Учебное пособие - Методы и алгоритмы нормализации ДУ, страница 4

имев одзнакозые аордзновн формы б. Будем исизть матрицу Л в виде пронзведекия: л' = д с, где в - произвольная (но фиксированная) матраца, состаэлевная вз собственных я прксоедяненных векторов иь( й = 1,...,2 ~) матрацы л и приводящая ее к кордановой форме б, т.е. л Б пб . Зторым ссмнокзтелем в х является матрица С, обратная к матрице Ю, приводящей метрицг '' к той ие кордзновой форме; л'ю †..лз. Пря составления матрацы л яэ собственных я прясоедзненнкх векто- 19 ров матущы А' щоиззольяме постоянные, нормцйумлие эта векторы, надо определать иэ условвй (1.4.7) зеюегзепноств в свюлеитнч- юств матряцм Х, которые тюере Прюияант ввд Вс =Зс, с ~ с =,~ Здещ >"=.т~,тл - юсосиюетрмческви меира, так кэк дзл ее элемютез справвплпвн состнояепии (щйп'лме оюбкв озиачют ска- лярное проаззакенпе; й, = 1,..., 2п) ,1~ =(ал, 7 а )-Г> аь, а ) = — Га,лад) =-Я )(ониретнмй зад матущн ю, в зваяит, в л удобно устэвавэазать дэи кэадого спектра матрицы А отдельно, Раесмотряя наиболее ютереояыэ случая.

Ваанейним ивлаетси случай простых собственных значений мат рицы А, т.е. з (1.4.6) все воувв с~ ( 4 1,...,2к) простые. Это означает, что все числа ЛГ лзливтси рэзлячнюа и ыи одно из пвх ке равно ыулв, т.е. ювно записать — Г,Г'=7,, и), м, >и~~ > > ю > О, (1.4.8) где м — частотм линейной системы. В этом случае юрдвяоза фор- ма Р мвг)ищы А содернпт только клетки пеДВОГО пОРилкз э ЯВЛЯ- етси диагональной матрвцай с числами (1.4.5) на главной диагонали.

Состзетствупааи зеяестзеннаи нормальяал фо(ма кзадрэтиаюго га- мвльтониэна определаетсл формулой (1.3.4), где в обозначениях этого параграфа фазовьм поранению надо приписать мтряхи. Числа $ +1 подлеват определеняв одновременно с построением матря- цй АГ. Описаний метод линейной нормалязации приюдэт к такой фор- муле дхи мэтрыцн линейяой замены: к=~~Г) м,,..., а„к„, У,Ь,Х,, ..., Г„д Х„,'~, (1.4.9) б =!/Ь~~ГРд,,УХ )~, д'. = юс~~и Гну, г ХГ) . Здесь и.; =л 'Х - произвольные собстзенню векторы матрпцмА: ГА-ГиУ Ег ) ю = О. (1.4.10) Если матраца А змеет кратйме собстзенню значении, то нор- мальнаи форма квадратичного гамильтонианв зависят не только от самих частот с 1, но и от врвгности соотвегствуиаих элементарных Делателей (12)' спРеделзмлей мнгРвЦы ( А - б' Ег„ ).

Наиболее эы- вне частию случае кратных собстзсннмх значений рассмотрвм на прюере гэмильтоновой системы с двуми степенями свободы. Сначала рассмотрим:случай разных частот ы,= ы =ы , когда определанное уравнение имеет корни 6,=6,= ', ', = б„=-~',>. Заметим, что согласно используеюй з $1.3 терминологии (см.

(1.3.13)) этот случай юяяо таые назвать случаем резонанса второго порцыаю м, - ю ~, = б . В завяеяюети от коеффнцяентов ясходного квадратыювюогс гамыьтснизыа и„здесь воэмоивы два полслучаяю 1) опредекяэщм матрица ( А - б Е„) линейной еистеюаю (1.4.1) ямеет ыепроетю мемевтарню лелители, т.е. гу (А-ык,) = 5— зто езтувцня "общего полонения" дэя ланного саучаяю 2) мементоуэюыз лелнтеля простые, т.е. юю (А- юшб,,)=2- зюйюсяденвМ юлсююуююм )(эя поделучая непростых маюеытарвых делитмей норэальной форюсй квадрвтичюго гаыльтоняаыа и в вещественнюэю переменеи ыаэываетез вюпювкеняе и = — У()ю' +р' )+м(у,'р' — )~'р'), Ю.=+ 1, (1,4.11) Соответетвуищм норювэизумэы матрица посте некоторьщ преобразований монет быть записана в внхе л-((б,я„-ь,х, ю(б,у б юю ), ю(б,юг,-б,л;Ц, (1.4.12) юю =- юг„; ~ — произвольные нетривиальные рзищюия уравнений (А- юип, ) юэ, = ю), (А- ъю~е„) ююэ = юэ, .

(1.4.13) После вспомогательного канонячеекого преобразования ~ =о",оу, р'=,с (,'=ю,г) (1.4.14) валентности (8~ Г = Ю, нормальны форма (1.4.11) окончательно прююет вил = -'С)," Р') (У, Р, - д, р,) . (1.4.18) Такая но)вюальым фо)вюз квадрвтищюого гамильтоыаыа ври нелинейной нормализация по схеме $1.3 приводит к изменщпюи вяла уравнений (1.3.11), мютекээюяюх зз операторного уравнены (1.3.2). Однако и в этом случае нормальыая форма нелинейной задачи макет быть вычиелеыа. Результат приведен в $1.5 для системы с трама етепеыэми свободы.

для поделучая простых мементарнмх делителей случая ревонанса второго порядка яордзнова форма б матрицы А являетез диагоыальыой, Следовательно, норммьная форма задаетса еоотнояевием (1.3.4), а нормализукщая матрица вычисляется по формуле (1.4.9), в которых в = 2 й3 =ю =~). Последнее соетновенке приводит к яехоторону услоавенвв нормальной фо)зюы (1.3.29) в ее реэонанеюй часта (1.3.30). Результат выписан в $1.5.

21 Таперь рассютрии едучий нулевой частоты ю, = О, «, ° О, называвмый таве случаем резонанса пврвого пори)па. Будэм здесь рассматривать только полслучай "обяего полоиеняя": опрэдаляимвя матРЯцв ( А — без ) имеет нвпРостме элвмвнтвРнмв далитвли, т.е. -гЛ'= 3. Тогда но1вювльной форюй квадратичного гвмнльтониана называется выракэнвэ (1.4.16) Нориализукмая матрица л". Егээг ' 4, Э, У~ Ег Ег ~э~ ~! (1.4.17) ~ ~и,. 4И ° 4="е'~~,. ~3.

,'Р%;7Й;~Г. 4=»1 тле а,=ю,~гх а, м, - ремвннл урввнэний (А-газ,Ец) а,=д, 'Аа =О, Аа~=а . (1.4.18) Преобразуя (1.4.16) с поюньв вакантного преобрвзоввняя (1.4.14), получаем окончвтвяьнув нормальиув форэу икалратеиеого гамильтоыиана: (1.4.19) Функции (1.4.19) опять моиет бмть аояставлена в опервторноз уравнение (1.3.2) и посла его реиенка майдана нелинейная нормальнаи форма (см.

% 1.5). )(ругав случаи распределенвя собственных значений ма~рицы А такяэ изучены, но ях рассмотрение выходит зв рамки данного пособяя. В заклвчэние мого параграфа опииэм простой аналитический способ построэнкя собственных и прмсоекинэнных векторов для систем с Лвуим степанами свобо>в. Применение этого способа поэволкет избавить трудоемкой пропаду)в ремения систем линейных уравнений, которая, казалось бы, необхолииа лля нахоидэния собствэннмх к присоеяиненных векторов матркцм А .

Итммк слонима, оквзывазтся, вместо ранения систем уравнений (1.4.10), (1.4.13) илн (1.4.18) мокко получить соотвэтствукмие векторы и~ в результате ливь опэрвцяй словения и умновеиия некоторых иатрац. )(арвктэристический (определяищий) многочээн (1.4.4) имеет эид Ф 2 э х Л~Е>=б ~е,б,~е,, г =~),ы„, е При этом матрица, присоединениал к определяхмей .12 ', будет такой: л~й=б"л < б л;~эх елг О э (1.4.20) Х=Е, 3=А, Х„=А:;с Е У=А~А ',, Е) 0 ' 1 В случае простых собственных значений для приведенной присоединенной матрицы ~12) имеем г М =Х(б), У г ( бз) = Г (Е = ),..., г~) . (1.4 21) Из (1.4.20) получаем Ке У((м,) -А (А -~ог Е), (1.4.22) 1т г'(Еи~~) = ог (А ь чг~~ Е) . (1.4.23) Тогда эа вектор Р, в нормаяизукней матрице (1.4.9) мокко принять лвбой нецулезой столбец матрицы (1.4.22), а за г, - столбец с тем ке номером в матрице Ц .4.23). Векторы Р~ и Х получаются аналогичным образом яз фор(ул (1.4.22)-(1.4.23) после замены м ог / Прк резонансе второго порядка для подслучая непростых элементарных делителей опрахелякней матрицы ( А - бе ) векторы я, в Е, получаются аналогично из (1.4.21)-(1.4.23), где с ~,=м =ог.

)(зя опрепеления прксоединенных векторов рассмотрим производнув г"( б) приведенной прясоединенной матрицы. Иэ (1.4.20) получаем Ка г" (Ы) = А -и Е, 1иъ У (йг) = 2огА . (1.424) Тогда за векторы .ч,, Х в (1.4.12) надо принять столбцы матриц (1.4.24) с теы ке номером, которнй быя выбран дла столбцов Р,, 5 . Наконец, пря резонансе первого порядка дия подслучая нейростых элементарных делителей векторы )г,, А; в матрице (1.4.17) определяются яэ (1.4.21)-(1.4.23), где м, О, ~, > О. )(злее для нулевого собственного значения получаем У~п)=А(А ши~, Е), (1.4.25) уфо)- А'~ м,' е (1.4,26) Тогда эа вектор и, в (1.4.17) надо принять любой негулевой столбец матрицы (1.4.25), а эа ю,, - столбец с тем ие номером в матрице (1.4,26). С точкк зрения вычислительной реализации (на ЭВИ) этого простого алгоритма слова "любой ненулевой столбец" означают, что лучше всего выбирать такой столбец, дхн которого сумма модулей его элементов максимальна.

Итак, силачу линейной нормализации мокко считать конструктивно решенной. ~.б. Ь~ .,щ., „э ь~,г ..д~ш„. эьчеа г ,точ чэр г рафе для спстчм с дэуиэ и треки степенями свобс.л ппьп ш,.ь х прээск список нормальных форм и их коэффициен.с , и йэ;- ",г ", чпггеэ коэффициенты гамильтониана, квагцатичназ .г- ксгэчэ я чормальнсй форме. (1.5.2) (1.5.3) Вмчяслительные форцулы являмтоя явнгагк (не резуррентнгам) и дает возмоиность для твимх гаыязьтонових систем создать экономные о точки зрения расхода памяти и времени счета ЭВМ алгоритмы.