Основы теплопередачи Михеев М.А, Михеева И.М. (1013622), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Они называются определяющими или критериями подобия. Инвариантность (одинаковость) определяющих чисел подобия является условием, которое должно быть выполнено для получения подобия. Одинаковость же чисел подобия, содержащих и другие величины, не входящие в условия однозначности, получается сама собой как следствие установившегося подобия; эти числа подобия называются определяемыми. Итак, теория подобия позволяет, не интегрируя дифференциальных уравнений, получить из них числа подобия и, используя опытные данные, установить уравнения подобия, которые справедливы для всех подобных между собой процессов. Такие обобщенные зависимости, однако, ограничены условиями подобия, и из них нельзя делать заключения, выходящие за пределы этих ограничений.
Всегда нужно помнить, что общего решения теория подобия не дает: она позволяет лишь обобщить опытные ' В литературе одинаковость численных значений обозначается через гдето, что означает «тот же самый». данные в области, ограниченной условиями подобия. Поэтому ре- зультаты отдельного опыта закономерно распространять только на подобные меисду собой явления и процессы. Рис. 2-8. К анализу подобия вы иужденного изотермического дви жения жидкости в плоских ка валах. Поясним общие положения теории подобия на частном примере нз гидромеханики.
Для этого рассмотрим один из простых случаев стационарного изотермического вынужденного движения жидкости или газа внутри плоского канала. Схема такого движения показана на рис. 2-8. На входе в канал скорость движения постоянна. По мере продвижения среды вдоль канала, вследствие сил вязкого трения частицы жидкости вблизи поверхностей замедляются. В потоке возникает переменное поле скоростей. Приведем анализ подобия таких течений. Для этого рассмотрим два геометрически подобных канала с размерами соответственно 1', 6' и 1", а". Геометрическое подобие систем характеризуется постоянной геометрического подобия: 1 У1' = и" 16' = с . (2.14) Сходственные точки в этих системах определяются координатами х', у' и х", у", которые связаны между собой с помощью постоянной геометрического подобия; х"1х' = у"!у' = с!.
(2.15) Для стационарных течений система дифференциальных уравнений может быть записана в следующем виде'. дшх дшх др Ршх + Ршв = — + дх ду дх + Р ~ х ..) х ) ° (2 18) дхз дуз + —" = О. (2-17) дх ду Уравнение (2-!6) получено из общего уравнения движения Навье — Стокса (приведенного в 5 2-2). При этом отметим следующее. В полном уравнении Навье — Стокса стоит величина у„р — сила тяжести единичного обьема среды. Однако сила тяжести может влиять на картину и характер течения среды только в двух случаях. Во-первых, при наличии пространственной неравномерности распределения плотности среды.
Тогда в системе возникают токи свободной конвекции. Во-вторых (если плотность постоянна), сила тяжести может влиять на картину течения жидкости при наличии в системе свободных поверхностей, т. е. по существу в двухфазных системах. Оба этн случая будут рассмотрены ниже. В вынужденном потоке постоянной плотности без свободных поверхностей масса каждого элемента среды уравновешивается гидростатическим приростом давления р, т. е. переменной в пространстве частью давления, которая существовала бы в системе в состоянии покоя жидности: Яхр = дуст(дх' йур = дуст(ду з Для простоты проекция уравнения движения на ось у здесь не выписана. Для анализа подобия это ие приводит к ограничению общности. 50 в„")в„ = в„)в„ = сай Лр !Л р = сл ', р !р = с р /р = с„ (2-18) во всех сходственных точках каналов. ПостоЯнные поДобиЯ св, сар и т. д.
есть постоянные числа. Между ними существуют определенные соотношения, которые устанавливаются из анализа уравнений процесса. Запишем уравнения (2-!6) и (2-17) для каждого из двух процессов: (а) дх» " ду" дх" дх"' ду»' ) дв» два дх» ду" (б) ~в»,, дв» длр' ! д го» д в» 1 дх' " ду' дх' (г дх'з ду'з ) (в) двх дву (г) дх' ду' Подставим теперь в систему уравнений (а),(б) вместо всех величин с индексом " их значения, выраженные через постоянные подобии и величины с индексом ', используя уравнения (2-15) и (2-18), т. е.
х =- с!х, в„ = с в„ и т. д. Тогда эта система уравнений примет вид'. дв» , , дв„ ! дх' " ду' сд„дЛР + (2-1 9) сг дх ' Так как с — постоянные числа, правила преобразования производных следующие; д~р" д (с,р гр') с р д~р' дх» д (сгх') с! дх' и вообще д»гр сч д»ч д»»» дх» с 51 Поэтому во всех таких случаях сила тяжести полностью выпадает из уравнения движения, если под давлением р понимать разность между полным давлением Р и гидростатическнм приростом давления рот, т.
е. р = = Р— р . Именно эта величина и содержится в уравнении (2-16). Система уравнений (2-16) и (2-17) позволяет установить список существенных для процессов величин. Поскольку давление р входят в уравнение только под знаком производной, то это обозначает, что для процесса имеет значение только перепад давлений, а не абсолютвое его значение.
В качестве перепада для рассматриваемых потоков удобно ввести разность между давлениями на входе рэ и его текущим значением р: Лр=рз Р. Такой прием оказывается удобным также для многих других гидромехаиических задач. Список существенных величин включает скорость вх и ву, перепад давления Лр, плотность р н коэффициент вязкости среды р. Подобие двух течений означает, согласно общему определению, пропорциональность величин (2-20) В ней содерзкатси лишь величины с индексам '. Следовательно, она описывает теперь первый процесс, для которого имеется также система уравне.
ний (в) и (г). Так как для одного процесса не мажет существовать двух разных математических описаний, полученная система уравнений (2-19) и (2.20) должна быть тождественна системе уравнений (в) и (г). Отсюда вытекают условия связи между постоянными подобия. В уравнении неразрывности (2-20) множитель см!с! сокращается, поэтому это уравнение не накладывает никаких ограничений на выбор постоянных подобия. Уравнение движения (2-19) станет тождественным уравнению (в), если все три множителя с с~~гол са„/с! и с с /с! будут равны друг другу и также 2 сократятся. Отметим, что каждый из перечисленных множителей представ. ляет собой постоянную подобия сил, действующих в потоке: инерции, давления и вязкости соответственно.
Поэтому соотношение свс~~!сг с „,'с = с с /сз! (2-21) ивляется условием динамического подобия. Оно означает, что у подобных гидромехаиических течений множители подобного преобразования сил инерции, давления и вязкости численно одинаковы. Приравнивая их попарно друг другу, получим из соотношения (2-2!) два условия: срсмсбсм = 1; (2-22) сд /с с =1. (2-23) Эти соотношения динамического подобия и представляют собой искомые уравнения связи для постоянных подобия полей скорости, давления, плотности и вязкости.
Их можно представить также в другом, более удобном виде, если вместо постоянных подобия подставить их значения из уравнений (2-14) и (2-18) и сгруппировать затем все величины с индексами ' и " соответственно в левой и правой частях равенств. При этом постоянную см удобно выразить через отношение скоростей на входе в каналы: шо/ыо Тогда вместо условий (2-22) и (2.23) получим эквивалентные им соотношении: р шо1 ф == р шо1))г = Ке = !деш (одно и то же); (2-24) Ро Р! Ро Рг = Еи = )деш. (2-25) Ршо Ршо '2 " '2 Полученные числа Рейнольдса Ке и Эйлера Ен для всех подобных гидромеханических течений сохраняют одна и то же численное значение.
Таким образом, для рассматриваемого примера доказана первая теорема подобия: подобные процессы имеют одинаковые числа подобия. Теперь рассмотрим случай, когда в канале, помеченном индексом ' (рис. 2-8), на входе задана иная скорость ш т, отличная от прежнего значения шо В потоке установится иное распределение скоростей. Вследствие изменения условий и полный перепад давлений ЛР! окажется отличным от прежнего Ьр'. Это новое движение уже не подобно прежнему. Ему будет соответствовать своя группа подобных течений. Лля них весь ход предыдущих рассуждений может быть полностью повторен.
В итоге окажется, что 52 для новой группы течений условия инвариантности чисел подобия (2-24) и (2-25) примут внд; йе, = гбеш и Енг гбеш. Отличие состоит в том, что теперь оба числа подобия имеют иные численные значения. Вновь изменяя скорость ш м получаем новый перепад Арэ и новые значения йеэ и Енэ для этой новой группы подобных течений.
Отсюда следует, что частная зависимость между переменными юе и Лр 'р(шо ар) =О может быть представлена в виде связи ) (йе, Ец) = О. (2-26) Такое уравнение называется у р а в н е н н е м п о д о б и я. Возможность представления зависимости между переменными в виде зависимости между числами подобия устанавливается второй теоремой подобия. В рассмотренных выше случаях задавалась скорость течения жидкости на входе, тогда как перепад давлений определялся самим протеканием явления, или, иначе говоря, оказывался функцией процесса. При задании скорости для реализации однозначного протекания процесса движений число Рейнольдса йе оказывается составленным целиком из величин, входящих в условия однозначности. Поэтому оно является определяющим числом подобия (критерием подобия). Напротив, число Эйлера Ен, включающее в себя перепад давлений, оказывается определяемым.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
