Глухов М. М. Алгебра том 1, страница 11

П Импликации а), б), в) доказываются непосредственно на основании определения 15. Проделайте это в качестве упражнения. Свойство г) следует из очевидных равенств а = т(т 1а), а = (ат)т 1. Докажем д). Пусть а, Ь Е В, т1,т2 Е В'. Если а ~ 6, то Ь = ас при некотором с е В. Отсюда имеем равенство Ьт2 = (аг1)г ~ст2, которое означает, что ат1 ~ Ьт2. Обратная импликация доказывается аналогично. П Заметим, что указанные в пункте г) делители т и ат элемента а называются несобственными, или тривиальными. 54 55 Кроме обратимых элементов особую роль в кольцах имеют элементы, называемые делителями нуля. В связи с термином "делитель нуля" необходимо сделать следующее замечание.

В соответствии с определением 15 нуль делит нуль и потому нулевой элемент кольца следовало бы относить к делителям нуля. Однако в ряде случаев этого удобнее не делать, Поэтому здесь (как во многих других книгах по алгебре) термин "делитель нуля" будет использоваться только в смысле следующего определения. О п р е д е л е н и е 16. Делителем нуля в произвольном кольце В называется любой его элемент а ~ О, для которого в В существует элемент Ь ~ О, удовлетворяющий условию аЬ = 0 или Ьа = О.

Для приведенных выше примеров колец имеем: в кольцах У, 2У, Я, К делителей нуля нет; в кольце с нулевым умножением делителями нуля являются все ненулевые элементы; в кольце (К~;+, ) из примера 7 делителями нуля являются все пары (а, 6), в которых а = О, Ь ф 0 или а~О, Ь=О. 3 а м е ч а н и е 3. Если в коммутативном кольце В а делит Ь, то элемент с из условия Ь = ас находится в общем случае неоднозначно. Однако если а ~ 0 и а не является делителем нуля, то с находится однозначно, поскольку из ас1 —— ас2 следует а(с1 — с2) = О, а потому и с1 — с~ = О, т. е.

с1 = с2. В этом случае однозначно определенный элемент с называют частным от деления Ь на а и обозначают в виде а. Ь О п р е д е л е н и е 17. Коммутативное кольцо с единицей и без делителей нуля называют областью целостности. Примерами областей целостности являются кольца У, Я, К. Из всех областей целостности особо выделяют поля. О п р е д е л е н и е 18. Полем называют коммутативное кольцо с единицей, отличной от нуля, в котором каждый ненулевой элемент обратим. Примерами полей являются кольца Я и К.

Их называют соответственно полем рациональных и полем действительных чисел. В качестве примера нечислового поля построим поле из двух элементов О,е с операциями сложения и умножения, заданными следующими таблицами Кэли: Читателю предлагается проверить, что множество (О, е) с указанными операциями является полем с нулем 0 и единицей е. Это поле называют нолем Галуа из двух элементов и обозначают через СР(2). Ниже мы познакомимся со многими другими полями. Так как поля являются кольцами, то они обладают всеми общими свойствами колец.

Вместе с тем, поля обладают и некоторыми специфичными свойствами. У т в е р ж д е н и е 8. а) если а, Ь вЂ” элементы ноля Р и а ~ О, то уравнение ах = Ь имеет единственное решение в Р. б) В любом поле Р отсутствуют делители нуля, т. е. Ча, Ь Е Р: (аЬ = 0 ~ а = 0 или Ь = 0). П Свойство а) следует непосредственно из утверждения 6, если учесть, что в поле все ненулевые элементы обратимы. б) Если аЬ = 0 и а ~ О, то, умножив обе части равенства аЬ = 0 на а 1, получим а (аЬ) = О, то есть Ь = О.

В другую сторону утверждение б) следует из теоремы 3 а) для колец. П О п р е д е л е н и е 19. Подмножество В1 кольца (В;+, ) замкнутое относительно операций +, в В и являющееся кольцом (полем) относительно этих операций, называют нодкольцом (ноднолем) кольца В. Из определения 19 следует, что кольцо У является подкольцом кольца Я, которое само является подкольцом и подполем поля К. ~ 4. Изоморфизм множеств с операциями При изучении множества с операциями в алгебре обращают внимание лишь на те его свойства, которые обусловлены определенными на нем операциями, и не интересуются свойствами, обусловленными природой его элементов. Множества, устроенные одинаково с точки зрения определенных на них операций, называются изоморфизмами (т. е.

имеющими одинаковое строение). Прежде чем дать этому понятию строгое определение, приведем простейший пример. Рассмотрим группоид С1 = (1, — 1) с обычной операцией умножения чисел. Его таблица Кэли имеет вид: 56 57 1фаЬ) = 1да+ 1дЬ. <р(а*6) = <р(а) *у(6).

(9) у(а:в Ь) = у(а) од(Ь). 59 Сравним группоид С1 с другим группоидом Сг, состоящим из двух отображений множества У, в себя: тождественного отображения е и отображения о, определенного условием Ча е У' о(а) = — а легко видеть, что множество Сг = (е, о) замкнуто относительно операции композиции отображений, и мы имеем группоид (Сг, о) с таблицей Кэли: Сравнивая группоиды (С1,.) и (Сг, о), замечаем, что, заменив в таблице Кэли для С1, элементы 1, — 1 соответственно на е, о, а операцию . на о, мы получим таблицу Кэли для группоида (Сг, о).

Таким образом, с точки зрения операций группоиды С1 и Сг отличаются лишь обозначением элементов и операций. Теперь заметим, что замена элементов 1, — 1 на е, о это есть биективное отбражение у множества С1 на Сг, удовлетворяющее условию: Ча, Ь, с е С1 . (аЬ = с ~ ~р(а) о ~р(6) = ~о(с)). Нетрудно видеть, что так записанное условие равносильно условию: Ча, Ь Е С1 . (ср(аЬ) = ~р(а) о у(Ь)).

Теперь должно быть понятным и естественным О п р е д е л е н и е 20. Группоиды (С;*) и (Н; о) называют изоморфными, если существует биективное отображение у: С ~ Н, такое, что для любых элементов а, Ь е С выполняется равенство: При этом само отображение <р называют изоморфизмом группоида (С, *) на группоид (Н; о). Тот факт, что группоиды С, Н изоморфны, записывается в виде СмН. Легко видеть, что если <р — изоморфизм группоида (С; *) на (Н; о), то отображение <р 1 является изоморфизмом группоида (Н; о) на (С; *).

Докажите это в качестве упражнения. Понятие изоморфизма группоидов встречается и используется даже в школьной математике (без употребления слова изоморфизм). Так, отображение <р множества положительных чисел В+ во множество всех действительных чисел В, определенное равенством у(а) = 1я а, является изоморфизмом группоида (В+; ) на группоид (В;+). Условие (9) в данном случае записывается равенством: Если в группоидах С, Н операция обозначается одним и тем же символом, например *, то равенство (9) принимает вид: В этом случае говорят, что отображение у является изоморфизмом относительно операции *.

В алгебре, изучающей множества лишь с точки зрения свойств операций, изоморфные группоиды попросту не различают, то есть изучают группоиды (да и другие множества с операциями) лишь с точностью до изоморфизма. Это объясняется тем, что операции в изоморфных группоидах обладают одними и теми же свойствами. Частично это утверждается в следующей теореме. Т е о р е м а 5. Пусть <р — изоморфизм группоида (С; *) на группоид (Н; о). Тогда: а) если группоид (С;*) коммутативный или ассоциативный, то соответственно таким же является и (Н; о); б) если Л вЂ” нейтральный элемент в (С; *), то <р(Л) — нейтральный в (Н;о); в) если в (С;*) элемент д' является симметричным для д, то в (Н; о) элемент <р(д') — симметричный к у(д). П а) Пусть операция * коммутативна и 61, пг — любые элементы из Н.

Так как отображение у сюръективно, то =Ь1 92 ~ С: 'Р(91) = 61, ~р(дг) = 62. Теперь, используя коммутативность операции * и условие (9), получим: 61 62 <Р1(91) ~рг(92) ~Р(91 ~92) ~Р(92 ~91) <Р(92) о<Р(91) = Ьго61 ° Следовательно, операция о также коммутативна.

Аналогично доказывается утверждение а) и для свойства ассоциативности. б) Пусть, как и в а), 61 Е Н,~о(91) = 61. Тогда: <р(Л) о 61 — — ~р(Л) о ~р(91) = ~р(Л * д1) = ~р(91) = и1, и аналогично 61 о ~р(Л) = 61. Следовательно, ~р(Л) — нейтральный элемент в (Н; о). в) Из равенств д * д' = д' * д = Л, учитывая, что ~р — изоморфизм, получим: (р(д) о (р(д') = (р(д') о (р(д) = (р(Л). (10) Так как ~р(Л) — нейтральный элемент в (Н; о) (по доказанному в п.

б), то равенства (10) и означают, что ~р(д') — симметричный элемент для ~р(д). П С л е д с т в и е. Если группоиды (С; *), (Н; о) изоморфны и (С; *) есть или полугруппа, или коммутативная полугруппа, или группа, то соответственно таким же является группоид (Н; о). В заключение данного параграфа докажем два утверждения о группах подстановок. У т в е р ж де н и е 9. Для любого множества М группы (Б(Ы), ) и (Я(М); о) изоморфны. П Покажем, что изоморфизмом является отображение ~р: Я(М) ~ Я(М), определенное следующим образом: Чд е Я(М): ~р(д) =д-', где д — обратный элемент для д в группе (Я(М); ). Так как каждый элемент из Я(ЛХ) является обратным для обратного к нему, то ~р— сюръективно.

Инъективность ~р легко доказывается от противного. Допустим, что д11 = дг 1 для д1 ф дг. Умножив обе части последнего равенства на д1 слева и на дг справа, получим противоречащее условию равенство дг = д1. Итак, ~р — биективно, и осталось проверить условие (9). Оно проверяется с использованием известного равенства ЬдгГ'=9 'д ': ~р(91дг) = (д,дг)-~ = дг д., = <р(дг)~р(91) = ~р(91) о <р(дг). П У т в е р ж д е н и е 10.

Если множества ЛХ, М' — равномощны, то (Я(М;.) а (Я(М );.). П По определению равномощности множеств существует биективное отображение а: М вЂ” М'. Сопоставим каждой подстановке д Е Я(М) отображение ~р(д) = а 1да: ЛХ' — М'. Так как отображения а 1,д,а биективны, то по утверждению 2.1 биективным будет и их произведение. Следовательно, ~р(д) Е Я(М'). В итоге определено отображение <р: Я(М) — ~ Я(ЛХ'). Отображение ~р сюръективно, поскольку в подстановку д' из Я(М') отобразится подстановка ад'а 1 из Я(ЛХ). Действительно, по определению ~р имеем: ~р(ад'а 1) = а ~(ад'а ')а = (а ~а)д'(а 'а) = ем д'ец = д'. Отсюда и из утверждения 5.1 следует, что ~р — биективно, и остается проверить для ~р условие (9): у(919г) = а '(919г)а = (а 91аКа дга) = 'рЬ1)~р(дг). П Утверждения 9 — 10 хорошо иллюстрируют значение понятия изоморфизма.