Н.Н. Смирнов - Введение в специальность. Фундаментальная математика и механика. Сборник задач

Введение (010701.65 «фундаментальная математика и механика») вт . ~ ~5$~ Московского уввверсвтетв 2013 Г щ~~~ УДК 51; 531/534 ББК 22.1;22.2 В24 Составители: А.С. Зеленский, Е.И. Могилевский, М.В. Юмашев Под общей редакцией Н.Н. Смирнова Введение в специальность: Механика (010701.65 «Фундаменталь- В24 ная математика и механикаь). Сборник задач / Сост. А.С.Зеленский, Е.И. Могилевский, М.В. Юмашев. Под обш. ред. Н.Н.Смирнова, — Мд Издательство Московского университета, 2013.

— 72 с, 15ВН 978-5-211-06442-3 Большинство текстов этой книги основаны на задачах, опубликованных в различных сборниках, и на материалах олимпиад по механике и физике для школьников и студентов. Часть задач составили сотрудники механико-математического факультета МГУ С.И.Арафайлов, А.В.Звягин, А.С.Зеленский, А.Г.Калугин, Н.Е.Леонтьев, А.А.маланин, Е.И.Могилевский, В.Л.Натяганов, В.А.Прошкин, Н.Н.Смирнов,О.Ю.Черкасов, М.В.Юмашев,А.Г.Якушев,Я Д.Янков. Для семинарских занятий студентов 1 курса отделения механики механико-математического факультета МГУ имени М.В.

Ломоносова по курсу «Введение в специальностыь а также для подготовки школьников к олимпиадам. Ключевые слова: кинематика материальной точки, динамика материальной точки, закон сохранения импульса, механическая энергия, механические силы, газоные законы, термодинамика. УДК 51; 531/534 ББК 22.1;22.2 © Механико-математический факультет МГУ имени М. В.

Ломоносона, 2013 15ВН 978-5-211-06442-3 ЕЗ Издательство Московского университета, 2013 Содержание ~ 13 13 Предисловие 1.1 Несколько слов о механике 1.2 О задачах но механике Закон сложения скоростей 2.1 Краткие теоретические сведения . 2.2 Задачи ............. Одномерное равноускоренное движение 3.1 Краткие теоретические сведения .

3.2 Задачи .. Двумерное равноускоренное движение 4.1 Краткие теоретические сведения . 4.2 Задачи .. Законы Ньютона. Кинематические связи 5.1 Краткие теоретические сведения...... 5.2 Задачи..... Силы сопротивления движению 6,1 Краткие теоретические сведения . 6.2 Задачи .. 5 5 8 18 .'' 18 19 22 22 23 26 26 28 31 31 32 49 . '...': 49 13 Литература Т Импульс системы материальных точек 7.1 Краткие теоретические сведения . 7.2 Задачи . 8 Механическая работа. Мощность 8.1 Краткие теоретические сведения .

8.2 Задачи . 9 Сохранение механической энергии 9.1 Краткие теоретические сведения .. 9.2 Задачи . 10 Гидростатика. Закон Архимеда 10.1 Краткие теоретические сведения . 10.2 Задачи . 11 Идеальный газ 11.1 Краткие теоретические сведения . 11.2 Задачи .. 12 Термодинамика 12.1 Краткие теоретические сведения .' 12.2 Задачи . 36 36 37 40 40 41 44 44 ;! 46 '54 54 56 61 ;-61 63 «Механика есть рай математических наук, :поор~уетвом нее достигают математического плода». Леонардо да Винчи 1 " Предисловие 1.1 Несколько слов о механике Во многих ведущих университетах России: Московском, Санкт-Петербургском, Казанском, Уральском, Нижегородском и т.д. нет математического факультета.

Зато есть механико-математические или математико-механические. Почему же с точки зрения университетов механика оказывается ближе к математике, чем к физике? Какие специалисты выходят после обучения на механической части механико-математических факультетов? Итак, механика... Не очень привычное слово для школьника. Когда произносятся слова «математика», «физика», «химия», вопросов почти ни у кого не возникает. А «механик໠— слово многозначное.

На производстве есть должности главного механика и инженера-механика. И машины ремонтируют тоже механики. Школьникам знакома механика, как раздел физики, посвященный движению тел под действием гравитационных сил, упругих сил и сил трения. Но та механика, которая изучается на механико-математическом факультете МГУ имени М. В. Ломоносова и многих других вузов, -- совсем другое. Наша механика это математическое моделирование широкого класса явлений окружающего мира средствами классической механики Ньютона и релятивистской механики. Именно в рамках такой механики активно работают ученые факультета, охватывая в своих исследованиях практически все сферы человеческой деятельности. Именно такая механика служит основой многих научных проектов, определяющих без преувеличения передовое положение нашей страны в таких областях, как авиа- и кораблестроение, освоение космоса, энергетика, добыча полезных ископаемых, робототехника, разработка новых оборонительных вооружений.

Именно такой механике обучают студентов. Для того, чтобы не путать эту область знаний с техническими специальностями, мы будем применять термин фундаментальная механика. Механик университетского профиля, в отличие от механика-инженера, создает математические модели и ставит сложные математические задачи, связанные с различными механическими явлениями, а также разрабатывает общие методы их решения.

Эти результаты потом используются инженерами-механиками как фундамент для конкретных разработок. К примеру, в 1936 году М. В. Келдыш и М. А. Лаврентьев с использованием сложного математического аппарата теории функций комплексного переменного решили задачу о движении подводного крыла. И через четверть века были созданы (этим занимались уже «механики- инженеры») корабли на подводных крыльях. Для осознания важности механики как науки достаточно просто перечислить некоторые работы механиков Московского университета, произведенные в годы Великой Отечественной войны: решение проблемы флаттера самолета и «шимми переднего колеса» самолета (М. В.

Келдыш); работы по аэродинамике крыла боевых самолетов (С. А. Чаплыгин, В. В. Голубев, М. А. Лаврентьев, Л. И. Седов, С. А. Христианович); устойчивость самолета при вынужденных посадках, устойчивость снарядов и мин при полете (Н. Г. Четаев); задача аэродинамики параппота, математическая теория деформации гибкой нити при поперечном ударе, волны разгрузки (Х. А. Рахматуллин), технология изготовления корпусов артиллерийских снарядов и стволов артиллерийских орудий (А.

А. Ильюшин); работы по механике тел переменной массы и реактивной динамике ~А. А. Космодемьянский): математическая модель кумулятивного снаряда (М. А. Лаврентьев) и многие-многие другие. Отметим, .что все эти выдающиеся научные результаты это именно результаты ученыхмехапиков, которые применили свои блестящие математические знания к актуальным прикладным задачам. Для современной механики характерно широкое привлечение самого разнообразного математического аппарата. А такие направления, как теория устойчивости, теория нелинейных колебаний, методы качественного анализа движения систем, выходят на такой уровень абстракции, что уже трудно сказать — механика это или математика.

Именно этим обьясняется совместная подготовка специалистов по механике и математике на одном механико-математическом факультете, а также то, что общематематическая подготовка студентов, специализирующихся по механике, проводится в таком же обьеме, как и студентов-математиков. Как справедливо отметил ректор МГУ В, А. Садовничий, «Сейчас требуется профессионал-математик — матема- тический эрудит, универсал, который хорошо видит не только обширный математический мир, но и мосты, которые наведены или могут быть наведены с другими мирами знаний».

Механика изучает общие закономерности, связывающие движение и взаимодействие тел, находящихся в различных состояниях — твердом, жидком и газообразном. В соответствии с этим ее можно условно разделить на две части: механику абсолютно твердого тела и механику сплошной среды (которая в свою очередь включает в себя механику жидкости и газа и механику деформируемого твердого тела). На отделении механики механико-математического факультета МГУ имеется девять кафедр, на которых широко представлены все направления современной механики: ° кафедра теоретической механики и мехатроники; ° кафедра прикладной механики и управления; ° кафедра аэромеханики и газовой динамики; ° кафедра гидромеханики; ° кафедра газовой и волновой динамики; ° кафедра теории упругости; ° кафедра теории пластичности; ° кафедра механики композитов; ° кафедра вычислительной механики.

1.2 О задачах по механике Слово «механика» происходит от греческого р~таиско~— умелый, изобретательный. Можно поэтому сказать, что меха- ник — умелый, изобретательный математик. Известен шутливый афоризм: «Математик делает то, что можно, и так, как нужно. Механик делает то, что нужно, и так, как можно~. Когда на третьем курсе студенты начинают осваивать ту или иную механическую специализацию и решать соответствующие задачи, они сталкиваются обычно либо с необходимостью получать и затем исследовать те или иные дифференциальные уравнения, либо использовать аппарат теории функций комплексного переменного, либо какие-нибудь другие разделы высшей математики. Однако для того, чтобы получить самое первое представление о механике, можно обойтись и знаниями в объеме школьной программы.

Мы считаем, что очень полезными как для общего развития будущего ученого-механика, так и для его дальнейшей профориеитлции, будет являться решение соответствующих зада ч по механике. Задачи по механике построены таким образом, что элементы творческого мышления необходимо проявить уже на стадии математической формулировки задачи, понять необходимость и достаточность тех или иных приближений. После того, как задача математически сформулирована, ее решение потребует владения всем арсеналом математических знаний, доступных выпускнику школы.

При этом какие-то задачи могут показаться сложными, но решать трудные задачи и получать от этого удовольствие -- наверное, единственный путь развития творческих способностей в точных науках. Рассмотрим, например, совсем простую задачу.

Задача 1. Сделав минимальное количество измерений, определите -- 7 площадь железной пластины четырехугольной формы (см, рисунок) толщиной в 1 мм. «Чистый» математик для определения площади, скорее всего, сделает три измерения: найдет длину одной из диагоналей четырехугольника и длины высот, опущенных на эту диагональ из двух вершин (для этого ему понадобятся циркуль и линейка с делениями). После этого площадь четырехугольника вычисляется как сумма площадей двух треугольников. Математик-прикладник может поступить иначе. Он взвесит (!) пластину — всего одно измерение! После этого„разделив массу пластины на плотность железа 7,8 г~смз, получит ее объем.