Учебное пособие - Методы и алгоритмы нормализации ДУ, страница 11

(1.3.б)) и указана з подпрограмме в качестве формального параметра. Перед первым обращением к по)п~рогремме в соммол -блоие долкна быть определена величина млх, равная максимальной иэ всех зозмоиных в данной програиме длин характеристических векторов гармоники, т.е. юх л м,М , где ~ - число степеней свободм нормализуемой гамнльтоновой системы, а М вЂ” максимально допустимое в программе значение степени нормализуемых форм. В этих ке обозначениях размерности рабочих массивов ы, гг и ~'л, гФ, ю,лб соответственно равны д„, и д„.

Размерность массивов злу ь>Ы и Яь1 равна я 2и. Ые они передаются через соммоиблок. В подпюогрвмме Гэогмлю) (мь, м, мик, м глгд, л, ы, ю,к, с.) осуществляется нормализация гармоники с характеристическим вектором эоя . На входе задается массив б, соответствующий з спера- торном уравнении (1,3.2) форме 6 . Вектор частот обозначен через хлэа . Подпрограима формирует коэффициенты гармоники чол в полиномах л и и, соответствующих производящей функции и новому гамильтониану я .

Релим нормализации задается управляювим числом .~ . Если Л = О, то з к" соответствующие члены уничтожаются полностью. Если д = 1, то в к остаются члены (1.3.15) и при этом в с помещается коэффициент с„,д из (1.3.18). Если л = 2, то в к ' остаются члене с показателями степеней (1.3.20)-(1.3.21), а в С помещается резонансный коэффициент С, из (1.3.30).

Перед обращением к описываемой подпрогранме в соммсн -блоке долкен располагаться массив вол, который,как предполагается, э резонансной ситуации (т.е. д = 2) совпадает с резонансным вектором. Чиода ало, ио в соммом-блоке определяет общее число коэффициентов поляиома рассматриваемой степени от рассматриваемого числа переменных, а таккэ номер первого коэ(фициента данного полинома в упаковочной матрице мь'.

Оба этих числа выбираются из вспомогательной матрицы мок . Через ими обозначено чисяо столбцов упаковочной матрщм мо' гзмильтонивна и ~ т.е. юл18 = ~ 5з, где ж — числО степеней свободы, и - мексимаяьныв порядок учитывааак при нормализации форм и гамильтониана (1.3.1) . Теперь опищем подпрограммы верхнего иерархического уровня иэ рассматриваемого универсального комплекса.

Иненно эти подпрограммы непосредственно использувтся пользователем конпяекса и вызывэптся из головной управяяхщей программы. В подпрограмме ~йормдл (ми и, мик, м, гя~~, нянях, б,ю, к с,я) производится нормазизвция всей форны н в функции Гамильтона. Эта подпрограмма формирует векторы гармоник вся, величину д - характеристику рекима нормализации гармоники, а затем обращается к описанной выше подпрограмме БямлгЯ . На входе подпрограммы ~ноамял') эадаатся: 6.

- вектор коэффициентов нореяиэуэмой фо1эы я (точнее, ~ из (1.3.2)); ~~~~~. - вектор частот и;; аягх - резонансный вектор (еслйесть резонанс). Кроме того, задается упаковочные матрицы ии, мик и а - количество переменных и степень полинома и . На выходе подпрограммы получаптся: Я вЂ” вектор коэффициентов производя:ней функции Х преобразования Хори; д — вектор коэффициентов формы л в новой функции Гамильтона; с — вектор вековых коэффициентов из (1.3.28) при четном м размерности С,,,ч и , ; А - резонансный козф(зщиэнт (если задан ненулевой резонансный вектор). Кзк видно из ( 1.2.20), после нормализации какой-нибудь формы » -го порядка формы более высокого порядка изменяется. Подпрограммы верхнего уровня фичзвв~ ~я~юно~~ Гьньнво~ случзт ллн вычисления форм о,, по уравнениям (1.2.21) (с учетом 61 замены 1 = - 2) для ~~ = 4,5,6 соответственно. Укаэанные подпрограммы используют описанные в з 4.1 подпрограмзы работы с однородными полиномвии.

На входе подпрограммы, вычислщщей коэффициенты формы б„, задаются коэффициенты всех форм и„, Х„, К, где индекс ь изменяется от 3 до т - 1 ° а такие задаются коэффициенты исходной формы и, . Коэффициенты формы б вычисляются по явным формулам (1.2.21), в не по рекуррентной формуле (1.2.20) для экономии ресурсов ЭВМ. При необходимости явные формулы мошно получить и для форм более высокого порядка.

На базе первых двух уровней комплекса мошно быстро составить рях подпрограмм верхнего уровня, например, для получения явного вида нормализующего преобразования, для получения малых периодических двикений Ляпунова з окрестности полокения равновесия и т.д. Здесь эти подпрограммы не приводятся. Рассмотрим пример составления головной управляющей программы для нормализации нерезонансной гамильтоновой системы до членов шестого порядка включительно. Согласно э 1.3 нормальная форма будет иметь вид . Гб~ я — к ~ я =д 1".ьй г ~Л г 1 Гб) ' з з '=Зоощ- 'С2~а-""2'С2.,.-,-~1 'С~200 2'. с~«"язгз ' ,г ~юг~ гу ~озо~з ~ сад~'г и) ~ ~ом'г гз + сопззз Если для простоты предполокить, что линейная нормализация уке осуществлена, то программа нелинейной нормализации будет иметь вид Операторы описания типа переменных и иассивоз млх-г7 й ззя =с ~-~ ~ мяе2(!)= Ф 3 мзее~з)=д 3 няез(з)=ф ноя мял ( ми, н, мин,г, яяец, ннег, нз, 55, кз, с, я ) он нов ~ ми,н, мин,с), нз, 55, из, ня, б) наямял ~ ми,н, мин,я, янео, нягг,б,5я, н;, ся, н) бнбнов с ми, н, мин,)б, нз,бг, кз, ня, бя, кя, нб, о) но я мял с ми,н, мин, 5, янга, нягг, б, 55, кб, с, н) бнбноб < ми, н, мин,)б, нз,бг,кз,ня,бя, кщн5,55,кб,нб,б) нсямял ( ми, и, мин,б, Рнео, няег,б, бб, нб, сб,к) сябг сясь сябг сясь сяьб сябг сясь $ 4.3.

Спе вльные комплексы и г но влив и гвмильтоновых систем В этом параграфе описываются двв специальных комплекса программ нормализации гвмильтоновых систем с тремя и двумя степенямн свободы до членов четвертого порядка включительно в разложении гамильтонивна. Зги комплексы используют явные формулы з 1.6.

В рассматриваемом случае на число степеней свободы наложено ограничение и = 3 илн и = 2, в также ограничена максимальная Блок, помеченный символом ь, составляется цольэователеи. Здесь вычисляются частоты системм си и коэффициенты форм и,',..., иб, записанных в таких переменных, в которис и ииевт нормальную форму.

При необходимости можно с поиощью подпрограммы )г гяг) первого уровня комплекса осуществить линейную нормализацию в этой ке программе, задав нормализукщую матрицу а и коэффициенты исходных форм и , и „ нл, и После окончания работы такой програымы в массивах 5'5, 54, 55,и 55 будут находиться коэффициенты производящей функции найденного нормализующего преобразования. Их можно использовать для нахождения нвного вида нормалиэующего преобразования по формулам т 1.2.

В массивах сс и са размерности 6 и 10 находятся коэффициенты нормально» формы в порядке их записи. Зная числовые значения этих коэффициентов, можно, например, сделать вывод об устойчивости положения равновесия. В случае резонанса отличие от приведенной выве управляющей программы будет заключаться только з задании ненулевого резонансного вектора ннбг . Например, если резонанс имеет вид 55.

б г гг б г, = 0 , то резонансный вектор задается твк: нябг <~) =5 ф ннбг сг)=г $ нлбг сз) =!. Тогда после окончания работы прогремим в )г будет находиться соответствующий резонансный коэффициент. степень нормализуемых форм ж л 4. Ясно, что в силу специфичности этих условий задача нормализации э некотором смысле упрощается, т.е. обьем необходимых вычислений становится обозрим и соответ- стзуюлие вычислительные комплексы программ нормализации могут испольэовать такую специфику.

Поэтому рассматриваемые далее спе- циальные комплексы программ нормализации более экономичны по расходу ресурсов ЭВМ, чем универсальный комплекс программ кориа- лизации из предыдущего параграфа. Использование специального комплекса при решении конкретной задачи позволяет, например, сократить процессорное ерема ЭВМ почти на поряхок по сразненив с использованием универсального комплекса.

Сначала рассмотрим специальный комплекс прогрев нормализа- ции гамильтонозых систем с тремя степенямн свободы. Его иерархи- ческая структура еще напоминает структуру универсального комп- лекса. Программами первого уровня являются прогреми работы с поли- номами (см. з 4.

1). К ним добавлена полпрограмма (л оЯ ( м и, в, и и з, и м ~, и м, г м, из ), сзулащая Лля формирования матрицы новых номеров коэффициентов однородных полиномов при циклических перестановках индексов. Входные параметры: ми - упаковочная матрица (нспользуется ее часть, соответствующая тону однородному цолинону, в котором производится керестановка); л - количестзо переменных; имя общее количество столбцов упаковочной матрицы; ам~ - номер последнего элемента упаковочной матрицм полинома предыдущей сте- пени; а и — число коэффициентов данного полинома; 1л - матрица перестановок размерности а б .

Выходной параметр: вю - матрица новых номеров размерности б ° зм, причем значение нз(...у ) равно номеру коэффициента в табличной записи полинома, который оказался в столбце номера .т в н~ полной упаковочной матрицы после 1 -й перестановки ее строк. Подпрограмма Ео~ ) предназначена для осуществления тех циклических перестановок индексов м; ( л = 3) и 1 , ~ ( а = б), с помощьв которых нз формул (1.5.5)-(1.5.11), (1.5.29)-(1.5.33), (1.5.37)-(1.5.42), (1.5.45)-(1.5.45) получавтся соответствупщне формулы для других коэффициентов форм и,, и и к,, ь', .