Глухов М. М. Алгебра том 1, страница 12

Оказывается, для изучения групп (Б(Л|); ), (Я(ЛХ); о) при всевозможных М достаточно из каждого бесконечного семейства равно- мощных множеств выбрать какое-либо одно и изучать лишь симметрическую группу подстановок этого множества (т. е. множество подстановок с операцией умножения). В конечных случаях в качестве таких множеств обычно выбираются множества 1, и, п Е Я.

Группа подстановок множества 1, и называется симметрической группой подстановок степени и и обозначается через Я„. Подстановки из Я„записывают обычно в виде: где г, — образ элемента 8 при действии подстановки д. Понятие изоморфизма группоидов естественным образом обобщается на алгебры со многими операциями. Здесь мы ограничимся лишь частным случаем, когда алгебры являются множествами с двумя бинарными операциями. О п р е д е л е н и е 21. Алгебры (Л1, +, ), (Лг, +, ) с бинарными операциями сложения и умножения называют изоморфными, если существует такое биективное отображение ~р: Л1 ~ Лг, при котором для 60 61 любых элементов а, Ь Е Л1 выполняются равенства: «р(а + 6) = «р(а) + «р(6), «р(аЬ) = «р(а)«р(Ь). При этом отображение «р называют изоморфизмом алгебры (Л1, +, ) па (лг, +, ).

Изоморфизм алгебр (Л1, +, ), (Л2, +, ) обозначается тем же знаком И, что и изоморфизм группоидов. В дальнейшем нам окажется полезной Т е о р е м а 6. Если алгебры (Л1, +, ) и (Л2, +, ) изоморфны и ((Л1, +, ) — кольцо (поле), шо (Л~, +, ) также являепься кольцом (полем). Выполнение всех аксиом кольца (поля), кроме дистрибутивности, для Л2 следует'непосредственно из теоремы 5. Проверим условия дистрибутивности. Пусть «р — изоморфизм Л1 на Л2, и а, Ь,с — любые элементы из Л2. Так как «р — сюръективно, то 3 а1, 61, с1 е Л1 . «р(а1) = а; «р(61) = Ь; «р(с1) = с. Применяя к обеим частям равенства (а1+ 61)с1 = а|с1+ 61с1 отображе- ние «р и учитывая, что «р — изоморфизм, получим соответственно: «р((а1+ 61)с1) = «р(а1+ 61)«р(с1) = («р(а1) + «р(61))«р(с1) = (а+ 6)с, «р(а1 с1 + Ь|с1) = «р(а|с1) + «р(Ь1с1) = «р(а1)«р(с1) + «р(Ь1) «р(с1) = ас + Ьс.

Следовательно, в Л2 операция право дистрибутивна относительно операции +. Аналогично проверяется и свойство левой дистрибутивности. Задачи 1. Сколько различных бинарных операций можно определить на и- элементном множестве? В скольких случаях получатся группоиды: а) коммутативные, б) с нейтральным элементом, в) с условием разрешимости любого уравнения вида ах = Ь, г) с условием разрешимости любого уравнения вида ха = Ь? 2.

Привести пример множества с двумя бинарными операциями *, о, из которых одна является лево дистрибутивной, но не право дистрибутивной относительно другой, 3. Определим на множестве К~ операции: (а, 6) + (с, д) = (а + с, Ь + д), (а, 6)(с, д) = (а, д). Являются ли эти операции коммутативными, ассоциативными, лево (право) дистрибутивными одна относительно другой? 4. Найти нейтральный элемент и описать все обратимые элементы в полугруппе В(М) всех бинарных отношений на конечном множестве М. 5.

Доказать, что если д — подстановка конечного множества М и а Е Е М, то в последовательности а, д(а), д2(а), .; . первым из повторившихся элементов будет а. 6. Являются ли группами: а) множество всех подстановок множества М ф И, оставляющих на месте фиксированный элемент а е М; б) множество отношений эквивалентности на множестве М ф «о относительно операции умножения; в) множество всех подмножеств множества М ф И относительно операции *, где А * В = (А 0 В) ~(А П В); г) множество действительных чисел промежутка [О, 1) с операцией *, где а * Ь вЂ” дробная часть числа а+ Ь? 7. Доказать, что если в группе (С; ) любой элемент а удовлетворяет условию а~ = е, то С вЂ” абелева. 8.

Доказать, что все группы порядка 3 изоморфны между собой и существуют ровно две не изоморфные группы порядка 4. 9. Изоморфны ли группоиды: а) (Яо'+), (1Чо; )' б) (У; +), (2У: +); в) (У; ), (2У; )? 10. Являются ли кольцами (полями) относительно операций сложения и умножения чисел множества: а) (а + Ь~(2: а, Ь Е,'Ц; б) (а+ 6~(2: а, Ь Е Щ; в) (а + Ь ~|2: а, Ь Е Щ? 11.

Является ли кольцом (полем) множество К~ с операциями: (а, 6) + (с, д) = (а + с, Ь + д); (а, 6)(с, д) = (ай+ Ьс, Ы)? 12. Доказать, что в любом кольце с единицей множества обратимых элементов и делителей нуля не пересекаются. 62 63 Глава 1У 3.

Заказ Рй 573. 65 4 13. Доказать, что отношение изоморфизма является отношением эквивалентности на любом множестве группоидов. 14. Изоморфизм группоида С на себя называют ав77зоморфизмом группоида. Доказать, что множество АиС(С) всех автоморфизмов группоида С является группой относительно операции умножения (композиции) отображений.

ЧИСЛОВЫЕ КОЛЬЦА И ПОЛЯ 8 1. Отношение делимости в кольце Ж. Деление целых чисел с остатком Кольцо целых чисел Ж является одним из основных числовых колец. Методы решения многих задач в кольце Ж нередко служат основой для аналогий при изучении других колец. Так, например, изложенный в данной главе материал по теории делимости в У послужит в главе 1Х основой для изучения сходных вопросов в кольцах многочленов. Кольцо Ж является коммутативным кольцом с единицей и потому в нем отношение делимости обладает свойствами а) — д) из утверждения 7.П1. В дополнение к ним докажем. У т в е р ж д е н и е 1.

Для л7обых а, Ь е У' а) а | Ь <=» ~а ! ~Ь; б) а ! Ь, Ь ф О =» |а! < |Ь!; в) а | Ь, Ь ! а <=» |а! = |Ь!. П а) Свойство а) является уточнением свойства д) из утверждения 7.П1, поскольку обратимые элементы кольца У исчерпываются числами 1, — 1. б) Из условия а ! Ь следует, что Ь = ао при некотором О Е У. Отсюда по свойству модулей чисел имеем: |Ь| = |а! |ц!. Так как Ь ф О, то |ц! > О, т. е. |ц! = 1+ й, где й Е ив.

Следовательно, |Ь! = |а|(1+ й) = |а! + Й, где й = |а!В > О, и потому |Ь| > |а!. в) Пусть а ! Ь и Ь ! а. Тогда числа а, Ь или оба равны нулю, или оба не равны нулю. В первом случае равенство |а! = |Ь| очевидно, во втором оно следует из свойства б).

Обратная импликация следует из утверждения а), если учесть, что |а! = |Ь| =» Ь = ~а. П Заметим, что множество делителей любого целого числа а не пусто. Действительно, если а = О, то его делителями являются все целые числа (включая и О). Если же а ф О, то оно имеет, по крайней мере тривиальные делители ~1, ~а (см. замечания к утверждению 7.П1). а = ( — Ь)од + тд, О < тд < — Ь = !Ь!.

Отсюда имеем а = 6( — од)+тд,О < тд < !Ь!. а = Ьц+т, О<т< !Ь!. (2) а = Ьод+тд,О < тд < !Ь!. !Ь! !ц — од! = !тд — т!. Ьо < а < 6(д+ 1), т. е. О < а — Ьо < Ь. — а = Ьод + тд, О < тд < Ь. 67 66 Свойство а) сводит описание всех делителей и всех кратных для данного числа к описанию лишь положительных (натуральньдх) делителей и кратных. Из свойства б) следует конечность числа различных делителей у любого отличного от нуля целого числа, что дает принципиальную возможность нахождения всех делителей числа.

В том случае, когда одно натуральное число не делится на другое, алгоритм деления "уголком" приводит к неполному частному и остатку от деления. Оказывается, что понятие деления с остатком можно обобщить на любые целые числа. О п р е д е л е н и е 1. Разделишь с осшашком целое число а на целое число Ь вЂ” это значит найти целые числа о и т, удовлетворяющие условиям: Числа о и т, удовлетворяющие условиям ~1) — (2), называют соответственно неполным часшным и остатком от деления а на Ь. Т е о р е м а 1. Если а,Ь Е Ж и Ь ф О, шо а можно разделишь на Ь с оспдашком, причем неполное часшное и осшашок определяюшся оонозначно. П Сначала докажем существование чисел о и т, удовлетворяющих условиям (1) — (2).

Рассмотрим отдельно три случая. а) а > О, Ь > О. По аксиоме Архимеда существует такое натуральное число к, что а < Ьк. Отсюда (согласно принципу наименьшего числа) следует существование такого целого неотрицательного числа о, что Следовательно, числа о и т = а — Ьо удовлетворяют условиям (1), (2). б) а < О, Ь > О. Тогда — а > О, и по доказанному в пункте а) существуют такие числа од, тд, что Если тд = О, то а = 6( — цд), и условия (1) — (2) выполняются при ц = — цд, т = О. Если же тд ф О, то а = 6( — дд) — тд = 6( — дд — 1) + (Ь вЂ” тд) = Ьо + т, где о = — од — 1, т = Ь вЂ” тд.