Teoria_i_tekhnika_obrabotki_radiolokatsi onnoy_informatsii_na_fone_pomekh (Рекомендованные учебники), страница 9

(5.6) 2 и с, Для гармонических колебаний соотношение (6) отражает практическую эквивалентность вычисления энергии переменного тока путем интегрирования мгновенной а (1) Ь (/) и активной Ке (А (/) В* (1)/2! мощности, когда в роли а (1) выступает напряжение, а в роли Ь (1)— ток. В данном случае (6) используется для близких к гармоническим узкополосных колебаний, для которых П (( /,. Поскольку реальная часть комплексного числа не изменяется при переходе от него к комплексно-сопряженному, наряду с (6) справедливо соотношение с, и ~ а (1) Ь (1) Й вЂ” (1/2) Ке ) А* (1) В (1) сЫ. 1, с, ческое ожидание М[А (/) В (/)1 = О, что дополнительно поясняется рис.

5.2. Математическое ожидание М [А (/)В,* (/)] может не быть равным нулю: когда, например А (1) = = В(/), случайные начальные фазы компен- /-о сируются. Это приводит ко второму следствию формулы (5) камлленсные авнлгары л//г/й/ йу ~р(1, в) =.М[а(1) Ь(в)1= = це(М[А(1) В*(в)/2] е/гт <с — о) /=г Рис. 5.2 Взаимная корреляционная функция ~р (йв) двух колебаний а (/) и Ь (в) определяется, таким образом, взаимной корреляционной функцией их комплексных амплитуд М [А (/) В* (в)/21 = Ф (й в) (5.8) и сводится к реальной части от произведения (8) на комплексный высокочастотный множитель е/г"ии — м: ср (1, з) = це [Ф (/, з) е/г "Ь <' — м].

»А. Комплексная запись принимаемых колебаний, колебаний полезного сигнала и колебаний помехи. Комплексная корреляционная матрица помехи Наряду с вектор-столбцом у (/) = !1уг (1) !! мгновенных значений колебаний на входе каналов приема введем вектор-столбец 1/ (1)= = !! У, (/) !! комплексных амплитуд этих колебаний. Каждое мгновен ное значение выражается через соответствующую комплексную амплитуду у; (/) = Ке [1'г (/) е/г"цг]. Вектор-столбец мгновенных значений выражается поэтому через вектор-столбец их комплексных амплитуд у (/) = Ре [У (1) е/гпь ~1.

(5.10) Учитывая (8), (9), введем взаимные корреляционные функции комплексных амплитуд помеховых напряжений в каналах приема Фп, (1, в) = М„[У, (1) г'ь (в)/21, (5.11) индекс «п» при знаке математического ожидания формулы (11) соответствует наличию одной помехи т'(/) = Ь[ (/). Совокупность функций (11) образует комплексную матрицу помеховых взаимных корреляционных функций (комплексную корреляционную матрицу помехи) ФИ, в) =!!Фм(1, в)!1, (5.12) которая иначе определяется соотношением Ф(1, в) =М [7(1) 1/" (в)/2]. (5.13) Здесь 7 (/) = !! -4"; (1) !! = Х (/) — вектор-столбец комплексных амплитуд помеховых напряжений; т'" (в) = !!.4с» (в) !!« — сопряженная и транспонированная по отношению к нему вектор-строка.Соглас- 45 но правилу перемножения матриц (вектор-столбца и вектор-строки в частности) определения взаимных корреляционных матриц (11) — (12) и (13) равносильны.

Знак транспонирования здесь, в отличие от некоторых других работ, не предполагает сам по себе комплексного сопряжения. Вещественная корреляционная матрица помехи ~р (г', з) .=[[~ум (г', э) ~[ в силу (9) однозначно выражается через комплексную Ф (Г, з). Комплексная корреляционная матрица помехи Ф (г, з) при з = г' оказывается эрмитовой: ф„(1, г) = ф;, (г, 1), Фт (г, 1) = ф* (1, 1). При э ~ г' справедлива лишь обобщенная эрмипювость комплексной корреляционной матрицы помехи. Матрица перейдет в комплексно- сопряженную, если наряду с взаимной заменой номеров строк и столбцов взаимно заменяются аргументы функций: фт(г э)=ф'(э г) (5.15) 5.$.

Комплексная запись основных соотношений теории обнаружения непрерывных сигналов с известными параметрами Комплексная запись основных соотношений (4.4), (4.5), (4.12) непосредственно следует из вещественной. Весовая интегральная сумма (4.4) при переходе к комплексной скалярной записи согласно (6) принимает вид и О = — ~' Ке ) Г, (г) )с; (г) пг = Ке Е. (5.1б) ~ =! Здесь Х вЂ” комплексный весовой интеграл — 'уэ (1) р* (1) ДГ (5.17) в свою очередь, К (г) = [[Я; (г) ~[ — комплексный весовой вектор. Интегрально-матричное уравнение комплексного весового вектора К (г) следует из уравнения (4.12) вещественного весового вектора г (Г). Заменяя в (9) комплексные числа под знаком реальной части на сопряженные, получаем ~р (г, э) = К е ([Ф' (1, э) е — ~ зпб ') еы "~ '). (5.18) Считая выражение в квадратных скобках (18) комплексной амплитудой при егз"П' и используя (7) и (18), преобразуем левую часть уравне- ния (4.12) Поскольку правая часть (4.12) х (1) =- Ке [Х (г) е~э"и '] 46 (5.21) Н = 1 Кт (3) Х'(8) Лз.

Скалярное произведение в подынтегральном выражении К' (з) Х* (з) = = Х"' (з) К (з) с точностью до обозначения переменной интегрирования комплексно-сопряжено подынтегральному выражению (22). Таким образом, Н = Н*, что свидетельствует о вещественном характере числа Н. Следовательно, д'= — ' 1 х Жк Юл. (5.24) 2,) Алгорйтмическая структурная схема обработки (16) комплексных амплитуд при обнаружении сигнала с известными параметрами приведена на рис.

5.3, а. На вход порогового устройства ПУ поступает зна йег тВ! А=Щ Х l' н"Е ззг, тФ д=щ Х я„'9) Т(аи=ььЮ Рас. 5.3 47 совпадает с (19) при произвольных значениях комплексных множителей е~'"'е', придем к искомбму интегрально-матричному уравнению — ~ Ф(з з)К(з) сЬ= Х(г). (5.20) Выражение параметра обнаружения Э ф = — К е ~ Х' (1) К" (1) пг 2 СО соответствует замене г' (г) на Х (~) в правой части равенства (17). Знак реальной части (21) можно опустить, поскольку интеграл ) Х'®1(*Юг(~=Н (5.22) выражается вещественным числом Н = Н*. Заменяя вектор Х (г) в (22) интегральным выражением (20), действительно имеем Н=~~ — 'К ()Ф (г, )К*И и (. (5.23) ,1 2 В силу (20) и обобщенной эрмитовости комплексной корреляционной матрицы Ф' (~, з) = Ф* (з, г) одинарный интеграл по г' в (23) сведем к вектору Х~ (з), а весь двойной интеграл преобразуем в новый одинар- ный Таблица 5.1 Варианты постановки задач и алгоритмы обработки при многоканальном обнаружении сигналов с известными параметрами иа фоке гауссовских коррелированных помех у «) = Ц ра «) )1 у «) =Ах(г)+п(г) у=Прей у=Ах+и У ( ! ) ( 1 У и ( 1 ) 1 1 У «) = АХ (г) + Р) «) Принима.

емая реали- аация (А=1,0) х=Ц ха Ц х (г) = Ц хд «) Ц х(г)=Цхл(г)Ц Сигнал ~р (с з) = Цтц, («з) Ц Ф (г, з) = Ц Ф1а «а) )1 гр=)! рга 11 Корреляционая матрица помехи оз =х'г Параметр обнаруже. ния 1 Г чзыв — ~1 х' «) й*(г) и оз со Чз= ( хт«)'«)А! со чение Ц = КеЯ. Этим учитывается принятря пока неслучайность начальной фазы ожидаемых колебаний как )(ризнака полезного сигнала (см. рис. 4.5, б).

Учет ее случайного харайтера проводится в равд. 6.2. Операция Ке Х) (фазового детектирова)(ия при перемножении на разных несущих) заменится при этом операцией амплитудного детектирования ) Л !. Алгоритмическая операция вычисления КеЕ на рис. 5.3 опущена, поскольку она связана лишь с переходом от вещественных величин (гл. 4) к комплексным амплитудам и при аналоговой обработке (гл. 4,5,7) практически не используется. Пропуск операции отмечен штриховой линией. На рис. 5.3, б предусмотрен переход к нормированному весовому вектору К„(1) = К (г)/д и к порогу Цои, определяемому условной вероятностью ложной тревоги Р. В обобщающую табл.

5.1 сведены рассмотренные варианты задач н алгоритмов обработки при описании сигналов н помех с помощью: — дискретных выборок; — непрерывных вещественных функций времени; — временных зависимостей для комплексных амплитуд. 3.6. Модель бекоро, шума лрк узкололо4ном опксйикй 'высокоЧастотных колебаний В соответствии с гипотезой',узкополосности полосу частот шумо~ вой помехи считаем существенно меньше несущей р,, хотя н заметно превышающей полосу частот сигнала П,.

Одновременное выполнение условий П, (( П, (( ~, (рнс 5.4, а) реализуется при достаточно большой величине отношения ЦП,. Вещественная корреляционная, функция стационарной помехи с равномерно распределенной в полосе П спектральной плотностью мощности У, соответствует выражению 6+и !з <р(1, з) = Фа ) соз2л1(1 — з) сЧ= Уа Ке(Ь(~ — з) е1"с н — '1), н — и, (2 (5.25) в котором Л (т) = з!п (л П т)lат. Она выражается в силу (9) через комплексную корреляционную функцию р У, З) = Це (ф (У, а) Г 5 Н вЂ” т). (5.26) Сопоставляя (25), (26), находим выражение © (р1 з) )адей (р ф справедливое при фиксированной полосе частот помехи П,.

С увеличением полосы функция Л (т) сосредоточивается в окрестности т = 0„ причем При операциях с комплексными амплитудами и при выполнении уело. вия П )) П, это позволяет заменить функцию Л (т) дельта-функцией, т. е. считать, что Ф Р~ а) )уо6 (р а). (5.27) Выражение (27) не следует подставлять в (26), так как предельный переход в этом случае неоправдан, поскольку П, ( Д>. Н Ю Рис. 5.4 По существу введена новая (вторая) модель белого шума, с отли.

чаюшимнся от первой характером и физическим смыслом предельного перехода. Отличие предельного перехода для первой и второй моделей поясняется рис. 5.4, б и а. С этим отличием связано отсутствие в (27) коэффициента 1!2,характерного лишь для первой модели белого шума. 5.7. Примеры синтеза многоканальных обнаружителей с использованием комплексной записи высокочастотных колебаний Пример 1. На антенную решетку поступают колебания ожидаемого сигнала с комплексной амплитудой Х(г, и) =Х(Г) Х(а), (5.28) являющейся произведением скалярной функции времени г' и независящего от времени вектор-столбца Х (а).

Произведение полосы частот сигнала П, = П на наибольшую возможную разность временных запаздываний (соответствующую крайним точкам раскрыва) считается много меньшим единицы. Поэтому запаздывание комплексных амплитуд сигнала в пределах раскрыва антенны не учитывается. Одна и та же скалярная функция Х (г) описывает закон модуляции ожидаемых колебаний во всех элементах решетки.