Основы теплопередачи Михеев М.А, Михеева И.М., страница 3

2.з. твплопиоводность плоской станки д= — Х вЂ” или й?= — — г[х. Ч пх х (а) Плотность теплового потока 1? при стационарном тепловом режиме постоянна в каждом сечении, поэтому ?= — — х+С. Х (б) Постоянная интегрирования С определяется.

из граничных условий,аименно при х= — 0 ?= ?1= С, а пря х=6 ?= ?2.Подставляя эти значения в уравнение (б), имеем: (в) Из уравнения (в) определяется неизвестное значение плотности теплового потока 1?, а именна: Л "ь ч (?1 ?2) ~~?' 6 о Следовательно, количество теплоты, переданное через единицу поверхности стенки в единицу времени, прямо пропорционально коэффициенту теплопроводности Х и разности температур наружных поверхностей Л? и обратно пропорционально толщине стенки 6. Уравнение (1-2) является расчетной формулой теплопроводности плоской стенки.

Оно связывает между собой четыре величины: 1?, Х, 6 и Лй Зная из них любые три, можно найти четвертую: ?= ч,й?= ~ иб= —. й1' Х (г) Отношение ?.?6 называется тепловой проводимостью стенки, а обратная величина 6?? — термическим сопротивлением. Последнее определяет падение температуры в стенке на единицу плотности теплового потока. 1. Од н о р од н а я с т е н к а. Рассмотрим однородную стенку толщиной 6 (рис. 1-7), коэффициент теплопроводности Х которой постоянен.

На наружных поверхностях стенки поддерживаются постоянные температуры ?1 и 12. Температура изменяется только в направлении оси х. В этом случае температурное поле одномерно, изотермические поверхности плоские и располагаются перпендикулярно оси х. На расстоянии х выделим внутри стенки слой толщиной йх, ограниченный двумя изотермическими поверхностями. На основании закона фурье [уравнение (1-1)] для этого случая можно напи- сатти Если в уравнение (б) подставить найденные значения С и плотности теплового потока д, то получим уравнение температурной кривой (1-3) Последнее показывает, что при постоянном значении коэффициента теплопроводностн температура однородной стенки изменяется по линейному закону.

В действительности же вследствие своей зависимости от температуры коэффициент теплопроводности является переменной величиной. Если это обстоятельство учесть, то получим иные, более сложные расчетные формулы. Для подавляющего большинства материалов зависимость коэффициента теплопроводностн от температуры имеет линейный характер вида Х = Хе (1 + Ы). В этомслучае на основании закона Фурье для плоской стенки имеем: д = — Л (1) — = — ),(1+ И) —. (д) лт Ж ох ох Разделив переменные и произведя интегрирование, получим: дх= — ) а(1+ — )+С. ы ~ (е) Подставляя в уравнение (е) граничные значения переменных, имеем при родная плоская стенка.

ьс', 1 х=О 1=(т и О= — Л, (т+ — ')+С; ы б( Г,и~б= ), (а+ '~+С. 2 (ж) (з) Вычитая из уравнения (з) уравнение (ж), получаем: чб ~о ~(11 ~е)+ ( ! ~2)1 2 (и) откуда Ч Г1+Ь 1(1 Ц) 2, г й+т1 6 ! 2 (1-4) Новая расчетная формула (1-4) несколько сложнее формулы (1-2). Там мы принимали коэффициент теплопроводности постоянным и равным некоторому среднему значению Х . Приравнивая друг другу правые части этих формул, имеем; Л.=Лф+6" +'*1 "+'. 2 1 2 (к) Ч= — А — г )' Х, э Ч = ((э Гв)' Ч = (гз 1з) л Ьз (л) 15 Следовательно, если Х определяется по среднеарифметическому из граничных значений температур стенок, то формулы (1-2) и (1-4) равнозначны.

С учетом зависимости коэффициента теплопроводности Х от температуры уравнение температурной кривой в стенке получается путем решения уравнения (е) относительно г и подстановки значения С из (ж), а именно: (1-5) Следовательно, в этом случае температура стенки изменяется не линейно, а по кривой. При этом если коэффициент Ь положителен, выпуклость кривой направлена вверх, а если Ь отрицателен — вниз (см. рис. 1-10), 2.

Многослойная стенка. Стенки, состоящие из нескольких разнородных слоев, называются многослойными. Именно такими являются, например, стены жилых домов, в которых на основном кирпичном слое с одной стороны имеется внутренняя штукатурка, с другой — внешняя облицовка. Обмуровка печей, котлов и других тепловых устройств также обычно состоит из нескольких слоев. ! Пусть стенка состоит из трех разнородных, но плотно прилегающих друг к другу слоев (рис. 1-8). Толщина первого слоя 6„ второго 6, и третьего 6,. Соответственно коэффициенты теплопроводности слоев Х„Х, и Х,.

Кроме того, известны температуры наружных.поверхностей стенки 1, и 14 . Тепловой контакт между поверхностями предполагается идеальным, температуру в местах контакта мы обозначим через 1, и 1,. При стационарном режиме плотность теплового потока постоянна и для всех слоев одинакова. Поэтому на основании уравнения (1-2) можно написать: Из этих уравнений легко определить температурные напоры в каждом слое: бг 1т — 1з=Ч— Лг бэ гз — ге =Ч Лз (м) бэ гз !э =Ч Лз Сумма температурных напоров в каждом слое составляет полный температурный напор. Складывая левые и правые части системы уравнений (м), получаем: л гч а ! Л, Л, Из соотношения (н) определяем ! значение плотности теплового потока: 'гг ! Ч= 4 . (1-6) бэ 11з — + — +— Л, Л, Лэ зэ с По аналогии с изложенным мож- 0 но сразу написать расчетную форгтг/г! эг/!г 4/лз мулу для и-слойной стенки: 1~~~ б! г=! Так как каждое слагаемое знаменателя в формуле (1-6) представляет собой'термическое сопротивление слоя, то из уравнения (1-7) следует, что общее термическое сопротивление многослойной стенки равно сумме частных термических сопротивлений.

Если значение плотности теплового потока из уравнения (1-6) подставить в уравнение (м), то получим значения неизвестных температур гз и гз! Ь! 1э =1т — Ч вЂ” '; (1-8) Л,' Рис, 1-9. Графический способ определения промежуточных температур гз и гэ ~э ~з Ч ~4+ Ч б, бз л, л Внутри каждого слоя температура изменяется по прямой, но для многослойной стенки в целом она представляет собой ломаную линию (рис. 1-8). Значения неизвестных температур 1, и гэ многослойной стенки можно определить также графически (рис.

1-9). При построении графика по оси абсцисс в любом масштабе, но в порядке расположения слоев, откладываются значения их термических сопротивлений бтй о бз/Лз и бэ/Л„восстанавливаются перпендикуляры. На крайних из них также в произвольном, но одинако- 16 вом масштабе, откладываются значения наружных температур 11 и г4. Полученные точки А и С соединяются прямой. Точки пересечения этой прямой со средними перпендикулярами дают значения искомых температур 12 и 12. При таком построении С,АВС 42г С2АОЕ. Следовательно, — — и 0Е = — А0. ВС АВ лв Подставляя значения отрезков, получаем: 2)Е г1 — г4 6, 6, 6, Л, — + — +— Л2 Л2 Аналогичным образом доказываем, что МА~'=Ч( + ~=41 12. ( 6, 6, Л ~ л, л, 1 Иногда ради сокращения выкладок многослойную стенку рассчитывают как однослойную (однородную) толщиной А.

При этом в расчет вводится так называемый эквивалентный коэффициент теплопроводности Л,„, который определяется из соотношения 2) = ' ' = — '" (( — (4). 6 6, 6, а + + л', л. (о) Отсюда имеем: 1 + 62 + 63 + Л1 Л, Л2 Л, Л, Л, (1-9) Таким образом, эквивалентный коэффициент теплопроводности Л,„зависит только от значений термических сопротивлений и толщины отдельных слоев. При выводе расчетной формулы для многослойной стенки мы предполагали, что слои плотно прилегают друг к другу и благодаря идеальному тепловому контакту соприкасающиеся поверхности разных слоев имеют одну и ту же температуру.

Однако если поверхности шероховаты, тесное соприкосновение невозможно и между слоями образуются воздушные зазоры. Так как теплопроводность воздуха мала [Л = 0,025 Вт/(м 'С)1, то наличие даже очень тонких зазоров может сильно повлиять в сторону уменьшения эквивалентного коэффициента теплопроводности многослойной стенки. Аналогичное влияние оказывает и слой окисла металла. Поэтому при расчете и в особенности при измерении теплопроводности многослойной стенки следует обращать внимание на плотность контакта между слоями.

17 Л= — = ' =0,1 Вт/(м 'С). 100 0,03 Ы 30 Пример 1-3. Определить плотность теплового потока через плоскую шамотную стенку толщиной 6 = 0,5 м и найти действительное распределение температуры, если на наружных поверхностях температуры соответственно 1д = 1000'С, та = 0 С и коэффициент теплопроводности шамота Л = 1,0.(1 -1- + 0,0011) Вт/(м.'С). Сначала вычислим среднюю температуру стенки 1ср. р 61 йг йу й» абм Рис. 1-10. Распределение температур в стенке при переменном и постоянном коэффициентах теплопроводности. 1~+ 1я 1000+ 0 ср =— 2 2 По этой средней температуре 1ср определим среднее значение коэффициента теплопроводности Л Лср —— 1 0 (1+ 0 ООИср) = 1 О (1 + О 001. 500) = 1 5 ВтДм 'С).

Подставляя полученное значение Лср в уравнение (1-2), получаем: — 61= — ' РООО = 3000 В )ата. Лср 1 5 6 0,5 Точно такой же результат получим и при расчете по формуле (1-4). Действительное распределение температуры в стенке определяется по рмуле (1-5). Результаты расчетов приведены в табл. 1-1 и на рис. 1-10. ам же для сравнения приведены результаты расчета по формуле (1-3), когда коэффициент теплопроводности не зависит от температуры.

Таблица 1-1 Распределение температуры 1 в стенке, еС Расчетная формула о,! 0,2 о,з 0,4 о,з 845 800 (1-5) (1. 3) 675 600 480 400 265 200 !000 1000 18 Пример 1-1. Определить потерю теплоты через кирпичную стенку длиной 5 м, высотой 3 м и толщиной 250 мм, если на поверхностях стенки поддерживаются температуры 1т = 20'С и 1з — 30'Я. Коэффициент теплопроводности кирпича Л = 0,6 Втl(м 'С). Согласно уравнению (1-2) Л 0,6 4 — (1т — 1,) — ' (20 — ( — 30)) = 120 Вт/ма 6 0,25 н () = др = 120 15 = 1800 Вт.