Глухов М. М. Алгебра том 1, страница 9

Так, например, на множестве М операция вычитания право дистрибутивна, но не лево дистрибутивна относительно объединения. Покажите это в качестве упражнения. ~ 2. Алгебраические структуры с одной бинарной операцией Алгебраической структурой или, просто, алгеброй называют множество, наделенное системой операций. Область алгебры, изучающая произвольные алгебраические структуры, называется универсальной или общей алгеброй. Несмотря на большую общность этого раздела, в нем имеется ряд интересных содержательных результатов о произвольных алгебраических структурах.

Вместе с тем, в связи с потребностями развития математики и ее приложений, наиболее глубоко изучены отдельные узкие классы алгебраических структур, а именно, алгебраические структуры с одной и двумя бинарными операциями, удовлетворяющими определенным условиям. В этой главе будут рассмотрены простейшие свойства таких структур. Более обстоятельное их изучение будет проведено позже, после ознакомления с некоторыми важнейшими примерами таких структур.

О п р е д е л е н и е 4. Множество С с одной бинарной операцией * называют груииоидом и обозначают через (С; *). Из определения 4 видно, что для задания группоида нужно задать множество С и то правило, по которому можно найти значение операции * для любых двух элементов из С. В том случае, когда множество С конечно, всю эту информацию можно записать таблицей, в которой входной строкой и входным столбцом является список элементов множества С, а на пересечении строки с входом а и столбца с входом Ь располагается значение операции а * Ь. Такая таблица называется таблицей Кэли для группоида (С;*) в честь английского математика А. Кэли (1821 — 1895).

Если С = (а1,..., а„), то таблица Кэли для группоида (С; *) имеет следующий вид: Исходя из такого задания группоида, легко подсчитать, сколько различных операций можно определить на множестве С порядка и. В каждую из и2 клеток таблицы Кэли можно записать любой из и элементов и~ множества С. Отсюда видно, что таблицу Кэли можно составить в и вариантах, то есть на множестве С из и элементов существует и" различных группоидов.

О п р е д е л е н и е 5. Подмножество С1 группоида (С; *) называют замкнутым относительно операции *, если выполнено условие: (2) а*Л = Л*а = а. Так, в группоидах (1Чо, о), Я; о) нейтральным элементом является единица, в группоидах (1Чо, +), Я;+) — нуль, в группоидах (У; — ), (1Ч;+) — нейтральных элементов нет. В группоиде бинарных отношений (В(М); о) нейтральным элементом является отношение равенства (проверьте).

Легко видеть, что элемент а, конечного группоида является нейтральным в том и только в том случае, когда строка и столбец с входами а; таблицы Кали этого группоида совпадают соответственно с входной строкой и входным столбцом. У т в е р ж д е н и е 3. Если в группоиде (С; ~) существует нейтральный элемент, то он единственный. П Пусть Л1, Л2 — нейтральные элементы группоида (С; *). Так как Л1 — нейтральный элемент, то Л1*Л2 = Л2, атак как Л2 — нейтральный, то Л1 * Л2 = Л1. Следовательно, Л1 — — Лг. П В группоиде (С; *) с нейтральным элементом Л для элемента а могут существовать такие элементы а', что а'*а = Л, а*а'= Л. (3) О п р е д е л е н и е 7.

Элемент а' группоида (С; *) с нейтральным элементом Л, удовлетворяющий равенствам (3), называют симметричным для а. 46 Ча, о Е С: (а, о Е С1 =~ а * б Е С1). При этом группоид (С1, *) называют подгруппоидом в (С;*). Например, группоиды (У;+),(1Чо,+),(1Ч;+) являются подгруппоидами группоида (К; +). Из всех группоидов особо выделяются группоиды с коммутативной операцией.

Они называются коммутативными. Очевидно, что коммутативность группоида равносильна симметричности его таблицы Кали относительно главной диагонали. В некоторых группоидах могут существовать так называемые нейтральные элементы. О п р е д е л.е н и е 6. Элемент Л группоида (С; *) называют нейтральным, если для любого а е С выполняются равенства: В общем случае в группоиде с нейтральным элементом Л элемент а может не иметь симметричных элементов и может иметь один или несколько симметричных элементов. Постройте соответствующие примеры. Более определенно о числе симметричных элементов решается вопрос в группоидах с ассоциативной операцией. О п р е д е л е н и е 8.

Группоид (С; *) с ассоциативной операцией называется полугруппой. Примерами полугрупп могут служить группоиды, указанные в примерах 1, 3, 4, 5, 6 предыдущего параграфа. Все они являются полугруппами с нейтральным элементом. У т в е р ж д е н и е 4. Если в нолугрупне (С; ~) с нейтральным элементом Л для элемента а существует симметричный элемент, то он единственный.

П Пусть а',а" два симметричных элемента для элемента а. Тогда, используя равенства (2), (3) и ассоциативность операции *, получим: а' = а' * Л = а' * (а * а") = (а' * а) * а ' = Л * а" = а . П Из всех группоидов наибольшую роль в математике играют группоиды, называемые группами. О п р е д е л е н и е 9. Группоид (С;*) называется группой если выполнены условия: 1) операция * ассоциативна; 2) в (С;*) существует нейтральный элемент Л; 3) для каждого элемента а Е С существует симметричный элемент а'е С. Если, кроме того, выполняется еще условие коммутативности операции *, то группа (С; *) называется коммутативной, или абелевой (в честь Н.

Х. Абеля). Приведем примеры групп. Из рассмотренных выше группоидов группами являются (Ж;+), ©+), (К; +). Все эти группы коммутативны, нейтральным элементом в них является число О, а симметричным к числу а — противоположное ему число — а. Заметим, что группоиды Я; ), (К;.) являются коммутативными полугруппами с нейтральным элементом 1, однако группами они не являются лишь из-за того, что для нуля не существует симметричного (в данном случае обратного) элемента. Удалив из Я и К число нуль, мы получим множества Я', К', которые являются группами относительно операции умножения.

Легко видеть, что 47 группами относительно умножения являются одноэлементное множество чисел (1) и двухэлементное (1, — 1). Приведем еще пример некоммутативной группы. Из всех таких групп в дальнейшем особую роль будут играть группы подстановок. О п р е д е л е н и е 10. Подстановкой непустого множества М называют любое биективное отображение множества М на себя. Множество всех подстановок множества М обозначим через Я(М).

Из утверждения 2.1 следует, что множество Я(М) замкнуто относительно операций умножения и композиции о отображений. Следовательно, на множестве 7 определены два группоида (Я(М); ) и (Я(ЛХ); о). Т е о р е м а 1. Группоиды (Я(М); ) и (Я(ЛХ); о) являются группами. Эти грутжы коммутативны тогда и только тогда, когда ~М~ < 2. П Ассоциативность операций и о на множестве Я(ЛХ) следует непосредственно из утверждения 1.1. Нейтральным элементом группоидов (Я(М); ),(Я(М);о) является тождественное отображение е: М ~ М.

Симметричным для преобразования д Е Я(Л~Х) является преобразование д ~, обратное для д. Его существование гарантируется утверждением 4.1. Необходимо подчеркнуть, что отображение д ~, обратное для подстановки д, также является подстановкой (т. е. д Е Я(М)). Это также обеспечивается утверждением 4.1, поскольку равенства дд = д ~д = е означают не только обратимость д, но и обратимость д Итак, рассматриваемые группоиды являются группами. Рассмотрим вопрос о коммутативности этих групп.

Если ~ЛХ~ = 1 или ~М! = 2, то Я(ЛХ) состоит соответственно из одной или двух подстановок и коммутативность рассматриваемых групп очевидна. Пусть |М~ ) 2, а, Ь, с Е М. Построим подстановки д~,д2, множества М следующим образом. Положим д~(а) = Ь, д~(6) = а, д~(х) = х для х Е М ~ (а, 6); д2(6) = с, д2(с) = Ь и д2(х) = х для х Е ЛХ ~ (Ь, с). Так как (д~ о д2)(а) = (д~(д2(а))) = д~(а) = Ь, (д2 О д~)(а) = (д2(д~(а))) = д2(6) = с, то д~ од2 ~ д2од~, а поэтому и д~д2 ~ д2д~, т. е.

рассматриваемые группы не коммутативны. П Группу (Я(М);.) условимся в дальнейшем называть симметрической группой подстановок множества М. В том случае, когда множество М конечно, любую подстановку д из Я(М) можно задать таблицей из двух строк, выписав в первой строке все элементы множества М, а во второй — под каждым элементом его образ при отображении д. Так, если ЛХ = (а~,..., а„) и д(а;) = а,„,, г Е Е1,п,то а~ а2 д = а„„а,„, В частности, тождественная подстановка имеет вид: а1 а2 ап обратную подстановку для д можно записать в виде: ( а, д а,„, ...

а,„„~ а2 ° ° ° ап ( Вернемся к определению группы. Из него и утверждений 3, 4 получаем: в группе есть один нейтральный элемент и для каждого элемента а — один симметричный элемент а'. Кроме того, из равенства (3) видно, что (а')' = а,(а~ 6)' = Ь'*а'. При изучении алгебр и в приложениях многие задачи сводятся к решению уравнений и систем уравнений в этих алгебрах. Поэтому вопросы об условиях разрешимости и методах решения уравнений являются важными в любых алгебраических структурах. В связи с этим, в дальнейшем при изучении конкретных группоидов и других алгебр мы, как правило, будем затрагивать и вопрос о решении простейших уравнений. В группах на этот вопрос отвечает Т е о р е м а 2. В любой группе (С;*) для любых элементов а,Ь однозначно разрешимы уравнения а*х=Ь, у*а=6.