Основы теплопередачи Михеев М.А, Михеева И.М., страница 5

Уравнение температурной кривой внутри однородной шаровой стенки выводится из уравнения (в). Подставляя сюда значение Я и С, получаем: — 1 11 (1-23) 2. Тела неправильной формы. Каждая из рас- четных формул (1-2), (1-10) и (1-22) применима лишь для одного 2б Уравнение (1-23) представляет собой уравнение гиперболы.

С учетом же зависимости коэффициента теплопроводцости от температуры Л = Л, (1+ Ы) уравнение температурной кривой принимает следующий вид: — —.ь )/»( †./.ь) — — ( — — — ). н 2ч Пример 1-8. Определить тепловой поток через стенку вращающегося шарообразного нарочного котла, внутренний диаметр которого б, = 1,2 м, а общая толщина стенки котла и слоя изоляции б = 100 мм. Температура внутренней поверхности й = 140'С, внешней — !з = 40'С, эквивалентный коэффициент теплопроводности Л= 0,1 Втl(м 'С).

Согласно условию задачи внешний диаметр котла бз = от + 26 = =- 1,2 + 0,2 = 1,4 м. Тепловой поток определяется по формуле (1-22): пЛЬПйг!з 3,14 О,!.100 1,2 1,4 Ь 0,1 вида геометрически правильного тела — плоского, цилиндрического или шарового. Расчет теплопроводности всех этих тел можно охватить одной формулой, которая имеет следующий вид: Я = — Р„Л/, (1-25) где Р, — расчетная поверхность тела.

В зависимости от геометрической формы тела Р, определяется различно; если Р, — внутренняя и Р, — внешняя поверхности, то: а) для плоской, цилиндрической стенки и шаровой стенки при Ра/Р,~2 Р Р1+ Ра к 2 (г) б) для цилиндрической стенки при Ря/Р,>2 Р Р,— Р, а= 1и— Р, Рд (д) в) для шаровой стенки при Ра/Рг>2 (е) Преимущество формулы (1-25) заключается в том, что по ней можно также приближенно рассчитатьтеплопро- Рнш 1-14. Однородная шаводность ряда тел неправильной геометрической формы, например теплопроводность плоской стенки, у которой Р, + Р„т. е. когда поперечное сечение в направлении теплового потока представляет собой переменную величину, теплопроводность любых цилиндрических сечений, ограниченных плавными кривыми, теплопроводность всяких замкнутых тел, у которых все три линейных размера между собой близки.

В практике часто встречаются случаи, когда объектом расчета является сложное сочетание различных тел, например, бетонное перекрытие с замурованными железными балками, изолированные трубопроводы с открытыми фланцами, барабаны паровых котлов и др. Расчет теплопроводности таких сложных объектов обычно производят раздельно по элементам, мысленно разрезая их плоскостями параллельно и перпендикулярно направлению теплового потока. Однако вследствие различия термических сопротивлений отдельных элементов, а также вследствие различия их формы в местах соединения элементов распределение температур может иметь 26 очень сложный характер, и направление теплового потока может оказаться неожиданным.

Поэтому указанный способ расчета объектов имеет лишь приближенный характер. Более точно расчеты сложных объектов можно провести лишь в том случае, если известно распределение изотерм и линий тока, которое можно определить опытным путем при помощи методов гидро- или электроаналогии. В ряде случаев достаточно точный расчет можно получить путем последовательного интегрирования дифференциального уравнения теплопроводности (см. 5 2-2 и 7-1) для различных элементов сложной конструкции. Однако для таких расчетов необходимо использовать современную вычислительную технику.

Наиболее надежные данные по теплопроводности сложных объектов можно получить только путем непосредственного эксперимента, который проводится или на самом объекте или на его уменьшенной модели. При выводе расчетных формул принималось, что температуры поверхностей тела постоянны. В практических расчетах это условие не всегда удовлетворяется.

В таких случаях поступают следующим образом. Если в отдельных точках поверхности температуры отличаются незначительно, то производят осреднение температур по поверхности, и с этой средней температурой расчет производится, как с постоянной. Осреднение температуры по поверхности осуществляется либо по формуле йр,+7,РЙ+... +7.Р. Р1+ Р2+ + Рл где ЄЄ..., Є— отдельные участки поверхности с постоянной температурой; Т„Т„..., ҄— температуры этих участков, либо путем интегрирования: Т,р — — — ) Тг(Р.

(з) Если же температура по поверхности изменяется резко, то такой приближенный расчет может приводить к заметным погрешностям. В этом случае необходим более сложный расчет, связанный с интегрированием дифференциального уравнения теплопроводности, либо непосредственный эксперимент. 1-$. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ТЕЛ С ВНУТРЕННИМИ ИСТОЧНИКАМИ ТЕПЛОТЫ На практике могут встретиться случаи, когда теплота возникает внутри объема тела за счет внутренних источников, например за счет прохождения электрического тока, химических реакций, ядерного распада и т. п.

Поскольку объемное тепловыделение может быть не только равномерным, но и неравномерным, для таких процессов важным является понятие мощности внутренних источников 7пеплоты. Эта величина, обозначаемая д„, определяет собой количество теплоты, выделяемое единицей объема тела в единицу Е7 времени, она измеряется в Вт/мв. При поглощении теплоты внутри объема тела, например при эндотермической реакции, величина д„ отрицательна; она характеризует интенсивность объемного стока теплоты. Прн наличии внутренних источников (стоков) теплоты основной задачей является расчет температурного поля внутри тела.

1. Теплопроводность плоской стенки. Рассмотрим однородную плоскую стенку толщиной 26, коэффициент теплопроводности Л которой постоянен. Внутри этой стенки имеются равномерно распределенные источники теплоты д„. Выделившаяся теплота через боковые поверхности стенки передается в окружающую среду. Относительно площади стенки в среднем сечении процесс теплопроводности будет протекать симметрично, поэтому именно здесь целесообразно поместить начало координат, а ось х направить перпендикулярно боковым поверхностям (рис. 1-15). Из уравнения теплового баланса следует, что при наличии внутренних источников теплоты плотность теплового потока в плоской стенке линейно возрастает с увеличением х и равна: д„=Ч х.

(а) Из этого уравнения видно, что при х =— = О д = О, а при х = 6 дв = д„б, т. е. достигает своего максимального значения. Согласно закону Фурье д„=д,х= — Л— пт (б) ох Произведя разделение переменных, имеем: й = — — д,х с(х. 1 (в) Рис. 1-15. Теплопроволность плоской стенки при наличии внутренних источников теплоты.

Интегрируя это уравнение, получаем: (г) При х = 6 1 = 1,; в этом случае из уравнения (1-26) следует: йа 6 го — гс = Чо — = Че 2Л 2Л (1-27) Постоянная интегрирования С определяется из граничных условий. При х = О 1 = 1, = С, и уравнение изменения температуры принимает вид: гх= го Чо (1-26) Здесь разность (о — 1, означает перепад температуры между сеРеДиной и внешними повеРхностЯми плоской стенки, а де = длб— плотность теплового потока на этих граничных поверхностях (при х=б).

Если температура 1о неизвестна, то значение постоянной С можно выразить через 1, и уравнение температурной кривой в этом случае принимает вид: (1-28) Приведенные выводы показывакгг, что при наличии равномерно распределенных внутренних источников теплоты распределение температур в плоской стенке носит параболический характер. Наибольшее значение температура имеет в средней плоскости (х = 0). При больших перепадах температуры необходимо учитывать зависимость коэффициента теплопроводности от температуры, Л = = Л, (1 + И). В этом случае уравнение (в) принимает следующий внд: (1+ (гг) ~11 = — — глх г(х. 1 Ло (д) Интегрируя уравнение (д), получаем Рис. 1-16.

Теплопровохность круглого стержня при 2 Ло 2 ( ) наличии внутренник источников теплоты. При х = 0 1 = 1, и С = Ыо!2+ Го. Подставляя значение С 2 в уравнение (е) и решая последнее относительно 1, получаем следующее уравнение температурной кривой (сравни с (1-26)): (1-29) Ь р (, Ь ) Л,Ь Отсюда следует, что при наличии внутренних источников теп- лоты в стержне плотность теплового потока о), изменяется пропор- 29 2. Теплопроводность круглого стержня.

Рассмотрим бесконечно длинный стержень (цилиндр) с радиусом г, (рис. 1-16), коэффициент теплопроводности Х которого постоянен. Внутри этого стержня имеются равномерно распределенные источники теплоты д„. Выделившаяся теплота через внешнюю поверхность стержня передается в окружающую среду. Уравнение теплового баланса для любого цилиндрического элемента внутри стержня. радиуса г и длиной 1 имеет вид: 2Ы(1, = пгЧг),. Значение постоянной интегрирования С определяется из граничных условий.