Учебное пособие - Методы и алгоритмы нормализации ДУ, страница 12

))Ля полнномов в декартовых переменных (т.е. лля циклических перестановок индексов и;, ( в записи (1.1.8) используется матрпца перестановок !М2 113232 232113 321321 446565 565446 654654 (4.3.1) а для полиномов в полярных переманных (т.е. для цикличесиих перестановок индексов м в записи (1.5,3)-(1.5.4) - матрица ьч~, составленная из первых трех строк матрицм (4.3.1).

В (4.3.1) пер- вый столбец соответствует естественной нумерация переменных о,, с,, оэ, о,, о,, з,, а, например, иестой столбец отвечает такому Й ' ~уз ° тг ° Ох ° рз ° р, . Тогда соответствухя)ая строка матрицы новых (здесь иестая строка) номеров аз, получен- ной в результате работы подцрограэзгы (еоЕ, и будет означать запись одночленов в многочлене (1.1.8) в нукном порядке суммиро- вания, Заметим, что из всех подпрограмм первого и второго уровней пользователь комплекса долиен обратиться нуяное число раз линь р у*:~~~~73 ' д2я Второй уровень комплекса состоит из вспомогательных под- программ, необходимых для формирования промеауточных переменных и массивов, В подпрограмме Яс в дД ренин работы задается управлякыим числом п . При э = Ф на входе задается резонансный вектор и ялг , соответствувший резонансу третьего порядка, и в массиве ягх после окончания работы подпрогрзюаю яомещаштся резонансные коэффициенты Аь ь д , дз Ь Ь , при таком ренине подпрограмма принадлежит к числу програым верхнего уровня (см.

нике). При 15 = 1 на входе задается неег (~) = яэгг(г)- зтэг(э) = ф и в подпрограмме формируются все массивы вида (1.5.5)-(1.5.7), обозначенные в теле подпрограммы через эЗ, ВЗ, а такке массивы делителей первого (ю ) и третьего ( Л~З ) порядков а„ „ из (1.5.22), эахаваемые табличным способом.

В подпрограммах-функциях ~вя,'(эе'), [оЯ формируются вели- чины э!',"'„"'„"; зг г ь,„иэ (1.5.22) и дополнительные ыно- хители коэффициентов нормальной формы, необхолимые только для подпрограммы )аког-) верхнего уровня. В подпрограымах-функцнях ЯЯ, ~ б~Р, ~ф ~, [бб ] формидуштся оставшиеся величины (1.5.22) и о з „ лля резонансов первого г З и третьего порядков соответственно.

Они, а такие подпрограммы- функции ~~Я~и [Я, позволявшие осуществить циклическую замену пеРеменных в фоРивх К и Кь . необхоДимы только в Резонансных случаях. четнре подпрограин верхнего уровня комплекса испольэувтся непосредственно пользователем и вызывеются из головной упраэляпией программы. Подпрограмма Яог] (с, ее, ре) формирует вектор коэффициентов ее д (сн.

(1.5.16)-(1.5.21)) нормализованной функции Гамильтона и помещает вго в массив С . Ренин представления результата задается уцравлявщин числом тг, При ее 1 значения с; в вмчислявтся полностью и именно они находятся в массиве с . При )'е = ф , чтобы ибеиать малых знаменателей при двльнейнвй возмоиной работе с коэффициентами се е в массиве с помещаштся приведенные к общаге знаменатели числители величин се ь , а в .ы располокен их общий знаменатель. Подпрограммы '(кеЯ (кяег, кег) или )кегчк (алкея,кех) по задаваемому резонансному вектору экеус вычисляют резонансные коэфйнцивнты четвертого порядка или второго порядка в случае простых злементарнмх делителей (см. $1.5), Результат находится В массиве кех Полцрс рампа (КЕ2 ИН~ ( ККЕ2, КЕХ ) вмчнсляет коэффициент л нормальной формы (см, (1.5.45)-(1.5.46)) при заданном резонансным вектором яка-я резонансе второго порядка с непростьии злементврнныи делителяни и помещает его в кее ))ля зкономии памяти и для передачи дополнительной инфориации при работе программ в управляющей программе используется помеченный блок сомман /к)б~...

Работа управляющей програнмы, которая составляется пользователеы комплекса, начинается с форыировання подпрограммой ~~~и~~тР~ упаковочнмх матриц МИЗ и МИ6 полиномов до четвертого порядка включительно, зависящих от трех и шести переменных соответственно. Затем,задаются ыатрицы перестановок . а~, . ке (см.

(4.3.1)) и с помощью подпрограммы Яом) вычисляется матрицы ку,..., ке новых номеров коэффициентов полиномоз соответствующих порядков. ))злее должен располагаться блок, составленный самим пользователем. В нен необходимо задать вектор частот системы массивы коэффициентов исходных (до линейной нормализации) (срм 66 нз~ и нм, а такие матрицу яй размерности бхб линейного нормализукщего преобразованмя. Затем с помощьв подпрограммы лмнейной замены (см. $4.1) находятся массивы коэффициентов форм третьего н и четвертого Нь ЛОРЯККСВ ПОСЛЕ ЛИНЕИНОй НОРМВЛИэаЦИИ. Наконец, задается рвкям норыахизации компкекса, т.е.

по мере надобности вызываются подпрограммы верхнего уровня. Более подробное описание работы коюлекса содеркктсп в [51; там кз приведены полные тексты подпрограмм. 'Теперь кратко опипем сяециакьный коюлекс программ нормализации гамильтоновых систем с двумя ствпенямк свободы. Зтот комплекс в основном повторяет структуру предмэущего коюлекса, но никак не испояьэует подпрограммы работы с пояиномами из э 4.1. Это стало эозмокеи благодаря формулам (1.5.53)- (1.5.50), позволяющим произвести явно кинейцуп замену переменных в формах третьего и четвертого порядков функции Гаыкиьтона, т.е. записать их коэффициенты чеРеэ коэффициенты исходных фоРм нз, нь и через матрицу и линейного нормэлиэукщего преобразования.

Поэтому основой никнего иерархичесюго уровня иоюкекса стала вюываемая иэ головной программы подпрограмма ~ДЯ . Зта подпрограмма не имеет формальных параметров. Перед обращением к ней в головной программе (составляется польэоватекем коюлексв) долкны быть вычислены элементы массивов нэ! (размерности 20), н' ~ (размерности 35) и матрицы ле (рвзмернооти 4х4), юторме ивлпптса вектоРами коэффициентов исходных фоРм нз, нь и мптРицей л линейной нормалиэупщей замены. В подпрограмму Яп~~ эти величины попадают с помощьв помеченного общего блока соммон/ю/...

Выходню параметры передаются в головнуп программу нэ подпрограммы Я:Я) таким ке образом. Выходнюк параютрами подцрограааю )лЯ яэияптся массивы нз и нэ — векторы коэффициентов форм н~' и н~' после линейной нормакизации. Иэ подпрограммы ЯЯ вызываются зспомогательяые подцрсграммыфункции ~г.ыао5, ~~-=лоо1, (г то', и ~г ~оаЯ ~сз~оо~, ~~лгоо~ ~~ э~~~о которые по заданным внутри ~л Глав формахьньв параметрам г, У, П вычисляют з соответствии с фориулаю (1.5.53)-(1.5.59) коэффициенты при соответствующих одночленах з формах третьего и четвертого порядков (коэффициент (1.5.б0) вычисляется непосредственна з теле ~,тЦ ).

В целях упрощения этих подпрограмм состввхены б7 16 рабочих-подпрограмм-фб(нкцнй [(Сз)~,..., [к Я и ЯД ..., [РЯГз] Полпрогрвапл следующих двух уровней комплекса [кйвяЦ, (лв ),[сяД, (зг ~ и Я ~5 р )яг.е',Я), )те2 эР~, ГРеъ чм~ выполннвт те ие функции й имеют аналогичные обращения, что и соответствувщие подпрограммы описанного вмве комплекса для систем с тремя степенями свободм. Разумеется, само наполнение этих программ иное и реавизует формулы т 1.5 с учетом "свертки индексов" (1.5.47). Кроме того> к верхнему уровню комплекса относится подпрограм~К~Я~~ (ПГС, А, ЛЗ, ЛЬ), в которой для резонанса первого порядка вычисляются коэффициенты нормальной формы (1.5.48). Входные параметры: я~с (~) = Б,, юу (з = Б - знаки членов в Н,, определенные в результате линейной нормализации (см.

И.4.16)); Х = 1 или 2 — номер нулевой частоты. Остальная входная информация передается через блок. Выходные параметры: АЗ = а,з (или а, о ), А4» а~ „(илиа ) чо - коэффициенты (1.5.51)-(1.5.52) нормальной формы. Полные тексты программ комплекса приведены в (4). Тестом для всех описанных в т 4.2 и 4.3 комплексов программ норыализацди поскулила задача об устойчивости лагранжевых решений круговой ограниченной задачи трех тел, решенная ранее другими вычислительными методами и аигоритмами (2]. Отметим, что эти комплексы уке послукили инструментом резания ряда новых актуальных задач небесной и теоретической механики. т 4.4. Комплекс п г но из и негамильтоновых систем Опишем кратко подпрограммы верхнего уровня из комплекса программ нормализации систем общего вмда. Тексты подпрограмм, написанных на языие соятялн, приведены в (3). В подпрограимах верхнего уровня решается резонансное уравнение (3.2.6), вычисляются правые чести (3.2.7) и решается алгебраическое уравпение (3.2.8).

Е. ~ ~Яс ~ - подпрограмма решения резонансного уравнения (3.2.6), которая находит всевозможные сочетания показателей , соответствухщих членам тождественного и внутреннего резонансов. При этом предполагается, что ээдэны векторы я' " = ( р'",..., р"з ) ( у = 1,..., ). Входные параметры: < )-~~ «««, б«« ««(х 1.. °,«).

««« соотношениях (3.2.10) и отвечающие внутренним резонансам, причем последний элемент кшгдого столбца этого массива равен порядку резонанса у; л' - число степеней свободы систезвз) мл - порядок членов, подяеиащих нормализации; х - порядок нормалиэуемой формы; хл - общее число решений резонансного уравнения; ли= я+ ~; лг = г я; л м — число решений резонансного уравнения при нормализации до ( мк - 1)-го порядка. Выходным параметром подпрограммы является трехмерный целочисленный массив )'Р, содеркащий все решения уравненмя (3.2.б), причем первый индекс соответствует номеру переменной, второй - номеру уравнения, третий- номеру решения.

Обращение к пбдпрограмме имеет вид сяы. ягз«ьс (гм, гя, я, мк, к, кг, ю, вг, хм) В результате формируется массив тР, используемый в дальнейшем для определения резонансных членов нормальной форами уравнений. Подпрограмма )язям) (л, и, г~, и, мя, мяи, гя, я, к, гк, яг) вызывается после работы предыдущей подпрограммы, и в ней осуществляется равенне алгебраического уравнения (3.2.8) по известному массиву г . Неописанные входные параметры: г) - массив коэффициентов Ю ' форм степени л', содержащихся в правой части (3,2.7); мя и мяи - вспомогательная и упаковочная матрицы (см. $ 4.