Попов (Попов П.М., 2000 - Организация автоматизированных систем подготовки авиационного производства), страница 13

Если.' г = О, то линейной корреляционной связи между х и у нет, но нелинейная зависимость между х и у может существовать; если ~г~ = 1, то между х и у имеется жесткая функциональная зависимость. Коэффициент линейной корреляции для двух переменных х и у определя- ' ется по следующей формуле 55 Коэффициент множественной линейной корреляции Я считается значи-.:' мым, если его значение удовлетворяет неравенству А > А, . Коэффициент линейной корреляции г используют в основном для опре-: деления статистической взаимосвязи линейно зависимых переменных.

Для оценки же статистической взаимосвязи нелинейно зависимых переменных, следует использовать корреляционное отношение Пирсона «1,.(для зависи- «~ мостихоту) и ««(зависимостиуотх) 2 ! ,'««««!~у «х — 11'~2 «=! 1ж — 1)б' Здесь |, 1 — число интервалов, на которые развиваются ординаты х и у; и«; и«' — число наблюдений; Х/у«, У/х — условные средние: 1 ' -- 1 Х у; =, ~~~,х;; У х- = ~~»" у, ««« «««.

! ! Для корреляционного отношения всегда справедливо неравенство О < ««< 1. При «« = 1 между переменными х и у имеется детерминированная: функциональная зависимость при «« = О зависимости между переменными нет: (при этом надо иметь в виду, что из равенства ««,: = О не следует «7 = О,: 'У 'х и наоборот). Всегда ««> т~, причем в случае линейной корреляционной зависимости.,: «1=~г~ и ««, =«1~, . Чем хуже выполняются указанные соотношения, тем: У 'х больше нелинейная зависимость у от х. 3.2. Методы регрессионного анализа систем автоматизированного проектирования и управления Для аппроксимации функциональной зависимости между переменными х и у, значения которых заданы в виде статистических распределений, можно использовать любую функциюфх), называемую регрессией у на х.

Перемен- .' 56 ную у при аппроксимации статистической зависимости у от х функции фх) находят из уравнения у = / (х)+ Ь (х, у), где Ь,(х,у) — поправочный член, определяемый погрешностью аппроксима-. ции. При построении математических моделей технологических и организаци-. онных процессов используются в основном два вида аппроксимации стати-. стической зависимости у от х: линейную (3.4) и параболическую у = ах + Ьх + с . г Для линейной регрессии а=р, =г, Р /5,); (3.6): Ь = у — р ,х . (3.7) Здесь р,„— коэффициент линейной регрессии у на х, Полученные по формулам (3.6) и (3.7) коэффициенты уравнений миними- зируют среднеквадратическое отклонение М(у — (ах+ Ь)) = ш1п.

Математическое ожидание квадрата отклонения реальной зависимости у(х) от ее аппроксимации М(у — (ах+ Ь)1 служит мерой точности аппрокси- 2 мации реальной статистической взаимосвязанности выбранной регрессион- ной функции. При автоматизированном вычислении регрессий для корректировки ма- тематических моделей процессов в системах управления уравнение нелиней- ной регрессиифх) удобнее определять по ортогональным полиномам Чебы- шева Р,(х): у = Ь Р (х)+ Ь, Р, (х)+ ... + Ь„Р. (х).

(3.8), Рекуррентность соотношений, используемых для определения полиномов: Р,(х), позволяет облегчить программирование вычислений регрессивных полиномов высоких степеней автоматизированным методом. В уравнении (3.8) . коэффициенты при ортогональных полиномах Ь, определяются по формуле Ху~Р (х 1=1 ) =0,1,...,л. / У ", Р (х ~о~ 1=! Здесь жь — вес измерения х,, определяемый из соотношения со~ . аког . 1~~2,1 ~~2 .

„1~~2 Истинные значения параметров Ь, с надежностью Р лежат в доверитель- ' ных границах /г 1 57 при нахождении которых значение г при заданном числе степеней свободы 1 = Ь вЂ” у' — ) определяют по соответствующим таблицам. Значения о' и Н, вычисляются по формулам Н =",>,Р (х ). с=1 Кроме рассмотренных выше регрессионных полиномов достаточно часто используют регрессионные полиномы вида у=а~+~а,х, +2 а„х, + ~ а„х, +..., 1З,9) где х, — нормализованные факторы; ао, а„а„, а„— коэффициенты регрессии; ~; у' = 1, 2, З,...,А — номер фактора; у' > /с.

Коэффициенты регрессионных полиномов вида 13л5) и аналогичным ему. можно определить методами математического планирования эксперимента. 3.3. М етоды математического планирования эксперимента в автоматизированных системахуправления Для многск~жторных процессов, математическая модель которых соответствует зависимости МРт(1)= МРт(1ь12„,1„), стагистическую взалмосвяза~носгь фжторов можно определить методаии математического плачировачия эксперимента Различаот три типа жспери мента активный - искусства~но изменяется ход технологического процесса с цепью получить его математическую модель; пассивный - устачввгивается связь мвкду технологическими фектораии по результатаи наблюдений за самопроизвольными изменениями технологического процесса смешанный (активно-пассивный) - часть упревляемых спекторов изменяют по своему желанию, а остальные изменяются самопроизвольно.

При построении математических моделей технологического процесса если из теоретических сообракений о процессе нельзя сделать зжлючение о хержтере взаимосвязи макду перемачными, математическую модель их вз имосвязвнносги выбираот априори. Аналогичной зедачей корреляционного и регрессионного а~агиза в качестве тжих моделей используются полиномы первой и второй стазене~. В частности для двух переменных 4жторов зти полиномы могут иметь вид 58 У = йв + й|Х| + й2Х2,' (3.1О) у = йо + й|Х1 + й~Х2 + И1~Х1Х2 + й11Х1 + Й~ВХ2 Нелинейность вза~мосвязи технологических и орга~иза.(ионных фа<торов приводит к тому, что нелинейная модель (3.10) обычно имеет малую адекватность для всей облжти изменения технологических и Организационных фекторов, применяется В ОснОВнОм для описа~ия малых обпа:тей факторов пространства, в которых нелинейными зависимостями можно пренебречь.

Чтобы упростить за1ись и Обработку результатов, полученных при проведении активного эксперимента, масштабы переменных выбирают тж, чтобы верхний уровень фектора соответствовал (+1), нижний (- 1), основной - (0). Для натуральных непрерывных переменных это требование нормировк и выполняется путем преобразовзния абсолютных значений технологических фа<торовх вотноситепьныех; х;=(Х-х;,)Л; гдех;, - основной уровень переменной, относительно которого ведется ее взрьировение; 1, — интервал мрьирова5ия. Различаот два вида жтивного эксперимента полный факторный и дробный фвк торны й.

При полном фекторном эксперименте реализуются все возможные сочета~ия уровней. Число опытов М для получения оценки состояния технологического и организационного процессов при этом рюно (ч=2", где к — число варьируемых переменных. В четности, для трек переменных необходимо провести восаиь опытов по матрице пленирова~ия (табл 3.1). Табгица 3.1 Мат рица пганирования дгя т рех переменных (8 опыт ов) Значения у~ — уз Оптимизируемого технологического фактора у при трехфвкторном жтивном эксперименте соответствуют его значениям в вершинах 59 куба факторного пространства (области существования технологического' процесса). По результатам полного факторного эксперимента находят коэф- ' фициенты аппроксимирующего полинома (3.10) а,=,'> ух,/Ж, (3.11) ~=! где 1' — номер фактора (1' = О, 1, 2,...) Фактор х„при 1' = О называется фиктивным фактором и вводится для' удобства вычисления коэффициента а0, входящего в математическую модель.

технологического процесса (3.10), При введении фиктивного фактора в математическую модель технологического процесса модель будет иметь сле-' дующий вид у = /(х0,х1,х2,..., х„). (3.12) ' При полном факторном эксперименте появляется возможность учесть без, увеличения числа опытов взаимодействие технологических факторов.; В этом случае математическая модель технологического процесса (3.12), примет вид У 120 ХО + 121Х1 + ~22 Х2 + 1212 Х1Х2 ' (3.13) Коэффициент а, в выражении (3.13) вычисляется по формуле (3.10),. а коэффициент п, А' а =2Ух /Ж, ~=1 где т и 1' — номера факторов (т, 1' = 1, 2,..., А при т ~ 1).

(3.14); 3.4. Методы вариационного исчисления для анализа объектов и систем управления нием Этот метод применяется в тех случаях, когда ставятся задачи оптимиза- ' ции управления по априорным математическим и электронным моделям,. и он сводится к определению неизвестных функций у(х), обеспечивающих: экстремум определенных интегралов вида ~2 1 = Яу!(х),у2(х),..., у„(х);у', (х),у'2 (х),..., у'„(х);х~сй, (3.15) Х! где и = 1, 2,..., Ж. Известно, что вариация ду функции у(х) переменного х есть функция от х,, определяемая при каждом значении х как разность новой функции 1'(х), и функции у(х): ду = 1'(х) — у(х).

Вариация ду, вызывая изменение функциональных связей между х и у, приводит к изменению функции Е(у1(х),у (х),...,у„(х),х~. Приращение ЛГ, соответствующее вариациям 'о1,62,...,0„, определяется следующим выраже- ' 60 ЛЕ = Е(у, +4г,;у +ф~;...;у„+ф„;х) — Г(у„у,...,у„;х). (3.16) Если функции у(х) и д(х) дифференцируемые, то вариация производной: у(х) есть ~ ' = о — ~- = ~ (Ф) = г '(х) — у' (х). (3.17) Необходимым„но недостаточным условием экстремума функционала я (3.1З) ,=олг()У+ 1) ' где у =п~.— 1, является х2 ~Р х2 х2 дХ = )БРА = — ф х~ ~~у х~ х~ (3.19) ' для произвольно малой величины ду Основная задача оптимальных систаи управления, решааиая методаии ва2иационного исчисления Щ, состоит в нжождении тжой функции упрюления, которая минимизировала бы функционал (3.15) при следующих условиях: 1.

Зжрепленных грачичных точкж; 2. Подвижных граничных точках; 3. Минимума отклонения выходной переменной от заданного значения. Варизционные задачи при перечисленных условиях в большинстве случаев решаотся численными методами дифференциальных уравнений. Тем не менее ряд пржтически вакных результатов можно получить и аналитически. Задача нжождения минимума 4ункционала при зжрепленных конечных точкж .(= ~~(у,у',~)ог ~о интерпретируется кж нахождение оптимальной траектории движения обьекта обеспечивающей минимум отклонения скорости у'от зад нной.

Экстремум функционала 1 нжодится из решения дифференциального уравнения, соответствующего обращению в нуль ва2иа2ии ~ункционапа ж 1йУ вЂ” (й(йфдГ!дУ') = О1 (3.21) Уравнвчие 13.21), определяющее оптимальную траекторию у(1), является дифференциальным уржнением Эйлера-Лагра-жа и может в ряде случаев решаться аналитически. Задача нахождения минимума функционала при подвижных конечных точках (одна или обе точки перемацеются) обязагепьно имеет решение в случаях, если функционал (3.21) минимизируется при неподвижных конечных точкж. Кла2с функций, удовлетворяющих минимуму функционащ ра2ширявгся, тж кж положение конечных точек не флксировачо.

6! Задача нахождения минимума функционала при условии минимума отклонения выходной переменной от заданного значения сводится к решению следующего уравнения ~Р'уг/,"-Рхд' )!ц'х-(с~'йх /(Рх,'г/',~= О, (3.22) где Р'~,д',, у'х — частные производные дР/ду,дд/дх и дд/оу. Задачу решают для объектов и систем уравнений, которые описываются функцией у'(/) = д(у, х) при начальных условияху(/О) = уо. Оптимальную функцию упржления у(() нзкодят из уравнения (3.22) численными методами.