Teoria_i_tekhnika_obrabotki_radiolokatsi onnoy_informatsii_na_fone_pomekh (Рекомендованные учебники), страница 14

Примеры расчета статистических характеристик выходных напряжений и показатепей эффективности поспедетекторных накопитепей Пример 1. Найдем характеристическую функцию одного случайного слагаемого по. следетекторной суммы и = их при условии квадратичного детектирования в отсутствие флюктуаций р (Ь) = 6 (Ь вЂ” 1). Из (19) и (19а) имеем 1 / дз Г 1 6(з) = — ехр ( — — ) ) /о(д [»»и) ехр ~ — — (! — /2») и|ди.

2 ! 2 ) 2 зп Заменяя /о (д[»'и) 2п = ) ехр (д[lи соз»Р) дф перейдем к новым переменным о х = ~[Г'и сов«р и у = [ги з!пф, Учтем, что обратный якобиан преобразования переменных д (х, у)/д (и, ф) = 1/2, прямой якобиан д (и, ф)/д (х, у) = 2.

При атом 6(з) — ~ ехр ~ — 1 дх ~ ехр( — — ")«!у, и = нли 6 (з) = ехр [/зуз/(! — /2з))/(1 — /2»). (7.32) 6м (з) = ехр [/зМуо/(! — 12з)[/(1 — 12з)м. (7.33) Пример 3. Найдем характеристическую функцию последетекторной суммы при квадратичном детектировании и «дружных» релеевских флюктуациях. Заменяя в (33) М»/о на Му«Ь» (Ь вЂ” единый для всей пачки случайный амплитудный параметр) и усредняя по Ь, при р (Ь) = 2Ье Ь имеем 6 (з) = 1 И! — /2з) [1- -12з (1+ Муз/2)[ (7.34) 73 Пример 2.

Найдем характеристическую функцию последетекторной суммы их при квадратичном детектировании в отсутствие флюктуацнй. Возводя (32) в М-ю степень, имеем Пример 4. найдем характеристическую функцию последетектьрной суммы при квадра тичном детектировании и «дружных» флюктуациях Накагами (ш = 2) гично (34), полагая р (Ь) = 8Ь'е вь, получаем 6(з)=1/(1 — /2»)м [! — /2»(!+Му»/4))я. (7.35) Пример 5. Найдем характеристическую функцию случайной последетекторной суммы при квадратичном детектировании и независимых релеевскнх флюктуациях импульсов пачки.

Полагая М = 1, из (34) имеем 6 (я) = 1/[! — /2« (! + 4»/2)[. Для произвольного М найдем 6~(я) = 1/[1 — /2я (1+ д»/2)[~. (7.36) Пример 8. Найдем характеристическую функцию последетекторной суммы при квадратичном детектировании и независимых флюктуациях Накагами (т = 2). Подставляя в (35) значение М =! и возводя полученное выражение в М-ю степень, подобно (36) получаем 6~(я) = (1 — /2«)~/[1 — /2я (! + 4»/4)[™. (7.37) Пример 7. Найдем плотность вероятности последетекторной суммы при квадратичном суммировании для нефлюктуирующей пачки некогерентных радиоимпульсов. По характеристической функции (33) находим плотность вероятности суммарного напряжения »» 1 1' и /яМдв р (и) = — ) (1 — /2«) ехр ехр ( — /ия) бз.

2п,) (1 — /2я) ОО /„, (у) = (у/2)" — '/(М вЂ” 1)! Используя (38), выражение для Р приводим к виду СО \ и е и — 1 -и/2 рп(и) ии ) м ди. 2 (М вЂ” 1)1 "~оро~ "порог (7. 39) Интеграл (39) сведем и неполной гамма-функции, которая определяется в ли- тературе по-разному, с масштабными различиями. «Неполнота» функции при 74 Воспользуемся известной парой преобразований Лапласа ехр [ — рВ/(1+р))/(! +р) и (о/В)1~ !/2 ехр ( — о — В) /ж ! (2 [/Во). Полагая р = — /2», а о = и/2, находим р(и) =0,5(и/2В)!ы !!/2 ехр [ — (В+ и/2)) /м ! ( ~/2Ви), (7.38) где В = Мув/2. Пример 8.

Найдем выражение условной вероятности ложной тревоги Р нефлюктуирующей иекогерентной прямоугольной начни радиоимпульсов при квадратичном суммировании. К случаю отсутствия сигнала перейдем, устремляя в (38) величину В к нулю. Неопределенность О/О снимается путем использования при малых у приближения любом ее определении связана с огра- //л,Н) ниченным верхним пределом интеграла.

йу Используя [30), определяем неполную гамма-функцию выражением Р,/г м — ! — з з е Г/М) о Ход функций / (х, 7.5. После замены бз=/(х, М), (7,40) ОД дз М) поясняется рис. переменной и/2 = з, имеем Г=! — /(ппогог/2 М) (7 41 Ю /!7 Пример 9. Найдем выражение условной ве- Рис. 7.5 роятности правильного обнаружения /У нефлюктуирующй прямоугольной пачки радиоимпульсов при квадратичном суммировании. Воспользуемся неполной функцией Торонто, графики которой приведены в [1091: Тп(М, и, г)=2г" ~+' е ' ) Рм "е "/в(2г!) й. о (7.42) "порог Интегрируя (38) от ипорог дооз и заменяя / = ) — ), после замены перемени порог ной Г = )/и/2 получим Р=1:Т (2М вЂ” 1, М вЂ” 1, )/Мф/2) У „юг/Ъ При о = 0 выражение (43) переходит в (41). Пример 1О.

Найдем выражение условных вероятностей /7 и г некогерентной прямоугольной пачки с независимо флюктуирующими по законам Релея радиоимпульсами при квадратичном детектировании. Воспользуемся парой преобразований Лапласа 1/(1 + рА) и охг !е "/Л / АЫ (М вЂ” 1)!.

Заменяя р = — /2з, о = и/2, А = 1+ дз/2 и проводя преобразование Фурье характеристической функции (35), получим р(и1=[2А"г(М вЂ” 1)![ т(и/2)зг ! е "порог Взяв интеграл 1 = ~, — ) и введя неполную гамма-функцию (40), найдем "порог о е П= / — / [ипорог/2 (1+да/2) М вЂ” ![ ° (7. 44) Значение Р вычисляется по формуле (44) при д =; О.

Пример 11. Найдем два первых нецентрированных момента последетекторного распре. деления гармонического сигнала и шумовой помехи при линейном детектировании. Из (19) при одиночном (М = 1) нефлюктуирующем сигнале найдем выражения нецентрированных моментов ОО Ю )г = ) и" р(и) г/и=~'ит+! е "/з /з(уи)би о о (7.43) и, В частности, Х,= [/н/2 е ч з [(! + с/з/2) /о (Чз/4)+ (о»/4) /„(оз/4!1, оз .= 2 (1+ оз/2) .

(7.45) Первые нецентрироваииые моменты для «пачечного» сигнала (М ~ 1) имеют вид Р» ™и' Рз = М (»"з Х») + Рг. (7.46) Пример 12. Найдем выражение условной вероятности В при линейном детектировании в отсутствие флюктуаций, используя приближение (30), (31) одним членом разложения по полиномам Лагерра. Интегрируя (31) и используя (40), получаем /7=- ) р (и) с( =1 — /(и р /и, а+1), порог где а и т определяются соотнопсениямн (30). Пример 13. Сопоставим нулевые члены разложений по полиномам Лагерра и Эрмита при числе импульсов М » 1.

Обозначая и/т = х, нулевой член разложения (31) представим в виде р (х) =ха е х/Г (я+ 1) (7. 47) где я»1. Логарифмируя (47) и используя асимптотическую формулу Стирлинга 1п Г (а+ 1) = сс !п я — со+ !п [/2пя, находим функцию !п р (х)= — я 1пх — х — я !па+я — 1п [/2пя. Разложение функции !п р (х) в ряд Тейлора в окрестности максимума х = я с точностью до членов третьего порядка приводит к нормальному распределению 1и р (х)== — 1п [/ 2«га†(х — а)'/2сс.

Это же распределение соответствует нулевому члену разложения (23) по поли- номам Эрмита. 7.5. Показатели качества обнаружения некогерентных сигналов при фиксированном объеме выборки Кривые двухальтернатнвного обнаружения некогерентных сигналов прн фиксированном объеме выборки рассчитываются по методике, описанной в равд. 7.3, 7.4. Потребное отношение сигнал — помеха практически мало зависит от характера детектирования. Прн М =-10 (большне отношения сигнал — помеха для каждого импульса) линейный детектор дает выигрыш в энергетическом отношении сигнал— помеха примерно на 2,5%. Для очень больших М (малые отношения сигнал — помеха) выигрыш дает квадратнчпый детектор примерно на 4,5%.

Дальнейшие результаты приводятся для квадратичного детектора, для которого онн получаются проще. Большее расхождение имеется для . результатов некогерентного (кривые 1, 2, 8 на рнс. 7.6) н когерентного (крнвые 4, б) суммирования. 76 ю д ч ~па т ютта лап Рис. 7.6 По оси абсцисс отложено число М суммируемых импульсов, по оси ординат — выраженное в децибелах отношение сигнал-помеха д«72 по средней мощности для одного импульса пачки (коэффициент различимости) при Р = 0,8, г = 10 '. Потребное отношение сигнал- помеха для когерентного нефлюктуирующего сигнала согласно кривым рис.

6.6 в этом случае составляет 12,5 дБ. С увеличением числа импульсов М каждый из них может иметь энергию в М раз меньшую, поэтому коэффициент различимости в децибелах составляет 12,5— — 101н М (кривая 4) [57]. Кривая 7 относится к нефлюктуирующей некогерентной пачке при квадратичном суммировании и соответствует формуле (43).

Разница в децибелах между кривыми 7 и 4 характеризует потери на некогерентное суммирование для произвольного М ) 1. Кривая 2 относится к независимым («быстрым») релеевским флюктуациям импульсов пачки и соответствует формуле (44). Формула и кривая справедливы при многочастотной работе для независимых релеевских флюктуаций каналов. Точка 17,7 дБ для М = 1 согласуется с кривой обнаружения рис.

7.6 для одиночного радиоимпульса с релеевскими флюктуациями при г = 10 '. Кривая 3 относится к «дружным» (медленным) релеевским флюктуациям импульсов пачки и соответствует характеристической функции (38). При М = 1 кривые 2 и 3 пересекаются: разграничение дружных и независимых флюктуаций теряет смысл. Кривые для распределений Накагами (и = 2) не показаны. Они располагаются между кривыми 7 и 3.