Учебное пособие - Методы и алгоритмы нормализации ДУ, страница 9

Предполегается, что постоянная матрица имеет линь чисто мнимые собственные знвчения Л = " с'м о; >О. ' ) . > >>=,, ..., которым отвечают простые злементарныс делители. Ив $1.4 следует, что о поменяю неособенного линейного преобраэованва » =В»+В», (3.2.2) где В= 1~ 5 |)р ~и р х =(»~,...,хи),В а В комплексно соприяэы ~у' 2ж~и ~ нне матрацы; » я» - кокплексно-соприаеннме пораненные, система (3.2.1) прмводвтся и ваду х=Л»тХ ~(к, х)~..., х=Лх+У' (х, Х)+". (3.2.3) ' г Сл„",А„).

)(эи получении норнаиьной фо1эвв уравнений (3 2.3) (16~ необходимо найти такое нелкнейное норналиэуюнее преобраэованве х=гл+ ~ ~™ ™)+ -. + м (ээ т2)+" (3.2.4) х= п+ и'2)(ээ, ч)+... + -и'~~(и., о)+ которое приводит (3.2.3) к ваду Хм+С (2х ч)~ "+ (~ (2х 'о)+" (3.2.5) т) лют гсо(ээ,ч2)+...~ й~ ~(ы, о) ь... При этом в формах Г (и, и ) будут прясутствовать лмаь резонансные членм вида и,'...

и „'" и~"... о„', для которых соответствуюпие показатели удовяетворянг условию ( 7' 1,..., и ) ~ 'и„(м. -~.,-Ю. )=О, '=-'К7 (3 2.6) Ы~ Здесь и=(ии...,и„)~ а=(~„„.,ъ„)'- вектор-столбцы новых переменных; м (и,ч), о '"и(и,чВ, о ' ~си, ы) - вектор-столбцы коюлекско-сопряяенных однородесс форм переменных и, и стенени ~и . Согласно теореме Зримо А.)(. '(П] формальное обратимое цреобраэоввняе (3,2.4) супествует, а для его нахопдэняв необходимо реветь слеЛузние токдества для каэдого ~и: ии г~ (и+... -и~ '~ ц~...+ч' о)+...~я.

(и,ч)- сэ ~~ Ы~~ й~ ~ ии;й( -В( где и =.~ „В.ир..и~" о".... об~" С и> кис~',Фг т,7 7 м 7 и «~) ~р,«ь А и '...и' ч '.. ч ю )+(~ В=гп (;, " ~1 )~(") ~~,1=2",» ~~ У~= 50 В правой части (3.2.7) оставлены только члены, которые имеют порядок»в относмтельно и., и . Предполагается тапке, что формы м»"'~(и, и ), Е1~~~(и,ю ) определены дэя всех,«<»~ ( . - фиксированное целое), так что правая часть (3.2.7) является яэвестной формой» -го порядка, коэффициенты которой буден обозначать символом .7.'"'. Чтобы реаить (3.2.7) относительно немзвестнмх форм и'.

' и г.' ', необходимо цриравнягь в (3.2.7) коэффициенты прн одинаковых степана~. В результате получим основное гокдество для определеыая А' ~и В~": '."" ~'." Е ', ~ . —, . -К )=~!"'. (3.2.В) Если найдутся е и,; такие, что сумма, стоялая в левой часта (3.2.8), обрмыются з нуль, то монне полонить А'."' я'."; при у у этом коэффициент ~'."'остается щюизвольаю и монет быть выбрав равнюа пула.

В противном случае воэффициент А'."' мозно цриравнять пула (в этом п состоит основяая цаэь процедтрй нормализации- максимально утцюстить правув часть уравнений (3.2.3)), а ~в"'определится яэ соотноиения (3.2.9) *=» ~,! Иля определения структуры резонансных членов в формах и ' „ Е7 необходюю найти полное ремеаае уравнения (3.2.б), которое в дальнейпем будем называть резонанснэм. Если среди собствемних значений 2., / 1,..., м сУвестзует один резонанс нечетного порядка, то ременме (3.2.6) в наиболее обмен виве получено )(уынмапм а.И. ) 19).

В случае сунествовапая зе мнутренних реэонаноов вида ( Р = 1,...,вс ) ~р~ Л.=0, ~)р~ ~~~ >2 о~ ~>(~ для /=1,,ге сю (3 2,10) нормальная фо1мв уравнений (3.2.5) принимает энд Уу и =»'ю.а»иу,5, „>,' А. 11 (и э )» %> е=~ ~»~'« г'*' е~ н ьч (П»»»'А(3Т о )~ А. П(и о ) т..., /= У,, »~ь ~И сИ <и (»») =>Л(и ~ ..» )=р-е)»/; с =»»»а»: - целые числа» "»,г 1А " ("»'„= Ь- ~д 51 ;~=Э г)» ~=, -~ +~„~ ~~, (П о„" )(П ~„~ ) ~,' Л. П('и о ) ' +... фю ю Ы%7:-, Ю Невюмисанные члены имаме порядок зюее, чем ю . Оонсвные этапы получения нормальной формы (3.2.1) прелптаз- ляат собой схему алгоритма но(зюэлиэации в обив чертах. Она сво- дихаоь к вюзюолпемкм чзтюйюах операцнйю 1) конплекснаа линейная земана перемеюипию» — », » по формулам (3.2.2); 2) подстанов- ка нелаыейного яормплкэуюяюего преобразоваввя», »- юю, тю; 3) ранение реэонапсного ураиненвя (3.2.6); 4) репнине алгебра- ического урввнепия (3.2.8) .

В заклпчение этого параграфа вкратце остановимся на построе- нии нормалвэупнего преобрвзозанмя и накоплении коэффициентов нор- мвлъной формы автономной сястемы обыкновенных дююфференюиюальнмх уравнений вознуненного дзииения з критическом случае двух пар чисто мюнымх и олного нулевого корня, которнй встречается при всследованяи устойчивости стациона)хмюх дзикений неголономнмх систем типа систем Чаплыгина С.А. )18). Пусть дана система азтоноююыюх обнкновеяных дифференциальных уравнеяяй с голомоу$юпюни празыни частямн, представимых в вине рядов. Предполагается, чюо матрица первого приблвкения имеет две па(ию чиото мнимых кермек ы одия нулевой корень, а уравнения зоэ- юбязенного двипемкя имеют след)мююуа структуру: х =Ря+Х (я,у)ю...; у = у ~(х,у) ~...

со и~ (3.2.12) х,Х' 'кВ", у,ь (™'ид', . =аз, С помоцьп неособенного линейного преобразования я =В» ~ВК, (3.2.13) овойства которого описаны в ) 3, 15), систему (3.2.12) мино при- вести к иорданозой форме, иыевпей простые злементарюае делители. В формуле (3.2.13) В=))Бю.)) , », х я С ', В и .Р - ко зюлея- сно-сопряиенные пряююоугольнме матрицы, » и » — комплексно- сопряиениые переменные. В новых переменяюию » и » уравнения (3.2.12) принимант вкд ю~> — . . .

(3.2.14) » =л» ~ х ( х, х, у) +..., л = ы ю с~ ( с'с >), ю и~ ), у = ) "'(х, », у)ю . (3.2.17) Здесь уравнения для ко~я«законе-сопрякеннмк переменим* не в~~иоанн. Эадача нормазиэации уравнений (3.2.14) рмэается такае на оскованкн теоремы Брвно э.д. [11). В результате анало- гичнык выкладок, проведеннык в~юе для случая ж пар чисто ювюаи корнев, пацучаатся следумэяе татдества дкя опредакения коэф(мцн- ентов А';"'ы В": э А +Ю ~ бю«(» « — «-Е.«) =Ю~, у т 2 (3.2.15) «=~ г А'".

В,'" К 1~~„(-»,-~,„) =Л". (3.2.18) А-, Этк уравнения ренантся следующим образом. Если сумма при З ~' = 1,2,5 обрекается в нуль, то В = О, А Ю .'. В протйвном ( 1 г о» / ~,, =~.,' -' «('~« ~~«-Цй «» (3.2.18) г х , . х, х« Приведем простой алгоритм вычисления мвтрицм лянейного пре- образования я обратнок ей матрицы для систем общего вила в к)ы- тическом случае а пар чисто мнимык корней, историю соответству- ют простые элементарные делители [5~. Мскно показать, что с учетом специфики рассматриваемого вритмческого случая линейное преобразование (зообще, комплексное) х- к, к , прязодянее линейнув честь уравнений возмущенного дви- иения к диагональнов кардановов форме, имеет вид « =вк +як, где б' и В - виалексно-сопрякенные прямоугольные матрицы раз- мером г ~ с . )(эя определения ~ -го столбца 1) матрацы В, ,т' ~ б ~, (' — поле коюятлексннк чисел, ГДЕ ~~ Ю и А'~с - ВвщоотЗЕННЫЕ ВЕКТОРЫ, ПаКУЧИМ СЛЕДУМЭИЕ УРаз- нения: А~ +.Р м =-О, АЮ; -б.м; = С (,/ =- 7, ...,и.), (3.2.19) А - матрица первого приблккения, м - собственные частоты.

.l Иэ (3.2.19) следует, что искомый вектор б. определяется иэ уравнения (А «м . Е) б. = 0 (' у' = 1, ..., а ), У которое обязательно имеет равенне, так как основной определитазь (А ~<, Е~ = (А — Зм ° Е( (А~~М;Е)=0. После нехоидения вектора ы вектор .~ опредеимгся по фора(уие у=- — 'Аб~. (.,1=1,...,~). Лкя поиучения квнонической формы уравнений возмущенного двииення необходимо тикке вычислить мвтрипу обратного преобразования (~4 ..(~ х, х- х, которая опять ие в силу специфики рвссметриввемого ~l крмтического сэучвя обиедвет свойством Й1, . = 1ъз ( А = 1,, ю; ~' = 1,..., Яю), ознвчеищнм, что эхементы посиеднях х строк явиявтся сопрякенными с зкементвмн первых и строк.

1 ПОИОКИМ ЙЛ .= — ~'Ь. т — 1ОЬ (Х = 1,...,х; )'=1,...,Л ю) ' / Л 1 Л 1 1'и ''' /ох ез '' ав сК Х» 7лт (зм, у Кап,х зх,~ ' ' зи,ж Тогда дия вмчисхения зиементов обратной матрицы преобреэовенмк достаточно вмчисянть мвтрнцу Б ', поскскьву спрвведдяво соотнопение, =В Кратно оотановямоя на методе нор«алнзамнн сястем общего виде, который основан не гямихьтонизвции системы урввненнй, осуществляемой путем введения сопрякенных переменных. Метод использует алгоритм, пряведенный в т 1.2. Рвссмотрим ввтономнув снстещу уравнений возмущенного двииеняя ,х=('(х), х,)'(х)е)т,, )(х)=Д, у (х), )' (х)= ~ А х , (3.2.20) ~=о (к~=т где )'(х) представляет собойгохоморфнув вектор-функцию переменных х .

Есян ввести сопрякенные переыенные у е л" я тем самым рвскирить фвзовое пространство, то поведение ренений исходной системы уравнений моино изучить с помсщьв функции Гвмивьтонв Н(х,у)='Я н,(х,у), 11 =~;у д (х)=~„' ~~Л у„~х" (3.2.21) При етом системе уревненкй Гвмияьтоив принимает вид х (3.2.22) здесь первое уревненке совпвдвет с (3.2.20) и не эевисит от у . Таким образом, задача приведения системы (3.2.20) к Нормальной форе мокет быть сведена к нормаиизации функцки Гамииьтона Н ( х, у ). Используя результаты $1.2, мокно показать, что ддя нахоядения нового гамихьтониана К(х,) ) в виде ЯХ ) Н (у) и генератора Ли Ю(х,) .) в виде Е Й ) б (х) необходию рещить операторное уравнение (1.2.1з), юторое мозно записать сяадуищим образом: 77 ~7 =К -б~, ~~ Ъ~ 7, (3.2.23) где 7=1 и! ~п-! 7=2 ' Ы~=~ (обозначения см. в $1.2).

Учитывая структуру Н, Н и 5, мокко показать, что функции Ы представимы в той ке форме: ы (х,)') = к ) у (х). П1мравнивая в (3.2.23) члены с одинаковыми показателями, получаем ~'~К ~7 (7) ~ "— '-" — х ф~ ~ —,' х7 (л7~.) =~7 (3.2.24) 7=У,В=~ В силу произвола в выборе переменных ) равенства (3.2.24) сводятся к известным соотноменизм вида (3.1.41); следовательно, рассютренный метод нормализации эквивалентен описанному з гя. 3. Г л а в а 4. АЛГОРИГ)й И ВЫЧЖ))ИГЕЛЬВЫЕ ПРОГРАМ)А( НОРМАИИ ЗАПИВ $4.1. Опе с о иномамм ))яя того чтобы реахизовать на ЗВМ методы нормализации систем обыкновенных дифференциальных уравнений с аналитическими в окрестности нуля правыми частями, необходимо написать стандартные вычислительные прогревам, осуществляющие слазумкие операции с покиномами: 1) нахоидение суюеы, произведения, частных производных, скобок Пуассона и т.д.

для однородных пслиномов) 2) линейная замена переменных (в общем случае - юмплексная) в однородном полиноме; 3) подстановка в поливом нелинейного преобразования переменных (при классическом методе нормахизации). Изловим основные принципы построения вычислительных программ работы с однсроднюае полиномами и приведем соответствувщие алгоритмы, реализованные в виде подпрограмм на языке гоятяя77 Прение всего, составитель прогрею работы с полиномемм выбирает способ предстввлеииа полиномв в памяти ЭВМ, Рассмотрен однородннй поливом степени ~ от и переменных: (4.1.1) ) ''' г Число его членов ревью числу различных целых неотрицательных ре- иений уравнвняя ~', +...+ г.'; а относительно показателей сте- пеней соответствующих одночленов (см. (1.3.6) ): Под полиномом степени будам понимать с)пеу однородмых паэиномов (4.1.1) степеней от 1 до ~ю вилвчительно: Г =~" Р (4.1.2) сФ жи Отметмм, что в силу специфики реэаеиых при нормализации задач члены нулевой степени з (4.1.2) отсутствует.