Основы теплопередачи Михеев М.А, Михеева И.М. (1013622), страница 8
Текст из файла (страница 8)
На основании понятий о полной производной можно записать: ды де дгр дх де ду д~р дг дт дт дх дт ду дт дг дт где дх1дт, дуЯт и дгЯт имеют смысл составляющих скорости ю», юэ и ю». Такую производную, связанную с движущейся материей или субстанцией называют субстанциональной производной и обозначают особым символом: Ргр дгр дгр дгр ды +ю» +юэ +юг дт дт дх ду дг где дат представляет собой локальное, а де дгр, д~р ю» — +юг +юг— дх ду дг — конвективпое изменение величины ~р. 40 После сокращения на ггх, г(у, йг, с(т и перенесения в правую часть срр уравнение принимает такой вид: В таком виде уравнение применяется при изучении процесса теплопроводности в движущихся жидкостях. В применении к твердым телам уравнение (2-5а) принимает следующий вид: д~ г дм дм дм т — =а~ — + — + — ) (2-6) дт (, дха дув даэ ) 2. У р а в н е н и е д в и ж е н и я.
В уравнении (2-5а) наряду с температурой г имеются еще три переменные: тэ„, тая и ю,. Это говорит о том, что в движущейся жидкости температурное поле зависит еще и от распределения скоростей. Последнее описывается дифференциальным уравнением движения, вывод которого основан на втором законе Ньютона: сила равна массе, умноженной на ускорение. Рис. 2-4. К выводу дифференциального уравнения движения жидкости. Рис. 2-5. Сила трения, действующая на элемент движущейся жидкости. Выделим в потоке движущейся жидкости элементарный параллелепипед с ребрами с(х, гту и с(г.
На выделенный элемент действуют три силы: сила тяжести, равнодействующая сил давления и равнодействующая сил трения. Найдем проекции этих сил на ось х (направление осей см. на рис. 2-4). а) Сила тяжести приложена в центре тяжести элемента объемом с(о. Ее проекция на ось х равна произведению проекции ускорения свободного падения д„на массу элемента рг(о, а именно: д,осЬ=д ос(хггуггг. (в) б) Равнодействующая сил давления определяется на основе следующих соображений.
Если на верхней грани элемента давление жидкости равно р, то на площадку с(у с(г действует сила рггу Иг. На нижней, грани давление жидкости равно р+ — Их, и на эту др дх 41 грань действует сила — (р + — Ых)дую. Здесь знак минус укадр дк зывает на то, что эта сила действует против направления оси х. Равнодействующая этих сил равна их алгебраической сумме: рг(уйг — (р + — Нх) Йуй= — — Йхйуйг.
др т др (г) дх ) ' дх в) При движении реальной жидкости всегда возникает сила трения. Выражение для этой силы проще всего может бытьустановлено из рассмотрения плоского ламинарного потока, в котором скорость ш„изменяется лишь в направлении оси у. В этом случае сила трения возникает только на боковых гранях элемента (рис. 2-5). Около левой грани скорость движения частиц меньше, чем в самом элементе, поэтому здесь в сечении у сила трения направлена против движения и равна — з ох г(г. Около правой грани элемента, наоборот, скорость движения частиц жидкости больше, чем в самом элементе, поэтому здесь в сечении у + йу сила трения надя правлена в сторону движения и равна (з+ — ду)дхдг. ду Равнодействующая этих сил равна их алгебраической сумме: з+ — ду) йхг(г — зг(хйг = — Ихйуг(г, ( дз дэ ду ду — Ыо=р — "гЬ.
дух ду ду~ Однако такое сравнительно простое выражение получается лишь для одномерного движения. В общем же случае, когда в„изменяется по всем трем направлениям, проекция равнодействующих сил трения на ось х определяется следующим выражением: Г двв дав„дйв 1 р ( — '+ — "+ — '1 Йи = рту'гр„йо. (, дхг дуг дг1 ) (д) Суммируя теперь выражения (в), (г) и (д), получаем проекцию на ось х равнодействующей всех сил, приложенных к объему до: (е) где з — касательная сила трения на единицу поверхности; согласно закону Ньютона э=р — ". ду Подставляя это значение в предыдущее уравнение и принимая р = сопз(, окончательно получаем: Согласно второму закону механики эта равнодействующая равна произведению массы элемента р г(о на его ускорение Ри„!т(т*: р с(о=р( — +нг,— +вг — +в,— ~сЬ.
(ж) 0»а» / д»ах дм„д~ах д(ах ~ дт (, дт дх "ду дг ) Приравнивая друг другу уравнения (е) и (ж) и производя сокращение на йо, окончательно имеем: дмх ! Мох дм» дм» ' р — -гр ш,— +а~у — ггэ, дт (, дх " ду дг (2-7) Все члены этого уравнения имеют размерность силы, отнесенной к единице объема (Н/ма).
Таким же образом могут быть получены уравнения и для проекций равнодействующих сил на оси у и г, а именно: р — + р ( гэ„— + гу„— + гэ, — ~ =- дмг ! дку дмг дн»г ~ дт (, дх " ду дг ) (2-7а) да»» ~ дм» д»а» д~д» ~ р — » + р ( гв, — + гэ„— + гэ, — = дт (, дх " ду ' дг (2-7б) Уравнение (2-7) и есть дифференциальное уравнение движения несжимаемой вязкой жидкости — уравнение Навье — Стокса. Это уравнение справедливо как для ламинарного, так и для турбулентного движения. 3.
Уравнение сплошности. Так как в уравнении движения появилась новая неизвестная — давление р, то число неизвестных в уравнениях (2-5) и (2-7) больше числа уравнений, т. е. система оказалась незамкнутой. Чтобы получить замкнутую систему, необходимо к имеющимся уравнениям присоединить еще одно — уравнение сплошности, которое выводится на основе закона сохранения массы. Выделим в потоке движущейся жидкости элементарный параллелепипед со сторонами с(х, с(у и с(г и подсчитаем массу жидкости, протекающей через него за время с(т (рис. 2-6).
В направлении осн х через грань АВСР втекает масса жидкости М, = рнг„г(у г(г с(т. " См. сноску на стр. 40. 43 Через противоположную грань ЕЕОН вытекает масса М„": М„= ~рв + ~Р~"~ г(х1 г(у г(гг(т, дх Вычитая второе равенство из первого, получаем излишек массы жидкости, вытекающей из объема в направлении оси х, а именно: г(М„= ̄— М„= — (рв„) г(хе(ус(г г(т.
дх Аналогичным образом для направлений по осям у и г имеем; и с(М„= — (рв, ) г(хе(у г(г Я; д с(М, = — (рв,) с(х г(у г(г г(т. д дг' У Полный избыток массы вытекающей жидкости равен сумме этих выражений: ИМ = ~ — (рв.)+ — (рв,)+ Гд д ~дх ду -(- — (рв,)1 с(о г(т. д дг Рис. 2-6. К выводу дифференциального уравнении оплошности. Этот избыток обусловливается уменьшением плотности жидкости в объеме г(о и равен изменению массы данного объема во времени. Следовательно, — (р )+ — ( в,)+ — (Р .)~ "и"'= — — "о'(' д д д 1 др дх ду " дг ~ дт Произведя сокращение и перенеся все члены в левую часть этого равенства, окончательно получим: дР д (Рмх) + д (Риг) д (Ри'г) () (2-8) дт дх др дг дгвх дгвг даава — + — + — =о.
дх ду ' дг (2-9) 4. К р а е в ы е у с л о в и я. Система дифференциальных уравнений для процессов конвективного теплообмена охватывает 44 Это и есть дифференциальное уравнение сплошности или непрерывности в самом общем виде. Для несжимаемых жидкостей плотность постоянна. В этом случае уравнение (2-8) принимает более простой вид: бесчисленное множество процессов теплоотдачи, которые описываются этими уравнениями, но вместе с тем каждый из них отличается от других некоторыми частностями. Чтобы ограничить задачу, из бесчисленного множества выделить рассматринаемый процесс и определить его однозначно, т. е.
дать полное математическое описание, к системе дифференциальных уравнений необходимо присоединить математическое описание всех частных особенностей, которые называются условиями однозначности или краевыми условиями. Условия однозначности состоят из: геометрических условий, характеризующих форму и размеры системы, в которой протекает процесс; физических условий, характеризующих физические свойства среды и тела; граничных условий, характеризующих особенности протекания процесса на границах тела; временных условий, характеризующих особенности протекания процесса во времени.
Когда условия однозначности для какого-либо конкретного случая заданы, то они вместе с системой дифференциальных уравнений составляют м а т е м а т и ч е с к о е о п и с а н и е данного процесса. Тем самым после решения системы уравнений можно получить полное описание процесса во всех деталях: поля температур, скоростей, давлений и т. д.
Для технических расчетов обычно основной интерес представляет коэффициент теплоотдачи, который определяется по уравнению (2-1). При известном поле температур определение коэффициента теплоотдачи основывается на следующих положениях. Поток теплоты, передаваемый от жидкости к стенке, проходит через слой жидкости, прилегающей к поверхности, путем теплопроводностн и может быть определен по закону Фурье: С другой стороны для этого же элемента поверхности закон Ньютона — Рихмана записывается в виде сИ'> = и (~, — ( ) йР. Приравнивая правые части эгих уравнений, получаем: а = — ( — ) (2-10) Это уравнение, позволяющее по известному полю температур в жидкости определить коэффициент теплоотдачи, называется уравнением теалоотдачи. Условия однозначности могут быть заданы в виде числовых значений, в виде функциональных зависимостей или в табличной форме.
Пусть, например, рассматривается случай теплоотдачи при движе- 45 нии жидкости в трубе. В этом случае могут быть заданы такие условия однозначности: 1. Труба гладкая, круглая; внутренний диаметр трубы д и длина 1. 2. Рабочим телом, т. е. теплоносителем, является вода, которая несжимаема, ее физические свойства равны; Х (1), с (1), р (1) и р (1). Если же зависимостью физических свойств от температуры можно пренебречь, тогда они задаются просто в виде числовых значений Х, ср, ц и р. 3. Температура жидкости на входе равна 1, а на поверхности трубы 1,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
