Учебное пособие - Методы и алгоритмы нормализации ДУ

МИНСТЕРСТВО ВНСИЕГО И СРЕКНЕГО СПТЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИИ СССР ИКЮВСКФ ОРЛЕНА ЛЕНИНА И ОРЛЕНА ОИТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛТЦИИ АВИАЦИ)ННЫЕ ИНСТИТУТ ванн ДАРГО ОРЖОНИПЯРЕ А.П. ИАИаИВ С.В. ИЕВЕЛЕВ А.Г. СОКОЛЬСКа ИЕЯЫ И АЛГОРИТМЕ НОРНАЛаАЦИИ ЛИИИЕРЕНЦИАЛЬННХ УРАВНЕНИИ Учебное нособие Утвервдено ; ", юЯ , на васеданнн редсовета 22 ваня 1984 г. МОСКВА 1985 УЛК:517.957(075.8) 517(075) М265 Марисов А.П. Медведев С.В.

Соксзьскай А.Г. )ютодк а езгорятмы ноРюзнэюкю )вз$Ференцнезююк уревнюай: учебное пособие. - м,: МИИ. - 74 с. В пособии азззгевтса методы нормаааэвции иезинейюю обювовеаянх да$$ереицивзьюю урввнеывй в окрестности известного реаеяик (поаоаеиве равновесна, периодическое ранение, усвоено-пеумодвческое ренеыне). Подробно уассмвтривзвтса кек обаае системы дыФ- ференцивзьннк урввяеаай, тек а ююаиае бсзьаое значение дзя щюаокений в мекзямке гзмизьтововм системм. Спзсмвземме методы вояструктввны а доведены да уровыа азгорюмов и основзннмк нз изх знчвелвтезьямк щюгрюю даа ЗВМ. Пособие преднезазчеио дда студентов ()езузьтетв "Прикзвзнзз математике", вэучвпвик соответствумыю спецзурсм по кзфедре тееретаческой медовика.

Рецензенты: С.В. )Вронов, И.И. Карпов. ОС Московский ввавцноннмй анствтуг, 1985 г. Учебное юсобю вэадоою иа ооаозе маотоаетнего оката ирюоюзанаа иеокоэзккк сэецтозфивк Куусеэ студентом 4екрлзтета нракзвдной матоватака ййМ, обучоаиикоз ио сюцкеэзвацию юфан тееуетпчесюй аекоиюв а аейелрр алгебра а тееува (фикций. ззтеум отозвав цеээ с славой точка еуезаа еавсвтэ ваабекее аеусаевтаэвве сез° ~~ ФФ ~ ЮНЗ Ю ~И невки, Лозедк ак Ю урэмза моюмиик азгоувнооэ. Базой Лэа юлоаеиаа посэуаик мети)ааз зэ робот аэтороз ~1-61. %тоби дать цредотазуовве е щите ааучаомпк зокросез, рассмотрим саотецт обюкозвввн юйереевмкэвпк уравнений Ых 9' Ы1 У( 'т)' ( 7'' '' 3 )(усто иэзеотио некоторое ее %менее успение =х"(х, ), =х ( ',(;).

Необколюо исолелоэотэ убиении састюи, бзаэзио э веаетеуеи сюоке (ваауамер, во кзчуээа~м ускозаю х, нуа о ~, ) к ааэестпоцт уенонвэ. С ю)Юбкой иоотеюзюй эакзчи иеюоредотэоаю сказана залечи асозелоэнОвз устойчивости, задачи постуоепиа малик (з юм авеле к иеувдкчебкю) лэакоаай в т.д. Тезок иостапезка оаюча пеэизаетск кокоэзбой.

з откачке ст амоаюк гкобокэмзв характер эакзч певеке юг успевай саотомм, ие сзаэаваи веиосреютзонно с ее рвзануем. Пра ревеню коказзабк заказ заедзтса локашмю коордюатм х — х" в ээкзсазаюса зфавцоаюе ууаеиоааа отвосвтаазво юзик пеуваеммак (зоэмуцепий). Отаетю, что улзбво с сеющее взвела уассютразать э качестзе честного ранении туазааэъюе усанове.

.Тотда сома аскодзмэ пеуар1оанве х азззвтса аоказэпюи косу)виетеик (э окрестности ивмМо кооуланат), а ископано ууезвонааууезковазмз зооц)цеазото лзвкепаа. Будем зуеивозагатз, что эектоу-4уккцва у ( х, 6 ) юаэатзюе э некоторой озреотюота боенко косрланат нлн осек 6, врачом ~(0, й ) Ю. Еска з састбме зрезю части не эаэасат от т азю, то оно поэмэаотсз оэтоио~эюй» э кротковом сл,'(чае - неазтопоюой, Идеи зсек рассматрауеомнк иетолоз ноумезаэоцкз эаклвеаетса э том, что з колодкой (эбэм)ценной) системе декаотсз маков бкиэюе к тоздестэенюау зуедбреэоэааае иеремепкик х атаби и юзик иеремеыиас у презю часта уравнивай системм пра- няла наиболее простой вад, ютормй а незмзается нх нормальюй волной.

Процелунг юиска такого преобразования назмзавт ю)зюли- зецаей. Особое место в механике занимает клесс лиййерюнцвелъвнх уравнений, иазюаеных каноническими каа гаиазьтснозьмн: — — — — — и = и (' с, р,. ~), где и - гамильтоааея (46икциа Гамильтона), а () = ~Р, р= (р,,..., р ) т — обобиеаию коордюатм п июулъсм. В случае каноначесюй систем задача сзедитса к поиску нор- мальной 4оумм не вектор-4)нации призах частей система, и к но)зяь- лазации лапь скалярной (В)нкции - гвмазътоназне ь (о, с, г ).

Правда, такая з~щааа услоаиаегся тем, что сами нормахизумзие вреобуааозеюя тогда наю искать з классе кюоначескнх преобра- зований, сохранямхих гамильтонов зкд уравнений. Нюбходюо отметить, что юрмелизмция является лапь степом и проблеме исследования юкелъной задачи. Но з силу зааностя н трудности стого отаве он сем закаляется ь отделънуь проблему, Причем процесс нормализации хзреьтиразуется больиям количеством зачислений к на практике реализуется,кек правило, с помснъз ЗВМ.

Г л а з е 1. ЮРМИЬННЕ ВОР)й( И зйГОРЮй( НОРМь))ИЗАПИИ ГВМИИЬтОНОЮ()( Сжтжй % 1.1. ас о не 3 Все метода нсрмалазаюои относятся к классу методов малого параметре в отличается друг от друга ю способу получения (и деканам з их осюзе теоретаческае юицепцзям) псрмазпэуюлх преобразований Жм гамкльтонозмх систем, лотсрю посвлненм парию глазм денного пособия, нормелизунзае пресбрезозаюя юутся з классе канонических замен переменннх. Прв классическом подходе кзноначескае земана строятся с юющьп пронэзодяиах 9явций. Пусть дена каноническая система ли44еревцаелънмх уравнений с а степенями свобода (1.1.1) ,~.' др ' ~УЕ " д~у' где у =(~,,, ~ )".

р -(р, с ) - обобщенннз координаты а июульсы, в функцва Гамильтона соде)акт малый параметр: н-н(у,)т,г; з) . (1.1.2) Пусть, кроме того, иэранетр с входят в щувивв Гампзьтона аяалаткчески м цри б О рассматриваемая каноняческаа система (1.1.1) пнтегрц)(уемв. Тогда дка качествеыного и юличественного изучения двакмзиа пра ~х! < с 1 мзетса такая блязкеа к токдествен- ной камомическаа эамеыа переменных Ч,) — П,Р, (1.1.3) чтобы гвмзльтониен, записанный з новых пермзенных П, Р, удовлетзаранее указанным требозеннзм, т.е.

ямал нор- мальнув фоюу. Пусть ысходная система (1.1.1) является автономной. Тогда прв классачесюм подходе нормвзизувщее преобразование (1.1.3) мокег бить найдено методом Цейпеля )6). В методе Цейпеля зто пре- образование эвхаатса с помоньв проаэводхксй фяибв,У, заваса- щей от смеяаяннх переменных: старых коорванат ~у и новых вмпуль- ооз Р, т.е.

Ю = у ( с, Р э ). Пря атом (справа стоят скалярное произведение ссотэетстз)ммях п -вектороэ) К (Т,Р; О) =7'Р, (1.1.4) что указывает нв блязость преобразования к токдествепному. Санс преобразование (1.1.3) эадаеток неявно при помощи состноыеяяй (1.1.5) 4 = 'з (1.1.6) )((агам распространепам классическим методом нормалмзецяи ,гамыльтоиовнх сястем явлаетса метод Бпркго4а ~7). амеищай юого общего с маююм Цакаева.

Рвссматриваетоа каноническая система, 4тыкциа Гамильтоыа которой в одрестыости полонения равновесна у р = О ( ~' 1,...,п) представлена в ваде рада у,у' = й (1.1.7) Здесь ~~ - однородный патином степена э отпосительио координат я ныпульсов: 7"... У~.Р~ ... ~„~-, (1.1.6) .~~..+р =~ где показатели степени ~,,..., ~„>, ~,...,, „- целые яеотрица- тельнме числа, а й, . „,. и„- веаеетвеяыые юзф$мциеыты, юто- рые в случае неавтономной смотаю зависят от вреюяи Е . Пормалкзумпее преобразование (1.1.3) такач звдеетса с аомоньп цроызэодпаей фрнкциа с о ( и, Р, т ) в имеет зид, апалогичнвй (1.1.5)-(1.1.6). Цредстезам дикции,)' в ваде РФ8 +... (1.1.9) Возув функции Гамильтоне к( м, Р, (. ) ткаае ззивюм в зкю рада Кг+ Кщ+" (1.1.10) Оииэь мекку н, к и ~ юкио установить с помсмьв мззестюй формулы теорем каюническнэ преобразований '(8) К( —,Р, ~)=н(Т,—, Е)+ 3 —.

.)т Р (1.1.ХХ) Из фо)вб(л (1.1.5)-(1.1.6) имеем Р=Р~-3-' +", ()-У+ — ~". д5 Ю у ' '' ДР (1.1.12) Педстазлив (1.1.12) э (1.1.11) а прцрввюзаа члены одюзкоэого порадва относвтелъю переменннк, юлучаем к, ('и, Р) = И, ( Т, Р), (1.1.13) Ж ~~ ~Ъ ~~ ~ К (1.1.14) «м дТ дУ Р д1 ~и ~ю Отопив зиппо, что, квк в следозвэо оавдвть, форме второго юрадка э уаззоаепии функции Гамильтона не юмениле своего вэдз. Поютазю (1.1.13) э (1.1.14).

Тогда уравнение (1.1.14) зюввет- (1.1.15) где оперэмор 5' имеет звд В= — э (1.1.16) С поюаьв сюбив ))$чссона (8) действие оператора В нз цроизэольыув функцию юкио представить з виде У('Д,,) ) И ),У(Т,Я ~('Д . ) ( Тают образом, эвкача юрмзлвэацви функцви Гамильтона сваг. лезь к ревеню опереторюго уравэеныа (1.1.15) з кеадом породив .

В уравнение (1.1.15) неиээестиюи ивлзвтса форам (однородные полиноми),5' и К . В изидой юнцрзтяой заднее врв его романии мадо учесть те илйунме требования, предьиваазнме к зилу норюльпой форма гамвльтоыизна. Репки уравнение (1.1.15) и испольэовал з токдестэе (1.1.11) членм слелупкэго поридка относительно юордват и эмпульсоз, юкыо найти члены К „, и т.д., полученные после юрмаказацви фсумм ~и-го порадва.

Ватам воино ремнть уреэмеыие (1.1.15) дли членов порадка ~~+ 1, найти чэемк К, и т.д. Процедуру в принципе моано продохакть до членов нуаного аорядка. Наконец, используя фоуэ(улы (1,1.6)-(1,1.6), изино кейта яви а вид преобр м эн а (1.1.3). Однако классические методы Цвйпела н Биркгофв облздант рядом существенных яедостатковг 1) Нахомкеике авного вида преобразования требует очень громоздких эюасленай. В саюм дале, дкк выраксмня старых переменных с, р через новые и, Р нвло сначала обратить уравнение (1.1.6), т.е. выразить вектор координат э через новые взращенные Й .

о > а потом результат этого обращении подстэвать з цравуи чаоть уравнения (1.1,6), т.е. явью вмрвзать вектор стелим импульсов р через О ° о. С практической точки зрения обращение этих уравнеыий и нелинейная замена в них - весьма трудоемкие операция, кото)ае к тому яе прм мамкиной реалиэвцяа метода занимают слваком нного времени к поняказт тожссть поаучаемых результатов. 2) уля полученмя обратного преобразования 6, Р— с, р нуино выполнить точно такой ке обьем вычислений.

3) Неявнме соотноиения методов Пейпеля и Бирхгофв не лазе общего ахгорятмь преобразования достаточно произвольной фикции первоначальных фазовмх переменных д,,с в ~нкцкв новых переменных(), Р. 4) С пректическод точки зрения такае существенен неудобством является ото.(тствяе общих (и достаточно простых) рекуррентяых формул нормализации. Нв рубеке 60-70 годов в работах Лепра, Хори и кх посхахователей (см., например, ~9)) был разработан нов~й способ построения канонического преобразования (1.1.3), который позволяет устрвнмть упомянутые недостатки классическях методов. В методе Лепра - Хори используется тз простая ахея, что преобразование фазового простраяствз, осуществляемое при помощи двикений гэыяльтоновой системы, является кэноняческим.

Поэтому ыв искомое каноническое преобразование (1.1.3) мозно смотреть как нв реиение некоторой вспомогательной (и, разумеется, не имекыей мичего общего с исходной) канонической систеюю. Роль незэвисямой переменной (времени) для этой системы играет некоторый фиктивный параметр преобразования, э роль гамильтсннэна — фбнкция, которув логично назвать производящей функцией преобразования (1.1.3), причем онэ будет звввсеть либо только от старых с ,р, либо только от новых переменных ( П, Р ).