Teoria_i_tekhnika_obrabotki_radiolokatsi onnoy_informatsii_na_fone_pomekh (1021138), страница 4
Текст из файла (страница 4)
(2.22) пп Здесь У (1, А, А ) =- (1 — А ) ((1 — А) 1+ А1«]+ Аи (1»1+1») (2.23) при 1(у) (1 на прямой А=О« при 1(у)) 1, на прямой А=1. Результат оптимизации (выбора А) полностью согласуется с (20). Графики (прямые) зависимостей функции Я = Я (1, А, А„) от 1.для трех возможных решений «Да», «Нет», «Не знаю» представлены на рис. 2.6.
Предполагается, что стоимости незнания не превышают соответствующих стоимостей ложной тревоги и пропуска цели, так что 1, < 1„1, ( 1. Минимальные значения ь соответствуют трехаоро- Рис. 2.6 Рис. 2.5 15 — линейная функция отношения правдоподобия 1=1(у)=Р, (у)(Ри(У). Минимизация (22) достигается за счет минимизации (23) при каж-. дом фиксированном 1(у). Как и в предыдущем случае, достаточно' сравнивать для этого значения (23) при различных решающих множителях А и А для каждого 1. Случай А = Π— это, по существу, рассмотренный выше случай двухальтернативного обнаружения. При этом х" = (1 — А) 1+ А1«. Графики (прямые) возможных значений функции ь" = (1 — А)1+ А1„ при значениях А = 1 и А = 0 представлены в зависимости от 1 = = 1(у) на рис.
2.5. Наименьшие значения функций достигаются: вовы») оптимальным решениям 1, если 1 (у) ~ Ь, А(у)=~ ' ~ О, если 1(у)(а, Аи (у) = 1, если а ( 1 (у) ( Ь, (2.24) (2.25) Р= ~(1 — А(у)1~ (у) ри(у)г( у= ~ 1,,(1))11, (ю — СО а Р = ~ ~1 — А (у)) р.
(у) ( у = ~ р,(1) 11. О) ОР (2.28) (2.29) На шаг достижения порога Ь многошаговой процедуры согласно рис. 2.8 можно приближенно считать 1 ж Ь. Тогда из (26), (27) Р ж ж ЬР, откуда Ь ж Р)г. (2.30) 4н г,а<1<в Рис. 2.7 16 где а = 1,!(1 — 1,), Ь = (1, — 1,)Д,. Иначе, если 1 (у) ) Ь, то принимается окончательное решение «Да». Если 1(у) ( а, принимается окончательное решение «Нет». Если а(1 (у) (Ь, принимается решение <Не знаю», так что цикл обнаружения повторяется. Структурная схема трехпорогового обнаружителя представлена на рис. 2.7.
На рис. 2.8 схематически поясняется процесс достижения порогов а и Ь ври многошаговой последовательной процедуре, й = 1, 2,... Для выставления порогов а, Ь необязательно знать значения 1„1„1, и определяющие их величины. Пороги при многошаговой последовательной процедуре обнаружения можно оценить по конечным значениям Р и г", когда А„= О.
В силу взаимосвязи 1 (у) и у от интегрирования по многомерной величине у можно перейти к интегрированию по однсмерной величине 1, полагая р (у) «(у = р (1) Л и заменяя простаковку значений 0 или 1 функций А (у) простановкой пределов интегрирования по 1. Тогда, выражая р, (у) по формуле (19), находим Р= ~ А(у)1(у) р,(у) )(у=- ~ 1р (1) Л, (2.26) )») ь г = ~ А(у) р„(у) ь(у =- ) р (1) Ж, (2.27) (») ь На',шаг достижения порога а многошйговой процедуры согласно рис. 2.8 значение 1 ж а.
Тогда из (28), (29) а ж.О~Р (2 31) Формулы (30), (31) называют форлщлали Вальда. Выражения Р и Р в этих формулах относятся к разрешаемому объему. При просмотре п разрешаемых объемов Р ж Р„/л. В конце многошаговой Рис. 2.8 процедуры Р = О, Р ж 1 — Р ж ж 1 — Р„!и. Как и в двухальтернативном случае, пороговую процедуру можно проводить для произвольной монотонно нарастающей функцид отношения правдоподобия т, (1). Величина у.
(1) сравнивается с порогами Х(а) = Х Р7Р) и Х (5) = К (117Р). Литература: (3, 8, 15, 22, 27, 29, 46, 52, 54). 3. ОПТИМАЛЬНОЕ ОБНАРУЖЕНИЕ ДИСКРЕТИЗИРОВАННОГО ПО ВРЕМЕНИ СИГНАЛА С ИЗВЕСТНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ НА ФОНЕ ГАУССОВСКОЙ КОРРЕЛИРОВАННОЙ ПОМЕХИ ЗА. Постановка задачи. Модели сигнала и помехи Задача обнаружения сигнала с полностью известными параметрами — одна из наиболее важных задач в теории обработки радиолокационных сигналов. Абстрагирование от реальных случайных параметров сигнала позволяет получать результаты в наглядной форме, выявлять существенные особенности обработки принимаемых колебаний прн обнаружении и измерении. С некоторыми изменениями результаты решения распространяются на ситуации наличия случайных парамет.
ров сигнала 1) с известными (гл. 6 — 8) и неизвестными (гл. 19) законами распределений. Итак, полагаем, что сигнал характеризуется неслучайным вектор- столбцом х = ) х~ ), размерность которого определяется общим чис. лом временных дискрет во всех антенных каналах. Сигнал может отсутствовать или присутствовать, аддитивно накладываясь в последнем случае на помеху. В результате принимается выборка у=Ах+и, (3.1) где неизвестное значение А равно О или 1. Требуется дать зависящее от у решение А = О или А = 1, либо (в трехальтернативном случае) соответствующее решение «не знаю». 17 Помеха характеризуется при этом случайным вектор-столбцом и = [[и; [[ своих выборочных значений; ч — известный (неслучайный) векторный параметр.
Математическое ожидание каждого из Клементов выборки помехи полагается равным нулю: М (п~) = О. Математичес- кое ожидание вектор-столбца и танже равно нулю: М (и) = О. Считаем (вплоть до гл. 19), что каждый из элементов выборки помехи и; распределен по гауссовскому (иормальному) закову р(п)= е "г '. )~ 2к о Здесь о' = М ([и — М (п)1') = М (и') = и' — дисперсия.
Помеха в общем случае считается нестациоиарной: различные элементы вы- борки помехи могут иметь различные дисперсии и Различные элементы выборки и; и пд могут быть взаимозависимы, так что их центрированный корреляционный момент, называемый так- же ковариацией, ф;д —— М ([и, — М (и;)) [пд — М (пд)о = М (и;и„) в общем случае не равен нулю. Степень взаимной корреляции характе- ризуют обычно коэффициентом корреляции элементов помеховой вы- борки р,д = М (п,.пд)/о;од. (3.2) Величина р;д изменяется от +1 до — 1. Значения ргд равны ~ 1, когда величины п; и пд пропорциональны (очень жесткая связь, так что произведение и;пд всегда сохраняет знак).
Знак плюс соответствует при этом положительному, а знак минус — отрицательному коэффициенту пропорциональности. Если же значения п~ и пд некоррелированы, то положительные и отрицательные знаки произведений и;пд встречаются одинаково часто. Математические ожидания таких произведений, а следовательно, значения равд обращаются в нуль. Совокупность корреляционных моментов (ковариаций) элементов Помеховой выборки образует прямоугольную таблицу, называемую корреляционной (ковариационной) матрицей юр= [[сред[[ = [[р,до;од[[.
(3.3) В силу переместительного закона умножения п;пд = пдп, имеем <р,д= — <рдь а р[д = рю. Поэтому корреляционная матрица является симметричной. Ее транспонирование (замена строк столбцами) не меняет матрицы ф' = ф. Диагональными элементами корреляционной матрицы оказываются дисперсии элементов выборки: ~ры =. Ф (рм —— 1). Важной характеристикой корреляционной матрицы ф является хброшо известный из курса математики ее определитель (детерминант), обозначаемый [ф[ или ое1 ф.
При отличном от нуля его значении существует обратная. матрица ~р '. Последняя определяется так, что произведение матриц фф ' сводится к .единичной матрице 1. Так называют матрицу, имеющую единичные диагональные и нулевые недиагональные элементы. 18 р(п) =(2п)™/' 1<р(-!/з ехр( — и' «р — ' п/2) р (у) — (2п) — м/2 ф — 1/2 ехр ( ут !р — ! у/2) или (3.4) Индекс «п» в (4) соответствует наличию одной помехи. Матричное произведение в (4) представляет собой квадратичную форму выборки у с коэффициентами (ф ')га в виде элементов матрит цы !р '.
У'Ч' У= ..".', (!Р ')г»У!Уь. и А=! (3.5) Напомним, что произведением прямоугольных матриц а = )) а«»,11 Рааыера !мако Х /«мане и Ь = (( Ьь! (! РазмеРа Йь/енс Х 7манс называют матрицУ с =(с!!1размеРа !м,„, Х (маке с элементами (3.6) маке сы= ~чР~ а,„Ьдь а=! При перемножении в левой части равенства (5) матриц у' размера 1 Х т, «р ' размера т Х т и у размера т Х 1 действительно получается матрица размера 1 х 1, т! е. скаляр в виде правой части (5). Наиболее известный способ обращения квадратной матрицы «р = 11 <р!а ) размера т~~ 2 заключается в следующем. Составляется транспонирораннйя матрица грт = ) фд! ) (в интересующем случае ф' = гр).
Для каждого из матричных элементов фтн находится алгебраическое дополнение: произведение множителя ( — 1)'+» на определитель матрицы (т — 1) Х (т — 1), обРазованной из гут пУтем вычеРкиваниЯ ксй строки и !-го столбца. Отношение этого алгебраического дополнения к определелителю исходной матрицы дает элемент (!р ')!а обратной матрицы.
Пояснение матричной записи проведем на примерах. Пример 1. Из общего соотношения (4) получим плотности вероятности рп (у) и Реп (у) для случаев, когда выборка состоит всего нз одного дискрета (ш = 1). Матрица (3) вырождается: она содержит всего один элемент а». Определитель (ф(= оз. Обратная матрица ф-' также сводится к одному элементу 1/о», а произведение фф-т — к одноэуементной единичной матрице (к скаляру единица).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
