Учебное пособие - Методы и алгоритмы нормализации ДУ, страница 6

46) цякличеокои заменой впдекооэ к величю1 «, «Л ° «« ° Рассмотрим теперь подробнее гамкльтонову систену с двумя степеняыи своболм. Правде всего заметим, что соответствуыиме нормаиьнма формы и их коэффициенты легко югут быть получены иак частный случай формул (1.5.2)-(1 5.45), )(ля этого надо линь произвести "свертку индексов" по правилен Г~! ~"~ ~з) Г~г ~ ~я) Г „, ч,(", ~, Ь) Г~~ ",,( ~ ), (1 ° 5.4Т) причем все величины, в которых встречается коэффициенты или функции с индексами ж'+ ~' ,+Ги,' и' О, надо игнорировать. )(ополнительно к приведенному списку норильных форм эапимем мхе нормэльнущ фо1э(у для случая резонанса первого порядка с непростыми злементарнаа~ делителями (как и в (1.5.43), здесь переход к полярным переменню неэффективен): к=к!0>- кС' (1.5,48) (1.5.49) [~,'Р) =з а-~ ))ля нелинейных исследований саве всего необходимы линь слеЛуищие коэффициенты: '~о э = йоыо (1.5.51) 7 причем последняй коэффициент вюисан для случая равенства нули предывущего.

При резонансе первого коркина,), = О нормальная форка получается из выписанной выве с помощьы замен т, ))ля систем с двумя степенями свободы еще кыется разуъятэм выписать явные формулы для коэффициентов форм Н, и /6,, получавщихся посла линейной норгахиэацин, т.е. нормализации квадратичной части гамильтониана и, яо формулам $1.4.

Уля более юмпактной записи этих формул в линейной замене (1.4.2) наряду с обозначениями фазовых переменных (1.4.1) и (1.4.3) введем обозначения « =Г",."т,«„«,), 1=ГЯ,И„Ч,,~ ) Коэффициенти исходных (до линейной но)вгализицни) форм Н и Ь'„ обозначим через Йь ь л ь, а коэффициенты форм и, и Р~~ (формы ', и '~,, после линейной нормализации (1.4.2)) временно обозначим через Г„ь ( ~ . Тогда процесс вычислении новых 2 Й 31 (1.5.59) Всвф$ицйейеов фо1игы нз расиаваеесв на сиеяувние стены (в свсбввх ВРВ ВсоффВЦИЕйев У о В В В УВВВВН ОИНОВВЕйо ВИВ ВО'йс(ЗОБО ВНВИС ИВЕЕОВ ВРОЕ ИсвффЩВЕНВЗЗ 5Ц овппо ("э ига ггзэ о'ггг изз иу' оигг изг' игг) Апо(у у;уЗ) =Возаао "эгиуиэв' " 'Зогэао(ооа иогизме' "пие гу'игу ~гЗиг )'- " о (гэээо и(эг(игз изй +игЗэизз) "«с (игэ изЗээ извзпиги) э эгэЗ(игг из гггг.ин~ И- (1 5 55) ооооо(УЗЗ'='ааааа эг "' '"зюоип' гг' " иваго' игг "' "иооиэ 'иггиза' (1.5.55) 3 э ааааа(УЗУЗ) Уаоооаиэ'иу'+"'+~гзэоо(ига гу'+Зиппо'ига) г 4~гоп(УэУг)=~~оооо ггиэУ "'~~ зэоо(~эгиэбигЗ эиииггиэУ) э" эЗггао(иогизме э эг эу гг зэ' ~гг гигу г/изг)и" ~эпэ~иэуигэ (игу иоэ + з' оз') ЗУ о (ИУ з' и ЗУ) ии ЗУ(игйизг~иггиз4 (1 5 Ы) г Уяо(УЗУУУЗ)=~~зоооаигаиэги Зо" азаз оопп [иэзид иго оЗиэгиз, иго+ гз гиз '" ггоо 'г го' эи(™и г 'гигаэ')™ 'игА (гиэ'иг + гз)г " гпо г ээ ( эз г4 ЗУ зз)о~~ эг( гбизэ игз, "иг'гзгэгзо ~пбизг гаоигЗпго ~зй) "гиэз' иэе игз изг) о- о ээээээ (иэзигг (и у иЗВ г зз г/) о иго изг (игз иоя оигз по )о ии иаг (ог ° и з о и й и ) + гг 3* ( эу ~Фх и у изз)гига иоэ'(иапо~оп,азизу)+ изг пзэ (игу игХ о игЗ иг э') ~ зиээ э, оооо э гг и эо ' '"пЗгзэао', иэг(иэзигоэиэо ига)о +гааз" эо(ог и ээб эг ))о гоУВ (и и (и ог оп и )+и и (и и -и;,)-"ии:,(-"„Ъ"и-.,4 ' „;:Г-",,-",,(;",-',", ",,'-'„)'." ипиэг(игз За иззигз)эиэгггэа(игэизээиюизз)э~ эг опээзэигоэ ии зэ ) ип иэз (~зг~гэ ээгг изз ) э ипэ и (эгз" эггз "эгггиэз)1 ' " ' пэпэ ((И аз ига э эги г гэ.

(Изэ иог э газ г иоэ ) э (оп эгг го иэ ги ) ( азз иоо " из а паз ) г Э(ияии 'гигг э~иоээ зз изэиоз)'(пмпг ипэео)(эз«иогэизгиаз)э (Сз гга ггогэ)(изоио~эпзэпоа)+(игээаээ'гз" (1.5.60) Завермая зту главу, отмечаем, что зюиоаннме форцукм дзя коэффициентов нормаиьннх форм еяотем е двумя и тремя отепениня овободм позвоизвт нв ях оонове ооздать опецнакьные компиекоы мамкиных прог1иыею норвиизацяя (ом. $4.3), более экономичные (по быотродействив и памяти), чем универсалью коьмяеко (ем.

Ф 4.2),на основе общих фориуя $ 1.2 и 1.3. Г и е в а 2. МЕГОХ ТОЧЕНЫХ ОТОБРАННЫМ И ЗАИАЦА О НОРМАХИЗАЦИИ НЕАВТОНОМНЫХ ГАМИЛЬТОНОВНХ СИСТЕМ $2.1. Основные понятия к о Метод точечных отобракений явяяетоя одним из эффективных методов изучения некоторых типов неиинейнмх оиотеы, а такие ряда общях вопроеов теории некинейных коиебвняй (13). В его оенове лениг возмояность сведения изучения двияяний, опяонваеак дифференцивяьными уравненияни, к изучение евойств некоторых отобракений. Например, авда относится теоремы о связи оуяеотвованяя и устойчивости полонений равновесия к яериодичеокях двякений с оущеотвованием и устойчивостью неподвяиных точек некоторых- епециальным образом построенных, отобраяений.

Пуоть двикенне описнваетоя оистемой дифференциаиьннх уравнений вида Ык. — =Х.(х,х .,и а) ( 1= к 2,.,., ж), (2,1,1) где правые чаоти х либо г.-- периодичнн по г, либо пе зависят от г . Хвикение оястемы будем цредставлягь в ( ~ + 1)-мерном проотранотве переменных х,, х,,..., х, г . Пуоть Р, и з плоскости г = О и г = 2л- ооотвеготвенно.

Траектория системы (2.1.1), начииамхаяоя в произвольной точке м пиоскоотя Р,, через время, разное гг, пересечет плоокооть ~',, в некоторой точке н, Еоли теперь отоидествить плоскооти ~ = О я г'=ге, то получим точечное отобрэяение т плоскости Р, в оебя. Это отобракэние будем записывать в виде равенства л, =-т,и или пря помощи следующих формул: с.( т ~ , . з ~ ~ ' = , ',.. .,и ), (2 1 2) Точка . ' называется неподвикной точкой преобразования т , если последнее переводит ее в себя, т.е.

г =Гн 33 Уравнения для определения неподвииных точек преобразованмя в кооркинатной форме получается кэ (2.1.2): х —,~ (х х,х ) (р-72 ~и). В даиьнейиам будем считать, что неподвикная точка М совпадает с началом координат (т.е. х,' х,* ...= л ) и будем исследовать свойства отобракения вблизи етой неподзвиной точки. П1ж получении оператора г конно использовать разлокение ревения системы (2.1.1) в ряд Тейлора по началъеж значениям величин х (б); прк этом мокко прибегнуть к численному дифференцированвв, используя ЗВМ.

С)жако в болъвянстве случаев целесообразнее испольэовать те кли иные свойства сястемы (2.1.1), вытекаинне мз характера материальной системы, из~венке которой изучается. Будем далев интересоввтъся отобрмзениями, эадаваэжмж гамкзътоновой систамой дифференциальных уравнений дН ~РЛ ЗЕ, т л .. з ~, (2.1,2) ЫЕ д,г .

~г' ду, l у где Н - аналитическая $(нкция по у., р~, 2о - периодичнзя пог. з 2.2. Све ение з чи о нахо енин опе то Г к ения внения Гамильтона - Якоби П стейиие и е Пусть ~, = т.(ву, р .= р; (и) — начзлъные значения коор- динат и импульсов, в о (Г), о (Г) — их значения в момент вре- мени г . Воспояьзуемся тем, что преобразование фазового прострмэ- ства при помоки Лхожений гамяльтоновой системы является канони- ческим, и будем искать не првмое преобразование Г.', р' оу,р, а обРатное Г;,,оу — + )7'., о'.. Это означает, что двнзенйе, рассмацжваейое как канонйческое преобразование, переводят систе- му с функцией Гамильтона у ( оу,р., и ) в систему с ф)нкцией Гамильтона, равной нули.

Тогда новюи координатами и ажульсани я будт как раз ~.', р.'. Кроме того, будем искать не самое преобразование, а проиэ- водякун функции этого преобразования. Пусть к ( ~ -, у'., и ) - про- кзводяивя функция преобразования Г~ (г), су (') — + у.',р" . йо(в(улы преобразования имеют зид (83 —,О (2.2.1) ~.~' Эре ' l д~, о Проиэводмкаи финиция будет удовиетворять уравнению Гамняьтона- Янобн (2.2.3) Найдем начакьные условия для и,,с,у . Полагая в (2.2.1) и = О, получаен токдества относительно у', р': ~'=- а~ (о)р'~ у(о)о', р'=— а«(о~у '~ у(о)р', откуда следует, что .м=р;я=о, у(о)=:~, (2.2.7) Резание системы уравнений (2.2.6) с начаиьными усяовиями (2.2.7) таково: КЯ)= О,,Э(~(=-- — '~, ~~Цму (2.2.8) Полонив теперь в (2.2.5) ~ = Ът , получям производимую функции У отобрааения Т : зп т У,с (2.2.9) Иэ (2.2.1) н (2.2.9) полусаем связь мекду ~', р' в ~, р ~о 7э о~+~ г= о откуда следуют форыукы (2.2.4).

Приыер2. Рассмотрим одномерный гармонический осциллятор с частотой Л . Тогда и = — Л ~~~.~ о~), и отобранение т задается фо1муяами ~=уст'тг:'~ ~ пэгиуэл, р=-с~'зг> птд~р'гол~т1. (2.2.10) — + Н (~, -, ~) = б. дУ дУ (2.2.2) Полагая в (2.2.1) г О, находим Г ( у.(0), гу (0), 0), а половив и = гн и разроняв (2.2.1) относительно ~~ ,гу, получим раэкоиение оператора т в ряд по станева 7'., с'.. 7 / Яйимер 1. Пусть матермакьная точка единичной массы совериает прямолинейное двнкение по инерции.