Учебное пособие - Методы и алгоритмы нормализации ДУ, страница 10

Общее число олночле- нов полвнома (4.1.2) =7 Задеть полипом (4.1.2) означает указать зсе его коэффициенты ,...,:;,, а такие лля некиего из них указать набор покаэате- лей степеней ~,,... ° Т„соответствующего одночлена. Существует (см. [19, 20)) три основных способа хранения коэф- фициентов полинома з памяти ЭВМ: 1) табличный (вектор коэффициен- тов имеет фиксщюэаннув длину и его эяементы строго упорядочены); 2) индексный (для катдого ненулевого коэффициента указывается список соответствухщих еыу индексов — показателей степеней); Э) цепочный (иаконец, указывается адрес следующего коэффициента) .

Остановимся по)цюбнее на наиболее простом табличном способе, которнй послукия основой для составления многих комплексов про- грамы нормализации. В табличном способе заранее устанавливается таблице упорядо- ченных индексов -,,..., 1„, а дхя представления однородного полинома (4.1.1) в памяти ЭВМ используется одномерный чисковой массив его коэф)мцнэнтсэ.

Такая таблица называется упаковочной матрицей однородного полинома (4.1.1). уля всего полинома (4.1.2) СООтзэтотвуящая унаКОЗОЧНая МатрИца (/о,„яззяэтоя Обьэднис- нием упаковочных матриц однородных полиномов степеней от 1 до ~п. Каидмй столбец упакоэочной матрицы состоит из показателей степе- ней ( ~,,...,~'„ ) , а номер столбца определяет порядкоэьй номер 1 соответствумлего одночлена. Это означает, что полгвом (4.1.2) записан в вида (4.1.3) МГао,ао) )г.х,ы ... х '" а= / Таким образом, задать полипом гибли зпаг способом означает залазь одномерный массив его козффяциеытов р, .

Тогда с помочив упаково вой матрицы какдык злемент етого массива находится во взагзаю-однозначном соответствии с набором индексои о ПО Задаынгаг о,,..., О Ссстизтот~цазинй НОМЕР Х СтОЛбца унаКО- возной матрицы определяется по формулам г(о„ог) =М(2,о отг) — оа а го=2; (;...:,)= (),', ', ',)- (л,', ',) г,, 1(Х,...,Г) =И(о 1 ..ао ) — г о( ГЕ г' о — 7)— д=l '«=,О.~ х-х.о -Л4(г,о,'Г ) 'о, и хе. Здзоз ПрИНятО ЛГ,О) -Г 1(х,-Г) =Н(г,~) =0. В качестве примара выпииам упаковочную матрицу для полинома третьей степени от четнрех переменных: 1000210100100032102100...0 0100012010010001230120...0 0010000112001000001113...0 0001000000111200000000...3 Первые четщю столбца определяют члены первой степени в (4.1.3): г г о о о о кг=,хг хг хг хо, хь=х хг хг хт Следуюиая группа из 10 столбцов определяет зсевозмоиные чтены второй степени: г г о а о г о о а х =х х х„к„,...,х =х х х х г 3 ь ''''' оо г г г и так далее.

Упаковочнаи матрица долина быть сформирована заранее, перед ° обращением к программе работы с полиномами, и хранится до конца работы всей програмьы нормализации, При формировании упаковочной матрицы удобно использовать вспомогательную матрицу о ~аа г) г(х а) ,а, (е, оаа) о а: ~ О и(ч,У) М (ао, ох-У) Операции над пслннснами относятся к классу вычислительных задач, получивших название буквенных закладок на ЗВМ. Пело в тсы, что произнести какую-нибудь операцию над полиномвми, напринер их слокение, не означает найти число, разное их сумме при фиксиро- ванном значении переменных этих пояиномов.

Цехью такой операции явяяется получение нового полинома (его коэф$зпГяентов) — реэуяьтата операции нак исходными пояиномами. Таким образом, задача вполне эввизаяентна задаче буквенных вмкдадок в первичном понимании слова "буквенный", т.е. символьный, способ записи информации с помощью заранее указанного аяфеввта. Роль аяфавита здесь вмпсяняют одночяе«ы я " ... х'м . Приведем описание входных я выходных параметров программ сяоиенмя, умнокения, дифференцирования, линейной замани переменных, подстановки появнома в пекином,испольэуыцих табяищыя) способ упаковки индексов.

Вги подпрограммы используются в двух вариантах: при нормахизации гамильтоновмс (первое имя) и негамияьтоновых (второе имя) систем. В первом случае упаковочная Г и вспомогательная матрицы имеют идентификаторы ия и мГГГ; во втором случае — м и,идя Подпрограммы формирования упаковочной матрицы ~о. мы д тл3 иян )~ЯсЯ имеют сяедующие входные параметры: р — кояичество переменных, М - максимальная степень рассматриваемых членов, лик или мяи — вспомогательная матрице. Выходным параметром подпрограммы является упаковочная матрица ми или мР размерности м" МГ~~, ). подпрограммы Яо м Ро4 )или ГпЯ находят сумму однородных пояиномов Р и Я, какдый степени М, а результат эаПИСЫВаэтся в массив 7 = А ~ Р Р «- Я , где А и Р - заданные числа. Здесь и даиее под словом "полипом" подразумевается вектор коэфбэпщентов.

Все пояиномы эавясят от Л~ переменных. Подпрограммы ')Р)Саю.Я няи ~~~ яр Я~ вычисхяют результат уинокения однородного пояинома Р степени мР нв поякиом Я степени иЯ . В результате получается однородный полипом л =. Я СТЕПЕНИ М, ь МЯ. Подпрограммы ~~чкР.ГЯ нли ЯДРА~) определяют полипом Я степени мР - 1, который равен частной производной подинома Р степени м. по переменной номер 1иБРХ . Подпрограмма ~вгпи лап используется при нормвхизации гамияьтоновых систем и находит пояином Р, являющийся результатом вычисления скобок Пуассона однородных похинсмов Р степени мР и Я степени мЯ, т.е. д=)Р, я ) - однородный полином степени нР+МЯ-Д .

Предполагается, что первые ы = и переменных соответствуют обобщенным кооркинзтам, э последние п перемен- ных - обобщенным ямпульсам, где и — число степеней свободы соот- ветствующей гамильтоновой системы, Подпрограммы ~~Я~~ илн ЯБЯД вычисляют полипом П- результат лянейной замены переменных, определяемой веществеыной или комплексной мвтрнцей д размерности Ль,т, в полкноме Р степени и по формуле я =л ю, где х - старью перемевмме.

Подпрогрвюаа ~~~~сКЯ (м., мяи, а, я~, н~, и, г, ~, н, х,хт) используется при норыаяизацяи негамильтоновых систем и производит подстановку но)лализующего цреобразовання из т 3.2, находмлегося в массиве и(П, 1), в иолином 3 (ю, 1) степени ь) от й пере- менных; э) - размерность вектор-столбца полиномов замены. Резуль- тат подстановки записывается в двумерный массив ы( л'~, 1), опре- деляющий вектор-столбец одноролнмх форм заданной степени и(>,н, Другими слозамн, ) (м, 1) - вектор-столбец однородных полиномов степени м), получаемый из выракеняя г Гм) ' ~7) <м'-м'ю т, сн (м1-м'т> Массивы х, х~ - рабочие, В описанных подпрограмиах для негаыильтоновых систем с целью ускорения счета к экономии памяти используются следухщие помечен- ные сои ион -блоки: !В11е ек — Уаявнный нуль) ,'зз/ кцп, ндп - рабочяе массивы соответствуюзей длины; /язв ь ( ~ > — целочисленный массив; /з" / нэ<1) - рабочий массив.

В случае нормализации гамильтоновых систем аналогичные функци» выполняет помеченный ссымон -блок,'~'Ояя Р/ еен,... т 4.2. Униза альннй ко екс г но э гамвп тонов систем Универсальный комплекс програюг нормализации гамильтоновых систем предназначен для нахокяения коэффициентов нормальной формы гамнльтониана (и самих нормализующих преобразований) цроизвольной экстазы и реэлизует методы, приведенные $ 1.3-1.4. Подробно этот комплекс описан в ) Ц .

Здесь ограничимся лищь информацией, необходимой пользователю этого комплекса. Вонплекс состоит из написанных на языке хо коням подпрограмм трех иерархнчесинх уровней. Первый уровень представляют собой описанные в предыдущем параграфе программы работы с однородными пояиномзми. В подпро- граимах второго уровня Джегм;Я и [новь Я~~ реализован описанный в т 1.3 алгоритм резания операторного уравнения для одной га(моники с даава характеристическим вектором воя (в э 1.3 - вектор 6 ), который передается в них с помощ~в сам иом -блока.

Г- .Л В по гранма х я эх юг ( ми, в, мик, м, Р ~, Рг, Р~, ~й, л Рть)) для гармоняки с вектором эок осуществляются замены (1.3.7)- (1.3.8). Если нейм 1, то это переход от вещественнвщ переменных к ко~я~лакомым; если дэ) ь~ -1, то осуществляется обратный переход.

Козффицнентм входных и выходных полиномов эадмстся н формируются в массивах ю, )'~, г-'з, размерность которых равна размерности вектора коэффицкентов нормализуемой форин н . При яэ.гм 1 результат формируется по схаме Р) . л + х. 3, при яагм = -1 - по схеме Р~ ~'Р~ — ~з (г=г'-~) В соммоа -блоке предварительно (перед обрщлением к этой подпрогрвиме) формируются: вектор-гармоники воя и вектор лм'- список номеров коэффициентов данной формы, првнадлеквщнх рассматриваемой гармонике. Размерность вектора ь'и' равна ьч = д„, (см.