) Отношение правдоподобия (2) оказывается результатом усреднения частных отношений правдоподобия 1 (у ~ (1) = р, (у ~ (1)lрп (У) =1 (р) рассчитанных для фиксированных реализаций р, по всевозможным этим реализациям. Оно является, иначе, математическим ожиданием частного отношения правдоподобия 1 (у ~ й) = 1((1). Частное отношение правдоподобия соответствует сигналу х ((1) с полностью известными параметрами.

Применительно к обнаружению на фоне гауссовских помех такое отношение правдоподобия было найдено ранее. С учетом зависимостей 1, ~, у' от р, имеем 1((1) = е((р) в~(р)/я. 65 Выражение (2) принимает внд 1= ( ес е>- <влзр(()) г(6, 4> где в силу (5.16), (5.24) (6. 3) ОЭ ~(р)=1ре ~ ут(Г)К.(,,~)с~~ 2 СФ о ® = — ' ~ Х (Г, Р) К*(1, Р) а. 60 (6.4) (6.5) Комплексный вектор весовых функций К (Г, (1) в соответствии с (5.20) находится нз уравнения — ( Ф (Г, з) К (з, )3) гЬ = Х (Г, (3). (6.6) 2 ЮО Рассмотренный вариант учета вектора неинформативных парамет.

ров р имеет важное практическое значение, хотя и не является един. ственным (см. гл. 8, 19). 6.2. Отношение правдоподобия и алгоритм оптимального обнаружения сигнала со случайной начальной фазой (Ю вЂ” ( Ф (г, з) К (з) ~Ь = Х (1). 2 СО (6.10) Весовой интеграл (4) после подстановки (9) принимает вид ь (р) = Ке (Ее-гв) = ! Е ! сов (р — агя Щ 66 (6.1 1) Вектор р вырождается в данном случае в единственный скалярный параметр — начальную фазу 5, а вектор-столбец комплексных амплитуд сигнала принимает вид Х (г, (1) = Х (Г, р) = Х (Г) егв.

Распределение случайной начальной фазы 8 задаем равномерным р(р) = 1/2 и, 0<р<2п. (6.8) Решение уравнения (6) с правой частью (7) принимает вид К(1, 8) = К(Г) ел~. (6.9) Входящий в (9) комплексный весовой вектор К (г) определяется из не- 'содержащего р интегрально-матричного уравнения куда входит модуль комплексного весового интеграла Е= — ' (' ус(1) К'(т) ~(1. (6.12) 2,1 со Параметр обнаружения (5) от р не зависит: Ч' (Р) = 7'. (6.13) где Рис, 6.1 (6.16) 6.3.

Отношение правдоподобия и алгоритм оптимального обнаружения сигналов со случайными амплитудами . и начальными фазами Для произвольного сигнала со случайными амплитудой и начальной фазой имеем (1 = (в, р) и Х (1, ()) = ЬХ (1) е(з„ (6.19) где 6 — амплитудный множитель.

д' = — ) Х' (1) й' (г) (1('. (6.14) 00 Отношение правдоподобия (3) после подстановок принимает вид 1 — Š— д'/2 Е( В! сос ( — всв Х(ф 2л о Интеграл (15) сводится к табличному ео сос (в — вл ф — 1„(и). 1 е 2и,) о Функция 1, (и) — модифицированная функция Бесселя нулевого порядка. Модифицированной называют вещественную функцию 1, (и), получаемую из степенного ряда обычной функции Бесселя первого рода 1о (и) путем замены и на 1и. Степенной ряд функции 1,(и) не содержит, как известно, слагаемых с нечетными показателями степени. Указанная замена при вещественных значениях независимой переменной и поэтому не выводит функцию 1, (1и) за пределы вещественной области, График модифицированной функции Бесселя нулевого порядка л = 0 представлен на рис.

6.1. Выражения отношения правдоподобия и его логарифма для сигнала с равновероятной начальной фазой принимают вид: 1= е-с'/'1, (1Е ~), (6.17) 1п1=!п1, (1Е!) — ~д/2. (6.18) Правило сравнения (Е~ с порогом является удобным алгоритмом оптимального решения в силу монотонно-нарастающей зависимости 1п1 1Е!. 1(6) = — ' '~ 7,(Ь! К!). (6.20) Полученное выражение (20) следует усреднить согласно (2) по возможным значениям амплитудного множителя Ь для каждой принятой модели его распределения. Распределения 6 в активной радиолокации связаны с распределением эффективной поверхности цели а = 6'а„.

Математическое ожидание квадрата амплитудного множителя М (У) = Ь' примем ниже равным единице. Величина д' в выражении д' (6) = дьЬе приобретает смысл параметра обнаружения, рассчитанного на среднее значение энергии сигнала. Широкий класс реальных распределений амплитудного множителя Ь, в частности, для самолетов описывается моделью т-распределения Наказами: р (6) К Ьгь — 1 е — ь~ (6.21) Здесь К = 2т"'!Г(т) — нормирующий коэффициент; Г (т) — гамма- функция.

Для целых т) 2 значение Г (т) = (т — 1)1; Г (1) = 1. Соответствующие распределения о„находятся по правилу трансформации законов распределения р(а„) = р(6) дЬйЬ„, где Ь=~/ оч/оч. (6.22) Таким образом, р (о„) = (К (2а„) (а„/а„) -' е (6.23) что соответствует гамма-распределению. При т = 1 распределение Накагами переходит в релеевское р (6) = 2 Ье — ь', а гамма-распределение в зкспоненциальное. Эта модель правильно описывает распределение амплитуд и мощностей сигналов, отраженных от целей с большим числом случайно расположенных, независимо отражающих и равноценных элементов (блестящнх точек). Цель с доминирующим отражающим элементом лучше описывается вторым распределением Накатами р (6) = 8 Ь' е — '"* и так называемым вторым распределением Сверлинга р (о„) = (4 о„l(ач1г е ьчюч (рис.

6.2, 6.3). Подобная модель, приближаясь к более сложной н точной в указанном случае модели обобщенного закона Релея 1461, удобна при проведении расчетов. Подставив (20) и (21) в (2), найдем выражение отношения правдоподобия для сигнала со случайными равновероятно распределенной начальной фазой и с амплитудным множителем 6, удовлетворяющим 58 Пусть исходные значения Х и д' вычислены при Ь = 1. Аналогичные значения при неравном единице, но фиксированном Ь определяются выражениями Х (Ь) = Ь 7, д' (Ь) = Ьзд'.

Частное отношение правдоподобия при фиксированном амплитудном множителе, но случайной начальной фазе р в силу (17) принимает вид распределению Накагами: /=К ) /)о )!о(Р6)е — оо'г/Б, о (6.2 где р,=-(Х!=-)/)Х,1, ч=-т+о/о/2. Используя правила дифференцирования по параметру н сводя о) ределенный интеграл к табличному, при целых и получим СО л)~и — ! ) /=( — 1)" — 'К ~ Ы,()о())е — ~о*о(Ь. 1т — )) о Окончательно г)1~ — ') г / = ( — 1)'" — ' К [ — ехр ())о/4ч) ~, о(о)~ — )) " 2о (6.2! где о = т + до/2. Для и = 1 и т = 2, в частности, имеем 1и/= Ч ~ и1 — 1п(1+)/о/2), 2 (1 + Чо/2) (6.2( 1п /.=- ч " / -(-!п(1-(-)/о! Хи ~о/4) — 2 1и (1+до/4).

(6.27 2 (1+ д'/4) Рис. 6.2 Рис. 6.3 5( Функции 1п 1 и 1, определяемые (26), (27), являются монотон но нарастающими функциями аргументов ~ Хи ( и ) Х !. Их сравнени с порогом (порогами) сводится к сравнению со своими порогами нормированных [Х [ или ненормированных [Х [ модульных значений весовых интегралов. Указанный вывод относится не только к использованию распределений значений Ь типа Накатами, релеевского в частности.

Он справедлив для произвольной плотности вероятности р (Ь). Последняя всегда выражается неотрицательной величиной. Функция 1, (Ь ~ Х[) при любом Ь вЂ” монотонно нарастающая аргумента [Х [. Интеграл (2)— также монотонно нарастающая функция этого аргумента. Сравнение 1 с порогом (порогами) может быть заменено сравнением [ Х[ со своим порогом (порогами).

Последнее замечание существенно, поскольку наряду с распределением Накагами могут использоваться другие распределения Ь. Показателем применимости распределений Накагами является отношение Ац —— оц/о„ц,д среднего значения эффективной поверхности реальной цели к ее медйанному значению. Медианным называют такое значение о, вероятности превышения и непревышения которого составляют 1/2. Для закона т = 1 (релеевского) значение Ац = 1,44; для закона т = 2 значение йц — — 1,18. Встречаются между тем цели, для которых /гц ) 10. К нйм относятся корабли и другие цели с клиновиднымй элементами, отражающими при некоторых углах падения почти зеркально. Тогда переходят к модели лоеарифмическинормального распределения р (о„) = (1/очи~ 2пл)) ехр ] — (1и оц — 1п о„)'/2й].

(6.28) Значения 1п о и 1п Ь распределены в этом случае по нормальному закону, отношение Ац — — оц/оц „,д определяется выражением /гц = е~~/2. При изменении дисперсйи Ю величина й изменяется от 1 до оо, что является достоинством аппроксимации (28). Еще более широкие возможности аппроксимации дает совокупность распределений Джонсона. Это распределения случайных величин е=оц или в=Ь, трансформированных из гауссовских величин г с единичной дисперсией и нулевым математическим ожиданием при помощи нелинейных функций ен (г) (/=1, 2, 3) трех типов, одна из которых приводит к (28). Подбор типа функции осуществляется по соотношению коэффициентов асимметрии и эксцесса экспериментальной кривой, например р(оц)'. Для простых целей Н44] с малым числом блестящих точек лучший результат дает ограниченное с двух сторон по переменной е преобразование з, (г) = е+ А [ехр [(у — г)/ц]+ 1) ', где е, й, у, т) — параметры.

Широкое развитие электронно-вычислительной техники позволяет моделировать случайные числа г и величины з~ (г), соответствующие найденным распределениям. Могут моделироваться также дискреты помехи и значения Ь и оц для каждого возможного расположения отражающих элементов цели в пространстве. Это обеспечивает прямое моделирование процесса обнаружения. 60 о.4. с.труитурные схвмы оонаружнтепей снгнвйоа со . случайной начальной фазой н со случайнымн амплитудой н начальной фазой Алгоритмы оптимального многоканального обнаружения когерентных сигналов со случайной начальной фазой и со случайными амплитудой и начальной фазой одинаковы. Отношение правдоподобия (его логарифм) является в обоих случаях монотонной функцией от модульного значения ~ Е ! комплексного весового интеграла Е.

Алгоритм оптимального обнаружения может быть сведен к сравнению этого значения с порогом (порогами). Вычисление модульного значения весового интеграла реализуется путем квадратурной обработки: ~ Е1= 3~'(Ке Е)'+ (1гп Е)'. (6.29) Обработка (рис. 6.4) проводится в двух независимых каналах, называемых квадратурными. На каждый из них подается совокупность опорных напряжений, сдвинутых по фазе на 90' относительно совокупности напряжений другого канала. Опорные напряжения описываются вектор-столбцом комплексных амплитуд К (1) в первом канале и вектор- столбцом — 1К(() — во втором.