Глухов М. М. Алгебра том 1, страница 14

У т в е р ж д е н и е 5. Если и > 2 и хотя бы одно из целых чисел а1,..., а„равно О, шо для них сущесшвуеш единственное НОК, равное О. Если целые числа а1,...,а„отличны ош О и для них сущесшвуеш хотя бы одно НОК, шо они имеют ровно два НОК, коп1орые отличаются п1олько знаком. Доказательство аналогично доказательству утверждения 2. Проведите его в качестве упражнения.

Из утверждения 5 видно, что если НОК чисел а1,..., а„существует, то их неотрицательное НОК определено однозначно. Будем обозначать его через [а1,..., а„]. Следующие два утверждения решают вопрос о существовании НОК любых целых чисел и дают метод нахождения НОК. У т в е р ж де ни е 6. Если хоп1я бы одно из целых чисела, Ь отлично ош О, шо для них НОК существуют и единственное неотрицательное НОК находится по формуле: [аЬ! [а,Ь] = (а,Ь) П Обозначим (а, Ь) = д и покажем, что число -а- удовлетворяет усло- аЬ виям определения 4. Так как -а- — — аа — — Ьа, то а [-а-, Ь -ау-. Пусть й Е У аЬ Ь а 1аЬ аЬ и а [ й, Ь [ й.

Тогда, очевидно, д [ й, а ~ а, а ~ а. а)к Ь)к Отсюда оо утверждениям в) — г) теоремы 5 имеем ~-~д. СледовааЬ тельно, -а- е НОК (а, Ь). Тогда по утверждению 5 -~' е НОК (а, Ь). А аЬ )аЬ) так как ~;~' > О, то [а, Ь] = ]-у [.П )аЫ ]ауЬ[ Т е о р е м а 6. Для людного и > 2 и любых целых чисел а1,..., а„ сущесшвуеш единственное неотрицательное НОК, коп1орое находип1ся 72 73 по формуле: п=ц1...щ, (10) п=р1...р„ 74 75 [а1, а2,..., а„1 = [...

[[а1, а21, аз1,..., а„1. Доказательство теоремы 6 проведите самостоятельно по аналогии с доказательством теоремы 3. 8 3. Простые числа. Основная теорема арифметики О п р е д е л е н и е 5. Натуральное число р ф 1 называется просшым, если оно не имеет натуральных делителей, отличных от 1 и р, в противном случае оно называется сосшавньим. Число 1 не относится ни к простым, ни к составным числам. Укажем некоторые свойства простых чисел. У т в е р ж д е н и е 7. Пусшь р — любое просп1ое число. Тогда а) Ча Е Ж: (р ~ а или (а, р) = 1); б) Ча, Ь Е Ж: (р ) аЬ ~ (р ) а или р~Ь)); в) если о — просп1ое число, шо о = р или (д, р) = 1. П а) Пусть р [ а.

Тогда так как (а, р) = д Е (1, р) и д ~ а, то й = 1. б) Пусть р [ аЬ. Если р [ а, то по свойству а) (а, р) = 1, и тогда по теореме 5 б) р [ Ь. в) Если о — простое число и о ф р, то по определению 5 р [ о, а тогда по свойству а) (ц, р) = 1.

П Заметим, что свойство б) можно обобщить на и > 2 сомножителей. Докажите это индукцией по и. Роль простых чисел в арифметике во многом определяется следующим утверждением, называемым основной шеоремой арифметики. Т е о р е м а 7. Всякое нашуральное число и ф 1 либо являешся просшым, либо разлагаешся в произведение просшых чисел, причем шакое разложение единсшвенно с шочносшью до перестановки сомножишелей. Этой теореме, учитывая коммутативность кольца Ж, можно придать следующую, более компактную, форму. Любое нашуральное число и ф 1 одназначно предсп1авляешся в виде: где в > 1,р1,..., р, — просшые числа и р1 < ...

< р,. П Существование искомого разложения для числа и было доказано в ~ 3.1 в порядке иллюстрации метода полной математической индукции. Единственность разложения (10) докажем индукцией по параметру в(п), где в(п) — наименьшее значение в по всем разложениям вида (10) для числа и. При 8(п) = 1 это очевидно. Допустим, что это верно для всех и при 8(п) с 8 и любом фиксированном 8 > 1, и докажем для и при 8(п) = 8. Пусть наряду с (10) существует представление где ц1,...,ц~ — простые числа и в1 < < цс Так как р1 ) и, то по обобщению свойства б) р1 ~ о; при некотором г Е 1, 1, и тогда по свойству в) р1 — — в;.

Отсюда и из неравенства о1 < о; получаем: в1 < р1. В силу симметрии имеем также р1 < о1. Следовательно, р1 — — о1. Теперь из (10), (11), учитывая отсутствие делителей нуля в Ж, получаем два представления для числа п(р1. По предположению индукции эти разложения совпадают, а потому совпадают и разложения (10), (11). П О п р е д е л е н и е 6. Представление целого числа и в виде: где е = ~1, р1, р2,..., р, — простые числа, р1 ( р2 < ° ° ° < р, и а1, а2,...

, а, Е Я, называется каноническим разложением числа и. Из теоремы 5 очевидным образом получается С л е д с т в и е. Для любого целого числа и ф 0 сущесшвуеш каноническое разложение, и оно единственно. Каноническое разложение числа и дает хорошее представление о Строении числа и и часто позволяет довольно легко решать многие вопросы, связанные с делимостью чисел. В качестве примера приведем известный из средней школы способ нахождения НОД и НОК целых чисел а, Ь.

С этой целью, добавляя, если надо, к их каноническим разложениям в качестве сомножителей нулевые степени простых чисел, мы всегда сможем записать числа а, Ь в виде: где е1, ег Е (1, — 1), а; > О, Д > О, г Е 1, з р1 < < р,. Тогда нетрудно получить формулы: (п + 1).' + 2, (и + 1)! + 3,..., (и + 1)! + (и + 1). В связи с этим естественно возникает вопрос: не является ли множество простых чисел конечным? Отрицательный ответ на этот вопрос дал еще Евклид. Приведем доказательство этого факта.

Т е о р е м а 8. Множество проспьььх чисел бесконечно. П Предположим, что множество простых чисел конечно. Выписав все их в порядке возрастания, получим ряд чисел: (12) 2,3,5,..., р„. зА. М. Лежандр — французский математик (1752 — 1833). Докажите их в качестве упражнения. В связи с большой ролью, которую играют простые числа в арифметике и особенно в таком ее разделе, как теория делимости, множество простых чисел издавна привлекало к себе внимание математиков. Изучением свойств этого множества занимались такие выдающиеся математики, как Евклид, Ферма, Эйлер, Лежандр 3, П. Л. Чебышев и др.

Многие вопросы из теории простых чисел очень легко формулируются, но чрезвычайно трудно решаются. Особенно много вопросов, связанных с простыми числами, относится к их распределению в натуральном ряду. Непосредственно из имеющихся таблиц усматривается, что простые числа распределены в натуральном ряду весьма неравномерно.

Так, например, в первой сотне насчитывается 25 простых чисел, во второй — 21, в сорок девятой — 8, в пятидесятой — 15. Однако, несмотря на неравномерность распределения, наблюдается общая тенденция к постепенному уменьшению количества простых чисел на все более удаленных отрезках натурального ряда одинаковой длины. При удалении по натуральному ряду в сторону возрастания чисел начинают появляться все более длинные промежутки, не содержащие простых чисел. В связи с этим можно отметить следующий интересный факт. Каково бы ни было натуральное число п, можно найти п составных чисел, непосредственно следующих друг за другом, например Рассмотрим число Х = 2 3 ...

р, +1. Так как каждое число из (12) делит число 2 3 ... р„но не делит 1, то число Х не делится ни на одно из чисел (12), т. е. ни на одно простое число. А так как оно больше единицы, то это противоречит теореме 7. П Обозначим через к(х) число простых чисел, не превосходящих х. Тогда теорему 8 можно записать в следующем виде: если х — + оо, то т(х) — оо. Заметим, что теорема Евклида была обобщена немецким математиком П.

Г. Л. Дирихле (1805 — 1859), который доказал, что любая арифметическая прогрессия, первый член и разность которой взаимно просты, содержит бесконечное множество простых чисел. Ни теорема Евклида, ни теорема Дирихле ничего не говорят о порядке роста функции т(х). Некоторое представление об этом дает следующая теорема, сформулированная впервые Эйлером: ~г(х) если х — оо, то — -+ О. х Таким образом, хотя простых чисел "бесконечное много", однако встречаются они в натуральном ряду "бесконечно реже", чем натуральные.

В 1737 г. Эйлер доказал, что ряд чисел, обратных простым числам, т. е. ряд 1/2 + 1/3 + 1/5 + ... расходится. Из этой теоремы следует и и также что простые числа расположены в натуральном ряду гуще, 7 г чем числа, являющиеся квадратами, поскольку известно, что ряд 1/1 + +1/22+ 1/32 +...

сходится. В 1808 г. Лежандр опубликовал эмпирически найденную формулу х 1п х — 1, 08366' которая при больших значениях х давала приближенные значения для т(х). В 1848 г. П. Л. Чебышев доказал, что если предел отношения т(х): х/111х при х — + оо существует, то он равен единице. Существование же этого предела было доказано в 1896 г. одновременно французским математиком Е. Адамаром (1865 — 1963) и бельгийским математиком Ш. Ла Валле Пуссеном (1866 — 1962). Таким образом, было доказано асимптотическое равенство т(х) х/ 1п х. В ходе развития теории чисел математиками выделялись и изучались отдельные классы простых чисел.