Teoria_i_tekhnika_obrabotki_radiolokatsi onnoy_informatsii_na_fone_pomekh (Рекомендованные учебники), страница 8

Обнаружение осуществляется на фоне стационарного белого шума. Поэтому операции оптимального обнаружения сигнала (4), (14) связаны с вычислением для различных и корреляционного интег- рала ОЭ г(а) = ~ и(< — а) у(<)а<!. (4.28) Аналогия интеграла (28) с интегралом свертки позволяет использовать линейную фильтрацию для его вычисления. Для этого выходное напряжение ш (г) согласованного с сигналом фильтра ОФ должно воспроизводить значения г (а) для различных а последовательно во времени с некоторым запаздыванием гь (рис.

4.11). Потребуем, чтобы !о (Го + а) г (сь) (4.29) где г (а) равно г,„(а) или г„(а). Унифицируя обозначение переменной интегрирования в (24), (28), соотношение (29) представим в виде ~ о(<ь+а — в)у(з)с(з= ~ и(з — а)у(з)с(з. (4.30) о (г') = и (гь — !), (4.31) оптимальную при обнаружении на фоне стационарного белого шума. Импульсная характеристика согласованного фильтра (рис.

4.12) зеркальна ожидаемому сиеналу, т. е. о (гь)2+ $) = и (гь)2 — $). За и<ге+а)= у<с) гебу у<с) о<с)< и<ге г) и<те+а) =гп <а) ге+ а Рис. 4.1! 38 Равенство (30) тождественно удовлетворяется при условии о (ге + + и — з) = и (з — а). Обозначая гь + и — з = ! и заменяя з — а= = гь — <, находим импульсную характеристику согласованного с сиг- налом фильтра Рас. 432 счет этого при согласованной фильтрации выполняются операции корреляционной обработки: перемножение принимаемых напряжений на ожидаемые и интегрирование полученных произведений. Величина г', не может быть излишне малой, иначе условие реализуемости фильтра (21) не выполняется.

Для импульсных сигналов и (г) с отличными от нуля значениями на интервале 1( т„величина 1, ) ) т . Преобразование Фурье (26) от импульсной характеристики (31) определяет частотную характеристику согласованного фильтра Кф= ~ и(1о — г)е — !гний(. После замены переменных 1,— 1 = в, г = 14 — е с соответствующей заменой дифференциалов йг = — ав и пределов интегрирования имеем К()) =е — ~'"Ре ~ и(з) егг"н йг.

(4.32) (4.33) Частотная характеристика согласованного фильтра сводится таким образом к произведению комплексно-сопряженной спектральной плот- ности сигнала и множителя запаздывания е — Мт': (4.34) 39 Входящий в (32) интеграл представляет собой комплексно-сопряженное значание спектральной плотности сигнала Введя модули и аргументы в выражения К Д) = ! К Д) ! ега"ил<11 и я'Д)„'='!д(<)! е< "ив<11, перейдем к амплитудно-частотной ! К (1) ! и фазочастотной агд К Д) характеристикам фильтра, к амплитудно- частотным !д Д) ! и фазочастотным агя и Д) спектрам сигнала. В силу (34) ! К Ч) ! = ! й' Ч)! (4.35) агц К Д) = — агц и Д) — 2 и (га. (4.36) Это значит, что согласованный фильтр имеет в общем случае неравномерную амплитудно-частотную и нелинейную фазочастотную характеристику: он искажает сигнал.

Задачей этого фильтра является не воспроизведение сигнала, а выделение его пика на фоне помехи. Наилучшим образом воспроизводятся лишь наиболее интенсивные спектральные составляющие сигнала (рис. 4.13). Его слабые составляющие подавляются, иначе с ними прошли бы интенсивные составляющие помехи. Фазочастотная характеристика согласованного фильтра компенсирует взпимные фпзпвь<в сдвиви агя д Д) элементарных гармонических составляющих спектра сигнала. Сигнальная составляющая и<, (г) выходного напряжения фильтра (23) зависит только от амплитудно- частотного и не зависит от фазочастотного спектра сигнала СО ъ.(Г)= ! (а(7)!ас<аи<«-"-"1 Ч.

(4.37) Здесь 'учтено, что в отсутствие помехи ааЯ = д Д) е <а"1" а К (1)'" определяется согласно (34). В момент г = га + с< гармонические составляющие разных частот (37)1 складываются в фазе, образуя сигнальный пик на выходе согласованного фильтра, что упрощенно поясняется на рис. 4.14 для трех дискретных гармоник спектра. !<<апт «у! г <1 ~ !р(г7! l Рис.

4.13 Рис. 4.14 40 6.6. Оптимааьная фильтрация иак операция обнаружения на фоне стационарного небепого шума Небелым назовем стационарный шум с неравномерной спектральной плотностью мощности У (г) для 1". ) О. его корреляционная (автокорреляционная) функция определяется по теореме Хинчина СО ОР <р(г,з)= ( У(р)соз2пГ(г — з)ф= ( ~ е~га~и — '>ф. (4.38) ,1 2 о Ой В последней записи доопределены значения 1т' Д) = 1т' ( — 1). Весовая функция г (з, а) линейной обработки при одноканальном обнаружении сигнала определяется из интегрального уравнения 00 ) <р(1, з) г(з, а) На=и(г' — а).

Ф (4.39) оказывается интегралом типа свертки. Он сводится к выходному напряжению ш(Гз+ а) = ь (а) оптимального фильтра с импульсной характеристикой о Р) г (Го 1). (4А2) Оптимальная частотная характеристика фильтра К д) = дг я е-/'"н ° (4.43) по аналогии с (34) выражается через комплексно-сопряженное значение спектральной плотности весовой функции г (г): ОО д„ф= ~ г(1)е-!зина(т.

СО (4.44) Значение (44) найдем из интегрального уравнения (40). Подставляя (38) и выражая и (г) через д' Д), находим ОО й ОО (') ~ г(з)е-~™ийзе1ззнф= ~ д())еРзнйр (448) 2 Уравнение (39) в силу стационарности помехи ~р (г, з) = ф (з — а, з — а) удовлетворяется решением г (з, а) = г (з — а), где г (з) — решение уравнения ) (р(г,з)г(з)~(з=-и(1). (4.40) Весовой интеграл ~о ОО ь(а) = ) у(1) г(г, а) йг'= ) у(г) г(1 — а)гй (4.41) )АопгП! 1 "огл(г )! а> Рис. 4ЛБ Используя (44) и сопоставляя подынтегральные выражения (45), получаем лт(г) у„Д)/2 = д Д).

(4.46) Из (43) и (46) найдем оптимальную частотную характеристику К (~) = юг* ф е - тгггл,7 Аг ()) (4.47) которой подавляются спектральные составляющие, наиболее забитые шумом (рис. 4.15). Импульсная характеристика фильтра согласована с весовой функцией г (г), а не с ожидаемым сигналом. Аналогично (37) сигнальная составляющая выходного напряжения 00 ш,(1)=2 ( 12(Л1 ем'ггк — г — ющ .(71 в момент времени г = го + а образует пик. Мгновенное значение этого пика соответствует параметру обнаружения Ч'(г) = ) (ага(г)77У (г)) г(7, СЮ где Э „Д) = 2 ) л Д) ~ ' — удельная энергия сигнала на единицу ширины спектра частот. Литература: 17, 11, 12, 14, 22, 27, 29, 46, 52, 54, 110!. а осоввнности многоканального ОБнАРужения высокочастотных сигналов 5.4.

Комплексная запись узкополосных высокочастотных колебаний Полоса частот П высокочастотных сигналов х (г) = ~ х~ (г) 1, как правило, значительно меньше несущей частоты 7„. С учетом имеющей место преселекции то же самое обычно относится к полосам помеховых и (г) = !/ л~ (1) 1 и принимаемых колебаний у (1) = !~ ую (г) 1. 42 Особенностью высокочастотных колебаний а (1) = а (г) соз [2 п/,/+ Ф (/)] (5.1) является «медленноеь изменение их амплитуды а (/) н начальной фазы ф (/) за пернод 1% высокочастотных колебаний.

В предельном случае гармонического колебания П -э О амплитуда а н начальная фаза ф вообще не изменяются. Обозначая 2п/,/+ ф (/) = Ч' н используя формулы Эйлера соз 1г" =- Ке еге = (ел" + е — /ч')/2, ' (5.2) выражение (1) представим в виде а (/) = Ке [А (/) е!'т ' ] = [А (/) е/Ят ' + А* (/) е — и пи ']/2.

(53) Здесь А (г) = а (/) егеа> — комплексная амплитуда высокочастотного колебания, А* (Г) = а (г) е — Чп> — ее комплексно-сопряженное значение (точкн не ставим, если возможен набор прописных букв). Произвольное высокочастотное колебание а (/) сводится, таким образом, к реальной части произведения' комплексной амплитуды А (/) и высокочастотного комплексного множителя е/'"/', либо к полусумме аналогичных комплексно-сопряженных произведений.

Другое высокочастотное колебание Ь (/), взятое в какой-то иной момент времени я, аналогично примет внд Ь (я) = [В (я) емт ' + В* (я) е — !'ль ']/2 Произведение а (/) Ь (я) сведется к алгебраической сумме четырех одночленов, разбиваемой на парные суммы комплексно-сопряженных одночленов, с разностнымн (/ — я) (1/4) А (1) В' (я) егя"ь и — н + (! /4) А" (/) В (я) е — /яьь и — м н суммарными (г+ я) аргументами высокочастотных множителей (1/4) А (г) В(я) е~"'~ П+'+(1/4) А*(/) В*(я) е — (гт П+'.

Поскольку каждая нз парных сумм сводится к реальной части комплексного числа, приходим к выражению а(/) Ь(я) =(1/2) Ке[А(/)В'(я) е!то и — о+А(/)В(я) еп"пи+и]. (5.5) Из выражения (5) вытекают два следствия. Одно нз ннх упрощает вычисление интегралов ]" а (/) Ь (Г) а/, другое — взанмокорреляцнонных функций М[а (Г) Ь (я)] узкополосных высокочастотных колебаний. 5.2.

Приближенной вычисление интегралов от произведений узкополосных высокочастотных колебаний Первое слагаемое в квадратных скобках выражения (5) прн я = 1 вообще не содержит высокочастотного множителя. Второе слагаемое включает быстроосцнллнрующнй множитель ег '"". Интеграл от второго слагаемого за период высокочастотных колебаний 1% прн 43 медленно изменяющихся А (8) и В (/) имеет поэтому практически нулевое значение ~ +~11 А(1) В (1) е/4пб с гЦ ~ и+~11 А(/о)В(/о) ) е/4ч1 (Ж ж О. с, а/ 'й э ~за~А/Г/Л/1/е~ х' ~ ) (5.7) $.3. Вычисление взаимных корреляционнь(х функций случайных узкополосных высокочастотных колебаний М(а(1)Ь[з)] в линейных системах с постоянными параметрами Без каких-либо упрощений М (а (/) Ь(з)) = Ке ((1/2) М(А (1) В*(з)] е/п"/е <'-Н+ +(1/2) М(А (1) В (а)) е/ач1.1!+и) Случайными здесь считаем не только амплитуды, но и начальные фазы колебаний а (1), Ь (з).

Поэтому в многоканальных линейных системах с постоянными параметрами (или даже с переменными параметрами, но одинаковым преобразованием частоты — вверх, вниз) математиА4 Функциональные зависимости реальных частей каждого из слагаемых (5) от времени 1= з поясняются на рис. 5.1,а, б. Интеграл от Рис. зл функции рис. 5. 1, б, поочередно принимающей близкие значения противоположного знака, дает ничтожное приращение к интегралу от функции рис. 5.1, а. Поэтому при интегрировании за время /, — /м существенно превышающее период колебаний 1%, и с, а (1) Ь (1) Л ж — Ке ~ А (1) В* (1) й.