Глухов М. М. Алгебра том 1, страница 10

(4) ' П Непосредственной проверкой легко убедиться, что уравнениям (4) удовлетворяют соответственно элементы х = а' * Ь и у = Ь * а', где а' — элемент, симметричный а. Остается доказать единственность этих 49 а*х1 —— а*хг. а1*а2*... *а,„. ап1 апУ ап1+пУ (ап1 ~п2 ап1п2 ° ) ! (6) (7) Таблица 3 Обознач. Обознач. Обознач.

Название Название Название Сложение Умножение Операция а:» Ь а+Ь аЬ Сумма Произве- дение Результат операции О,д 1,е,е Нуль Единица Нейтраль- ный а =е, а"=а =(а ) элемент Оа = д, иа = ( — т)а = — (та) а' Симметричный эле- Противоположный к Обратный ка мент к Ь:» а' Ьа Ь вЂ” а Правое частное Разность Решение уравнения х:» а = Ь а Ь а'*Ь вЂ” а+Ь Левое частное Разность Решение ~ 3. Кольца и поля уравнения а*х=Ь 50 51 решений. Допустим, что уравнение а * х = Ь имеет два решения: х1, хг. Тогда имеем равенство: Умножив обе его части слева на элемент а', получим х1 — — х2. Аналогично доказывается единственность решения и второго уравнения из (4).

П В заключение этого параграфа сделаем одно замечание по терминологии и обозначениям, Само собой разумеется, что свойства группоида не зависят от того,как названа и как обозначена его бинарная операция. В связи с этим, с целью избежания лишних значков и терминов, операции в группоидах обычно называют, как и для чисел, сложением и умножением и обозначают соответственно знаками + и . Употребляемую при этом терминологию и форму записи называют соответственно аддитивной и мультипликативной.

Приведем сравнительную таблицу этих терминов и обозначений. Заметим, что адцитивная терминология чаще всего используется для коммутативных группоидов. В дальнейшем, в основном, будут рассматриваться лишь ассоциативные группоиды. В них результат операций над несколькими элементами не зависит от расстановки скобок и сами скобки, указывающие порядок выполнения операций, чаще всего опускаются. В связи с этим корректной является запись вида: Если при этом а1 — — а2 = ... = а„= а, то вместо ~5) пишут: а при мультипликативной форме и иа при аддитивной форме записи. Элементы а" и иа называют соответственно и-й степенью и и-кратным элемента а. Непосредственно из определения элементов а" и иа легко следует У т в е р ж д е н и е 5.

Если (С; ) или (С;+) — иолугруииы, то для любого элемента а Е С и любых натуральных чисел и1, и2 выиолняются равенства: и1а+ и2а = (и1+ и2)а, и1(и2а) = (и1и2)а. Проверьте эти равенства в качестве упражнения. Если группоид (С; ) или (С;+) является группой, то понятия и-й степени и и-кратного элемента а Е С можно распространить на любое и Е Ж, положив соответственно для и= — т (О. Нетрудно проверить, что в группе (С; ) (или (С;+)), равенства (6), (соответственно (7) ) выполняются для любого а е С и любых и1, и2 е Ж.

О и р е д е л е н и е 11. Кольцом называется множество й с бинарными операциями сложения + и умножения, удовлетворяющими условиям: 1) (В;+) — абелева группа, 2) (В; ) — полугруппа, 3) операция умножения дистрибутивна относительно сложения. При этом группа (В;+) называется аддитивной группой кольца В. Кольцо (В;+) называется коммутативным, если операция умножения коммутативна, и кольцом с единицей, если (В; ) — полугруппа с единицей.

Примерами коммутативных колец с единицей являются числовые кольца: (Ж+, ) Я+ ) (К;+ ) Примером коммутативного кольца без единицы может служить множество 2У всех четных чисел относительно обычных операций сложения и умножения. Заметим, что любую абелеву группу (С;+) можно сделать кольцом, задав на ней операцию умножения следующим образом: Ча,Ь Е С: (аЬ = 0). О п р е д е л е н и е 12. Кольцо В, в котором произведение любых двух элементов равно нулевому элементу, называется кольцом с нулевым умножением. Приведем еще один пример кольца. П р и м е р 7. Рассмотрим множество К2 упорядоченных пар действительных чисел: К2 = ((а, Ь): а, Ь Е К). Введем на множестве К2 операции сложения и умножения, положив (а, Ь) + (с, И) = (а + с, Ь + И), (а, Ь)(с, сХ) = (ас, Ы).

Так как операции над парами производятся покомпонентно, то из свойств действительных чисел имеем: операции + и . в К2 коммутативны и ассоциативны, а операция дистрибутивна относительно +. Нулевым элементом является пара (О, 0), единицей — пара (1, 1) противоположной для пары (а, 6) — пара ( — а, — 6). Следовательно, (К2;+, ) является коммутативным кольцом с единицей. В дальнейшем будет рассмотрено много других колец, в том числе и некоммутативных. Здесь же укажем на некоторые простейшие свойства, верные для любых колец и хорошо известные для чисел. Т е о р е м а 3.

Для любых элементов а, Ь, с произвольного кольца В с нулем 0 справедливы равенства: а)а 0=0 а=О; б) — ( — а) =а; в) ( — а)Ь = — (аЬ),а( — Ь) = — (аЬ); г) ( — а)( — Ь) = аЬ; д) а(Ь вЂ” с) = аЬ вЂ” ас; е) т(аЬ) = (та)Ь = а(тЬ); т Е У; ж) (т1а)(т26) = (т1т2)(аЬ); т1, т2 Е У. П а) Так как О+ 0 = 0 по определению нулевого элемента кольца, то а. 0 = а (О+ 0) = а О+ а О. Прибавив к обеим частям полученного равенства — (а 0), получим а 0 = О. Аналогично доказывается равенство 0 а = О. б) Непосредственно из определения противоположного элемента име- ем: а+ ( — а) = ( — а) + а = О. Из этих равенств видно, что если — а — противоположный элемент для а, то а — противоположный для — а.

Последнее и означает, что — ( — а) = а. в) Так как — (аЬ) есть элемент, противоположный к аЬ, то в силу утверждения 4 для доказательства равенства ( — а) Ь = — (аЬ) достаточно показать, что ( — а)6 также противоположен к аЬ, то есть выполняется равенство аЬ+ ( — а)6 = О. Используя свойство дистрибутивности умножения относительно сложения в кольце В и свойство а), получим: аЬ+ ( — а)Ь = (а+ ( — а))Ь = 0 Ь = О.

Аналогично доказывается равенство а( — Ь) = — (аЬ). г) Используя свойства б), в), получим: ( — а)( — Ь) = — (а( — Ь)) = — ( — (аЬ)) = аЬ. д) а(Ь вЂ” с) = а(Ь + ( — с)) = аЬ + а( — с) = аЬ+ ( — (ас)) = аЬ вЂ” ас. е) Для доказательства равенств е) достаточно воспользоваться определением т-кратного, а также свойством дистрибутивности при т Е 1Ч, равенствами а) при т = 0 и равенствами в) при т = — и, где п Е 1Ч. ж) Доказывается аналогично утверждению е).

П 52 (аЬ)(Ь 1а ) = (а(ЬЬ 1))а = (ае)а = аа 1 = е и, аналогично, (Ь 1а )(аЬ) = е. Следовательно, элемент Ь 1а 1 является обратным для а Ь, и потому а Ь Е В'. Таким образом, В' можно рассматривать как множество с операцией умножения (определенной на В). Эта операция на В' ассоциативна, так как она ассоциативна на В.

Единичный элемент е обратим, поскольку ее = е, и потому лежит в В'. Очевидно, что е — единичный элемент группоида (В*; ). Если а Е В* и а 1 обратный элемент для а, то а является обратным для а 1, и значит, а 1 е В'. Из всего сказанного и определения 9 следует, что (В', ) — группа. П О п р е д е л е н и е 14. Группа (В*; ) всех обратимых элементов кольца В с единицей называется мультипликативной группой кольца В. Рассмотрим еще вопрос о решении уравнений: ах=Ь, уа=Ь (8) в произвольном кольце В с единицей. Если (В;+, ) — кольцо с единицей е, то в нем для элемента а ф- 0 может не быть обратного элемента. Вместе с тем для некоторых элементов кольца В (например, для е) обратные элементы существуют.

Такие элементы играют в кольце особую роль. О п р е д е л е н и е 13. Элемент а кольца В с единицей называется обратимым, если для него в В существует обратный элемент а Множество всех обратимых элементов кольца В обозначают через В*. Например, Я' = Я ~ (0),У,' = (1, — 1). Обратимыми элементами кольца (К~;+,.) из примера 7 являются все пары вида (а, 6), в которых а ~ 0 и Ь ~ О, при этом (а, Ь) 1 = (а 1, Ь 1). Заметим, что в рассмотренных примерах множества Я', Ж', (К~)' являются группами относительно операции умножения. Этот факт не случаен. Т е о р е м а 4.

Если  — кольцо с единицей, то множество всех его обратимых элементов замкнуто относительно операции умножения в В и является группой. П Покажем сначала, что множество В' замкнуто относительно операции умножения, определенной в кольце В. Пусть а,Ь Е В' и а Ь 1 — обратные к ним элементы. Тогда имеем: У т в е р ж д е н и е б. В кольце В с единицей уравнения (8) разрешимы при любых Ь Е В (и фиксированном а е В) в том и только в том случае, когда а Е В'. В последнем случае каждое из уравнений (8) имеет единственное решение. П Если а обратим, то точно так же, как и в теореме 2, доказывается, что х = а 16, у = 6а являются единственными решениями уравнений из (8).

Обратно, пусть уравнения (8) разрешимы при любом Ь, и х = а', у = а" — их решения при Ь = е. Используя равенства аа' = е, а"а = е и ассоциативность умножения, получим: а" = а" е = а" (аа") = (а"а)а' = еа' = а'. Следовательно, а' = а" = а 1, т. е. а обратим. П О п р еде л е н и е 15.

Пусть  — коммутативное кольцо и а,Ь Е В. Говорят, что элемент Ь делится на а, или а делит Ь, если существует такой элемент с е В, что Ь = ас. Тот факт, что а делит Ь кратко записывают в виде а ~ Ь. Если а ~ Ь, то говорят также, что Ь кратно а, а — делитель Ь. Отношение делимости на коммутативном кольце обладает рядом свойств, сходных с известными из средней школы свойствами делимости целых чисел. У т в е р ж де н и е 7. Для любых элементов а, Ь,с коммутативного кольца В справедливы импликации: а) а~Ь,Ь)с~а(с; б) а)Ь,а~с~а~(Ь~с); в) а ) Ь ~ а! Ьс. Если  — коммутативное кольцо с единицей е, то оно обладает также свойствам: г) Ча Е В, Чт Е В': (т ~ а, ат ~ а); д) Ча, Ь Е В, Чт1, т2 Е В': (а ~ Ь ~ ат1 ~ Ьт~).