Попов (Попов П.М., 2000 - Организация автоматизированных систем подготовки авиационного производства), страница 17

Из уравнений (4.24) и (4.25) могут быть получены формулы для диспер- ' сии длины очереди и времени ожидания. В момент времени 1„когда р становится меньше единицы, система возвращается к работе со стационарной длиной очереди. В отличие от начала анализа работы, когда длина очереди У=Хо, в момент времени г„длина очереди Ж=Ж . Поэтому необходимо определить Аг=г„-~, — время убывания очереди до "средней" длины Аг~ — момент времени, когда очередь становится установившейся длины.

Анализируя случай уменьшения очереди аналогично случаю ее нарастания, получаем уравнение 11 —,и1 =,и1(р — 1) . Учитывая, что р <1, а знак минус соответствует убыванию очереди, получаем У= их(1 — р). (4.26) В данном случае Ж вЂ” число запросов, которое необходимо обработать до того момента времени, когда очередь достигает, то есть Ж=Ж „— Ж, . (4.27) Время уменьшения очереди равно: Л т = (Ы... — 1~„) 1(р(1- р)1 .

(4.28) Зависимости (4.21)-(4.25) определяют динамику изменения очереди в узлах при р > 1. Однако для выявления полной картины процессов в узле необходимо получить зависимости, описывающие процессы в узле при р = 1. Для получения явных зависимостей целесообразно ввести некоторые дополнительные предположения - о характере входного потока, поступающего в узел. Процессы в узле при критической нагрузке. Учитывая, что источники информации АСУ ТП передают конечное число информационных блоков, целесообразно сделать допущение о конечном числе запросов, проходящих через узел за время 11О, ~„/.

При определении параметров узла при р =1 используем метод анализа интервалов занятости. Для анализа процессов в моменты 1, ~7=0, 1, ..., л), отличные от времени ' выхода очередного запроса из узла, введем дополнительный параметр у, изменяющийся от ~, до г„, непрерывно. В такой постановке можно использовать метод дополнительного параметра. Основные соотношения, определяющие процессы в узле прир =1, определяются следующим образом.

Пусть в момент времени 1=0 процесс начина- 79 ется при наличии в системе У;>О запросов, один из которых поступает на об- ' работку. Во время обработки этих запросов могут поступить и присоединиться к очереди другие запросы. Обозначим через Ь; время от момента «=О до первого освобождения узла. '. Тогда в соответствии с приведенным определением Ь, — период занятости ' (случайная переменная). Обозначим через «77(«)>0 (0<«<Ь) число запросов в системе в момент времени «.

Построив дифференциальные уравнения ~131, определим следующие вероятности: Р(«««,7,«)«17 = Р[т(«) =И, 7 <~< 7 +Н7, т(««) > О для всех «, (О < «, < «) ! т(0) = 11', 1<т<Ж, где Р, — вероятность того, что в момент времени «период занятости 1-го типа продолжается и в узле находятся и запросов. Запрос, находящийся на обра- ботке в узле в момент времени «, обрабатывается уже в течение времени г,: ,7'<г<7'+сф' Ь(«)~ =т<Ь, 1«~ (О)= > Функция Ь;(«) — вероятность того, что период занятости 1-го типа оканчивается в интервале («, «+«1«) (распределение длительности обслуживания). Обозначим Р(т, 7, «) =Р«~т, 7, «). Составим дифференцированно-разностные уравнения состояния системы путем анализа возможных переходов системы в различные состояния за ин- .

тервал («ь «7-,,з) Р(т, У+ А«+ А) = Р(т, У,«)[1 — [(М вЂ” т)Х+ «1(Х)) Я+ ч(х) = 1 — ~В(и)Ыи о (4.30): или В(у) = «1( у) екр[ — )' «1(и)[Ыи, о где В٠— плотность вероятности длительности обработки. С переходом к пределу (4.29) при условии Л вЂ” +О получаем выражение (4,31) (4.29) + (1 — от, )М(Н вЂ” т + 1) ЛР (т — 1, у,1) + о(А) для т>1, у>0, причем Йт [0(А) /А« = О и, кроме того, ~-~в 1 лри «' = 1'; «т„= О««ри«~ 1', где ~«(у)«~+о(«) — условная вероятность того, что момент окончания обработ- ки запроса лежит в интервале (у, у+ф при условии, что запрос не обслужен ' за время 7«. (4.35) 0<т<Ж вЂ” 1 Для компактной записи уравнения (4.37) введем функцию П В1"(1 — 1)Я+ 5'] при т~-1; 1(т,Я= ~ а 1 — В(И+я) 1 (4.38) .; при и=-1 и функцию вида при т~О; (4.39): В((1 — 1)Я + 5] 1(т,5) = ~ 0 1 — В(И + л) 1 при и=О, где В(у) — плотность вероятности длительности обработки.

Очевидно, что функции ~'(т,5) и /с(т,5) связаны следующим образом Й(т,Я) 1'(и — 1,5') Р'(т,Я) 1 — В(Я) . 1 — В(тЯ + Б) В(тХ + Б) Используя выражения (4.39), соотношение (4.37) можно записать в виде 80 й' — Р (тп, у, ~ ) + — Р (т, у, ~) + / (Л" — т) Л + г)( Х)]Р (т, )~, 1) = й' И~ (4.32): = (1 — стт )(Ю вЂ” т+ 1)ХР„(т — 1,у,~) для 1<~<%, у>О. Система (4.32) является системой бесконечных дифференциальных урав- ': нений, так как исходный процесс может иметь бесконечное число состояний.; Граничные условия имеют вид Р,(т,о,~) = ~Р,(т+ 1,К,1)г)() )г1); (4.33) Р(М,о,~) =0; (4.34) 1, = ')Р,(1.Х,т)7(Х) 1К и Условие (4.34) говорит о том, что запрос после обработки не может не-,.: медленно снова встать в очередь. Решение системы дифференциальных уравнений узла комплекса: АСУ ТП.

Решим системы (4.32)-(4.35) при начальном условии Р,(т,),о) = ок,д(у) (4.36) ,' где Б(т) — дельта-функция Дирака. Используя метод дискретных преобразований и преобразуя выражение:: (4.25), получим 1(,З) 1-В(л)~,~~ 1 )1(1-1,Я) ',~~1)'1(1-1,Я) ' (4.41) ' О<т<Х вЂ” 1 Для того чтобы вычислить Ь;(5), в уравнении (4.41) положим т=Ж-1, и, использовав соотношение вида а,(Х вЂ” 1,5) = — — — ' Ь,(5) В1"(Ж вЂ” 1)Л+ 51 получим М ',> .

(4.42) Ь,(5) = Тогда из (4.32) и (4.41) имеем — +й Р,(~,~,Б1 = 2,( — 1)'~ )~,(У вЂ” 1,5) ~=о х ехр — ((У вЂ” т+1)Х+л) — ~ц(и)~1и, 1< т < Ж, о (4.43) ' (4.44),' 1'(т — 1,5) где а,(т,5') = 1 — В(тЯ+ Я) Х 1 1"(1 — 15) ' Х 1 Р(1 — 1,3) О <т <Лт, а Ь, (Я задается формулой (4,42), при этом производящая функция П,(а, у 5~ ' и функция Р1(т, х,э) имеет вид х М-1 П,(а,у Я = ~ а Р(т,х,51 = ',~,Й '(1 — а)1(1 — а)' а,.(1',Я) ехр1-(1Л,+БД1. (4.45) и~=! 1=о Если Р,1(т, К) представляет собой преобразование Лапласа плотности ве-: роятности поступления запроса на обработку в течение периода занятости при очереди из (т-1) запросов, то соответствующая производящая функция, имеет вид П,1(а, Я) = ~~> а' '(1 — а)'а,(1, Я).

(4.46) ' ~=о Если Р(т,1)(1 < т < У) представляет собой совместную вероятность того,, что в момент времени г продолжается период занятости и в системе находят- . ся т запросов независимо от того, сколько времени уже длится обработка, то П,(а,5) = ~~а"'Р (т 5) = ~~> и 1(1 — а)-'а,(1',Я) — - —, (4.47) ' — 1- Ь(11+ 5) 1= Я+5 Из выражения (4.42) путем дифференцирования при 5=0 могут быть по- ', лучены все моменты случайных величин„характеризующие рассматривае- мый процесс.

82 Рассмотрим частный случай, когда период занятости начинается с посту-. пления запроса при 1=1, Положив г'=1 и заменив Ь;(Ж) и Ь(5), получим из (4.42) ~'Ж вЂ” г 1 ВГК)+ Гг- В(~)1 ~ — Ь(Я) = (, 1 ~(1 - 1,~) Х вЂ” / Д~ = В~5)+1" 1 — В(К)] ,'~ 1 Г~1-1„6' (4.48) й В('Ы+ Я) при тФО; где Р(М,Б) =,,1 — В(И+ Я) 1 при т=О.

Дифференцируя (4.48) по Я, получим среднюю длительность периода за- нятости ~'-~(Ж вЂ” 1'1 1 Е(Ь1= ~ о 1, 1 ) г('1,) и ~„ (4.49): при и<со; при о=со, В(И1 ~п при тФО; где 1 (т) = (~, 1 — В(11,) ~1 при т='О. Тогда также можно вычислить остальные моменты. При У -+ о и Л -+ О: таких, что ЛЯ -+ 1,, получим из (4.49) выражение вида (450) (4.51) при Х;и<1; СО при Х;и>1, что соответствует периоду занятости для модели с бесконечным источником' требований.

4.4. Определение и анализ параметров исходного процесса в узле АСУ ТП Назовем исходным процессом в узле АСУ ТП процесс, который развива-'. ется во времени поочередно на периодах занятости и незанятости узла обработки запросов. Выше были получены параметры процесса на периоде занятости. Используя зависимости (4.49) и (4.51), с помощью методов теории восстановления; ~171 получим из процессов на периоде занятости исходный процесс. Предположим, что исходный процесс начинается в момент 1=0 при наличии в системе 1 запросов (72О), а запрос поступает в узел на обработку. 83 Тогда, если ~~ь ~~...1 — последовательность моментов времени, в которые начинаются периоды занятости, то последовательность отрезков времени: ~ А~~ = ~~ — ~~, 1('к > 2) представляет собой последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин, каждая из которых имеет: плотность у ('~ ) = Ь(1)Х ехР( — И).

(4.52) Следует учесть, что каждая величина г~ф > 2) является суммой периода занятости, начинающегося при наличии одного запроса, и последующего периода незанятости, тогда гу'Я) = Ь(Я) . Л (4.53): 1+5 В соответствии с зависимостями теории восстановления т, (величина от-, резка ~„до первого начала периода занятости) зависит только от начальных; условий. Если К1(1) означает плотность величины т, для процесса, начинающегося, при наличии в системе 1 запросов ~7.>0), то Ь , й) ехр(' — Л~) г1(1) = Л ехр1 — Л~) (4.54) ' при 1>0; при ~=О.