Глухов М. М. Алгебра том 1

М. М. Глухов, В. П. Елизаров, А. А. Нечаев лге а Том 1 Допущено Министерством образования Российской Федерации в качестве учебника для студентов высших учебных заведений, обучающихся по группе специальностей в области информационной безопасности Москва «Гелиос АРВ» 2003 УДК 512.8 ББК 22.19 Г22 тлухов М.М., Елизаров В.П., Нечаев А.А. Г22 Алгебра: Учебник.

В 2-х т. Т. 1. — М.: Гелиос АРВ, 2003. — 336 с., ил. 18ВХ 8-85438-071.4 Учебник содержит полное и систематическое изложение материала, входящего в федеральный компонент дисциплины «Алгебра» Государственных образовательных стандартов по специальностям «Криптография» и «Компьютерная безопасность». В отличие от традиционных курсов высшей алгебры, изучаемых на математических факультетах университетов, данный курс характеризуется углубленным изучением дискретных алгебраических обьектов: конечных колец, полей, линейных пространств, полугрупп преобразований, групп подстановок.

Том 1 содержит основные понятия и теоремы современной алгебры в обьеме годового курса высшей алгебры для студентов математических специальностей университетов. ББК 22.19 Учебное издание ГЛУХОВ МИХАИЛ МИХАЙЛОВИЧ, ЕЛИЗАРОВ ВИКТОР ПАВЛОВИЧ, НЕЧАЕВ АЛЕКСАНДР АЛЕКСАНДРОВИЧ АЛГЕБРА ТОМ 1 Заведующая редакцией Т. А. Денисова Корректор Е.

Н. Клитина Компьютерная верстка М.М. Королевой, Н.М.Хусаинова Издательство «Гелиос АРВ». Издательская лицензия ЛР № 066255 от 29.12.1998 г. 107140, г. Москва, Верхняя Красносельская ул., 16. Тел./факс: (095) 264-44-39, е-та11; 1пго®8е11оз-агч.ги Адрес в 1п1егпен яилч.яе11оз-агч.ги Формат 60х84/16. Объем 21 и. л.

Бумага офсетная. Тираж 3000 экз. Заказ № 573. Отпечатано с готовых диапозитивов в РГУП «Чебоксарская типография № 1». 428019, г. Чебоксары, пр. И. Яковлева, 15. О Глухов М. М., Елизаров В. П., Нечаев А. А., 2003 О Оформление. Шачек Е. С., 2003 1$В)ь1 8-85438-071-4 Предисловие Учебник состоит из двух частей, издаваемых отдельными книгами: том 1 и том 11. Том 1 содержит, в основном, традиционный для математических специальностей алгебраический материал и потому вполне может использоваться студентами математических факультетов университетов и педагогических вузов. В основу учебника положены лекции по курсу «Алгебра», читавшиеся авторами на протяжении ряда лет в Институте криптографии, связи и информатики для слушателей специальностей «Криптография» и «Компьютерная безопасность». В учебнике авторам удалось реализовать ряд оригинальных методических подходов к изложению материала.

Вместе с тем при подготовке учебника авторы использовали опыт изложения алгебраического материала другими авторами, а также свой опыт научно-исследовательской работы над математическими проблемами криптографии. Современная криптография является одной из наиболее наукоемких областей естествознания. В частности в ней находят применение практически все разделы современной алгебры. Именно этим обьясняется тот факт, что "Алгебра" является одной из базовых дисциплин, широко используемых при изучении других дисциплин из Государственных образовательных стандартов по указанным специальностям. Учитывая, что подлежащая криптографической защите информация обрабатывается, как правило, в дискретном виде, наиболее востребованными в криптографии являются знания по конечным алгебраическим обьектам — конечным группам, полугруппам, кольцам, полям, векторным пространствам, функциям и многочленам над конечными полями и кольцами, группам подстановок и др.

Авторы по возможности учитывали это при подготовке данного учебника. Усиленное внимание к конечным алгебраическим обьектам является одной из особенностей предлагаемого учебника. Еще одна его особенность, также обусловленная практическими потребностями, заключается в алгоритмичности изложения материала, в стремлении к упрощению и четкому описанию алгоритмов решения рассматриваемых задач. В учебнике авторы стремились выделять наиболее важные и законченные алгебраические результаты. Эти результаты оформлялись в виде теорем. Все остальные, более мелкие и вспомогательные факты, формулироВались в виде лемм и утверждений.

Большинство рассматриваемых в книге понятий и результатов иллюстрируется примерами. После каждой главы приводятся задачи на закрепление и углубление соответствующего материала. Содержащиеся в учебнике параграфы, определения, теоремы, утверждения, леммы, примеры, замечания и формулы нумеруются по главам. Ссылки на них имеют двойную нумерацию. Например «Теорема З.Х» означает теорему 3 главы Х. При ссылках внутри одной главы номер опускается. В конце книги предлагаются списки использованной учебной и монографической литературы, а также перечень сборников задач по алгебре. Для удобства пользования книгой приведены авторский и предметный указатели.

Данный учебник предназначается в первую очередь лицам, обучающимся в вузах по специальностям, относящимся к области информационной безопасности: «Криптография» — 075100, «Компьютерная безопасность» — 075200, «Организация и технология защиты информации» вЂ” 075300, «Комплексная защита обьектов информатизации» вЂ” 075400, «Комплексное обеспечение информационной безопасности автоматизированных систем» вЂ” 075500, «Информационная безопасность телекоммуникационных систем»вЂ” 075600, «Противодействие техническим разведкам» вЂ” 075700. Авторы выражают признательность всем специалистам, прочитавшим рукопись данного учебника и сделавшим свои замечания. Глава 1 ВВЕДЕНИЕ ~ 1.

Предмет алгебры Предмет и содержание алгебры претерпевали существенные изменения в ходе ее развития. До середины Х1Х века алгебраические исследования были связаны, в основном, с задачей нахождения корней много- членов, то есть решения уравнений вида аот" +а1т" 1+...+а„1т+а„= = О, называемых теперь иагебраическими уравнениями.

Рассматривались также уравнения и системы уравнений со многими неизвестными. Термин "алгебра" происходит от названия сочинения узбекского математика 1Х века Мухаммеда ал-Хорезми "Альджебр аль-Мукабала", в котором были систематизированы сведения о правилах действий с числами и общих приемах решения задач, сводящихся к алгебраическим уравнениям 1-й и 2-й степеней. До ХИ в. для записи уравнений применялись громоздкие словесные описания, что существенно сдерживало развитие алгебры. В ХУ1 веке в алгебру постепенно проникает символический язык.

Решающий вклад в его развитие внес французский математик Ф. Виет (1540 — 1603). Он первым стал обозначать буквами не только неизвестные, но и коэффициенты уравнений. Это позволило свойства уравнений и их корней записывать общими формулами. В частности, Виет вывел формулы, связывающие корни алгебраического уравнения с его коэффициентами. В ХУП вЂ” ХИ11 в. исследованию алгебраических уравнений и их приложениям большое внимание уделяли такие крупные ученые как французские математики Р.

Декарт (1596 — 1650), П. Ферма (1601 — 1665), Ж. Л. Лагранж (1736 — 1813), английский физик и математик И. Ньютон (1643 — 1727), немецкий математик К. Ф. Гаусс (1777 — 1855) и др. Ферма и Декарт являются основоположниками аналитической геометрии. Они внесли значительный вклад в дальнейшее совершенствование алгебраического языка и в разработку алгебраических методов решения геометрических задач. Декарт широко применял алгебраические уравнения к классификации и изучению кривых на плоскости, разработал метод оценки числа действительных корней многочлена.

Ферма занимался также решением уравнений в целых числах. В частности он сформулировал утверждение о том, что уравнение т" + у" = л" не имеет целых (нетривиальных) решений при целом и > 2. Это утверждение, называемое большой (или великой):теоремой Ферма, удалось доказать лишь в 1993 г.

Последний рубеж на пути к этому результату преодолел математик из США А. Вилес (А.Ж11ев). К настоящему времени ошибок в этом доказательстве не обнаружено. Лагранж построил теорию исключения неизвестных из систем алгебраических уравнений, указал формулу для нахождения многочлена степени и по его значению в и+ 1 точках, разработал метод отделения действительных корней многочлена. Ньютон, основываясь на связи алгебраических уравнений с кривыми плоскости, указал метод приближенного вычисления корней уравнения. Гаусс установил связь между решением уравнения вида т" — 1 = 0 и построением и-угольников с помощью циркуля и линейки.

В частности, на этом пути ему удалось описать все значения и, при которых правильный и-угольник может быть построен с помощью циркуля и линейки. Оказалось, что такими являются все числа 2 и 2 р1...р„, где ти Е Иа, р1,...,р„— различные простые г' числа вида 2~ + 1. В 1799 г. он впервые доказал, что любой многочлен с комплексными коэффициентами имеет хотя бы один корень. До сих пор эта теорема по традиции называется основной теоремой алгебры.

Среди различных задач об уравнениях центральной долгое время оставалась задача нахождения формул, выражающих корни уравнений через их коэффициенты с помощью основных арифметических операций и извлечения корней, по аналогии с известной из древности формулой для корней квадратных уравнений (проблема разрешимости уравнений в радикалах).

Для уравнений 3-й и 4-й степеней эта задача была решена итальянскими математиками Н. Тарталья (1500 — 1557), Д. Кардано (1501 — 1576), Л. Феррари (1522 — 1565). Вот, к примеру, как выглядит формула для корней кубического уравнения вида хз + рт+ д = О, называемая формулой Кардано: Много усилий было затрачено математиками на отыскание формул для корней уравнения 5-й степени и более высоких степеней. В 1799 г. итальянский математик П. Руффини (1765 — 1822) опубликовал теорему, утверждающую отсутствие общей формулы для корней уравнений степени и > 5.

Однако доказательство Руффини содержало пробел. Впервые полное доказательство указанной теоремы было предложено в 1824 г. норвежским математиком Н. Х. Абелем (1802 — 1829). Теоре ема Руффини — Абеля и другие имеющиеся к тому времени результаты по теории уравнений помогли молодому французскому математику Э. Галуа (1811 — 1832) сформулировать более общую задачу — о разрешимости в радикалах произвольного конкретного алгебраического уравнения. Им же был найден и доказан критерий разрешимости.