победря (Победря Б.Е., 1984 - Механика композиционных материалов), страница 46

(2.34) 2 2 Таким образом, в вязкоупругом стержне, даже однородном, возникает дисперсия (вязкая дисперсия), причем гармонические плоские волны затухают. Явление фильтра отсутствует. Возникающая в упругих композитах дисперсия носит название геометрической дисперсии. Упражнение 2.1. Показать, что для малой вязкости, т. е. малых углов вр (1.4,23), из (2.34) и (1.4.24) следует ыУРо(У" + о') го Урв (У «+ ~') (2. 36) Ф 2 о 1 С с оыттог (ИР!3 о' в о Поэтому из (112) следует выражение для длины волны Л и фазовой скорости Л= с' = (2.35) е г' ов1.ге 1 сов — вг рв1,г*1 сов— % ч $3. Волновой фильтр В слоистых композитах наблюдается явление непропускания некоторых коротких волн (или высоких частот) в направлении, ортогональном слоистости.

Это явление названо исследователями эффектом волнового фильтра. Рассмотрим, например, упругий стержень, выполненный из двухкомпонентпого композита, представляющего собой периодическую структуру. Пусть длина ячейки периодичности равна 1, «объемная» концентрация одного из компонентов у, а компоненты являются однородными и характеризуются модулями упру~ости и плотностями Е, р или их комбинациями / Еа Ессс (3.1) 1 Еа ' Е,сд ' Тогда для каждого компонента может быть записано волновое уравнение йсиа дсиа сх — "= — '", а= 1,2, (3.2) дх жс а на границе раздела компонентов Г (4=0 и ф=у) должны быть выполнены обычные условия идеального контакта дис дис ис = их. Ех — = Ех —. дх дх (3.3) Е,=0,515.10с кс; р,=0,137 «г ем~ смс (3.5) ра= 0,29 Е = 0,39 107 смс при у=1/2 приведен в табл.

3.1. Таблица 31 0,109 — 0,103 0,099 — 0,093 0,091 — 0,087 0,081 — 0,063 0,059 — 0,055 0,053 — 0,011 0,009 — 0,007 2,440 — 1,048 0,815 — 0,524 0,458 — 0,349 0,319 — 0,262 0,244 — 0,210 0,156 — 0,144 0,138 — 0,126 0,122 — 0,113 300 После подстановки в уравнение (3.2) выражения (1.26) получим дисперсионное уравнение сов й = соа !1 — + — 7! си — в1и — з1п с т "! — т т (! — н)' та (1 — т)м (3.4) 1 с1 сс ) 2н сс с, Спектр недопустимых длин волн Х=2л/с для композита эпокснд — бор Как видно из табл.

3.1, при длинах волн больших, чем 2,5 длины ячейки периодичности, явления волнового фильтра не наблюдается. 5 4. Разрушение композитов Теория разрушения материалов является одним из самых важных разделов МДТТ, хотя вряд ли самым разработанным. Существует множество физических, кинетических и феноменологических теорий разрушения. Выделим два феноменологических подхода к проблеме разрушения композитов. Первый из ннх основан на применении критериев разрушения к анизотропной эквивалентной однородной среде.

Такой подход сродни теории эффективного модуля и довольно часто не дает удовлетворительных результатов. Второй подход основан на применении феноменологических критериев разрушения к каждому компоненту композита в отдельности. Такой подход требует знания мнкронапряжений, хотя бы по рассмотренной нами теории нулевого приближения. Рассмотрим критерий прочности вида Р(п) Г>У>г>». + Рф>п»вв+ ГЦ' „выпь>в „+ ...

= 1, (4.1У где Гм> — тензоры ранга 2(д+1), д=О, 1,..., называемые тензорами прочности (по напряжениям). Иногда критерий прочности удобнее записывать в деформациях 6 (е) = 6>'>е,; + 6>Де> е>н + 6Я „е;;еже „+ ... = 1, (4,2). где бм> — тензоры ранга 2(4+1), 4=0, 1,, называемые тензорами прочности (по деформациям). Разумеется, компоненты всех тензоров прочности должны быть. инвариантными относительно преобразований, описывающих некоторый класс анизотропии. Если материал ведет себя упруго вплоть до разрушения (хрупкое разрушение) или рассматриваются упругопластнческие простые процессы, то критерии (4,!) и (4.2) эквивалентны между собой. Если известны критерии (4.1) или (4.2) для каждого компонента композита, то нетрудно получить соответствующие критерии для эквивалентной анпзотропной среды.

Для этого достаточно в соотношении (4,1) выразить напряжения с помощью тензора концентрации напряжений А Я) (4.6,61) через напряжения, вычисленные по теории эффективного модуля, и результат осреднить. Тогда получим где (4.4). 301 ~<»> ( ш> ) ~>ц»мж (Р,'пр,(Ц А„м, (ф) Арчь, Ц)), Аналогично, для критерия (4.2) имеем афец+ аде;,ей + а5, „;, 'ме„'„+ . = 1, (4 5) где кц ав (б~вщ (ь) Вщ„~1(ь)) вчм (Ойле (еь) В„~му Ц) Врем (еь)) а3 ю<ай „®В„,~~(ив„ы'(в)В„„(ь)), (4.6) причем В($) — тензор концентрации деформаций (4.6.62). Упражнение 4.1. Используя выражения тензоров концентрации (5.2,25), (5.2.26), получить выражения (4.4) и (4.6) для слоистого композита. НЕКОТОРЫЕ ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ з !.

Метод осреднения Н. С. Бахвалов применил к исследованию процесса распространения волн в работе [81. $2. Рассмотрению воли в анизотропной упругой среде посвящена монография [1001. Обзор работ по динамике в теории упругих и вязкоупругих композитов имеется в [961. Метод осреднения к динамической задаче теории вязкоупругости композитов применен в работе [841. $ 3. Распространению волн в слоистых средах посвящены монографии [14, 1101.

Явление волнового фильтра исследовалось в работах [39, 401, Использованное в параграфе дисперсионное уравнение для стержня получено в [39, 1101. Достаточно полный обзор работ по колебаниям и волнам в слоистых ком-- позитах дан в [431. $4. Разрушению в композиционных материалах посвящена большая литература. Укажем, например, на обзоры [21, 56, 96, 971. Критерии разрушения в анизотропных средах рассмотрены в [4, 62, 96).

Метод осредиения к таким критериям применен в [23]. Литература 1. Абрам он иц М., Ст и чан И. (ред.). Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Мс Наука, 1979. 2. Аллам М. Н, М., По бед р я Б. Е. К решению квазистатических задач анизотропной вязкоупругостн. — Изв. АН Арм. ССР. Механика, 1978, № 2,, 19 — 27. 3. Арутюнян Н. Х, Теория ползучести неоднородно-стареющих тел.

Препринт № 170 ИМП АН СССР. М., 1981. 4. Ашкенази Е. К., Га ион Э. В. Аиизотропия конструкционных материалов. Справочник Л.:.Машиностроение, 1972. 5. Бахи алов Н. С. Осредкенные характеристики тел с периодической структурой. — ДАН, 1974, 218, № 5, 1046 †10. 6. Бахвалов Н. С. Осреднение дифференциальных уравнений с частными производными с быстро осциллнрующими козффициентамн. — ДАН !975„ 221, № 3, 516 — 519. 7. Бахвалов Н.

С. Осреднение нелинейных уравнений с частными производными с быстро осциллнрующнми коэффициентами. — ДАН, 1975, 225, № 2, 249 — 252. 8. Бахвалов Н. С. Осредненне процесса распространения коротких волн н. периодических средах. — В кн.: Теория кубатурных формул и вычислительная математика. Новосибирск; Наука, 1980, 3 — 11. 9. Б е р д н ч е в с к и й В. Л.

Пространственное осреднение периодических структур. — ДАН СССР, 1975, 222, № 3, 565 — 567. 1О. Болотин В. В., Москаленко В. Н. К расчету макроскопических постоянных сильно изотропных композиционных материалов. — Изв. АН СССР, МТТ, 1969, № 3, 106 — ! 11. 11. Болотин В. В., Новичков Ю. Н. Механика многослойных конструкций. Мл Машиностроение, 1980. 12. Б о р з о в а Т. В. О распределении напряжений при растяжении волокнистых пластиков. — Вести. Моск. ун-та.

Сер. матем., механ., 1966, № 2, 106 — 111. 13. Борзова Т. В. Концентрация напряжений в армированном упругом пространстве. — Инж. журнал, 1965, 5, 972 — 976. 14. Бреховских Л. М. Волны в слоистых средах. Мл Изд-во АН СССР„ 1957. 15. В ай ибер.г Д. В. Напряженное состояние дисков и пластин. Киев: Изд-во АН УССР, 1952. 16. В ан Фо Ф ы Г. А.

Конструкции из армированных пластмасс. Киев: Техн)ка, 1971. 17. В ан Фо Ф ы Г. А. Теория армированных материалов с покрытиями. Киев: Наукова думка, 197!. 18. Волков С. Д., Ст а в ров В. П. Статистическая механика композитных материалов. Минск: Изд-во Белорусского гос. ун.та, 1978. 19. Гаджиев М. Г. Эффективный гентор модулей упругости композиционного материала. — Деп.

в ВИНИТИ № 968 — 79. ЗГьь .20. Геогджа ее В. О. Некоторые вопросы теории упругопластнческой деформации анизотропных материалов. Мл Обороигиз, 1958. 21. Гера кон ич К. (ред.) Неупругие свойства композиционных материалов. Мл Мир, Г978. 22. Горбачев В. И. Об упругом равновесии цилиндрической неоднородной по толщине трубы под действием поверхностных нагрузок к перемещений, — Проблемы прочности, 1979, № 5, 79 — 83. 23. Горбачев В. И., П обед р я Б. Е. О некоторых критериях разрушения композитов.

— Изв. АН Арм. ССР. Механика, 1984, № 5. 24. Г о р ба ч е в В. И., По бед р я Б. Е. Об упругом равновесии неоднород. ных полос. — Изв. АН СССР, МТТ, 1979, № 5, 111 — 1!8. 25. Г р и гол ю к Э. И., Ф ил ьш т и не к н й Л. А. Перфорированные пластины н оболочки. Мл Наука, 1970. .26.

Г р игор ян С. С. Об осредненни физических полей.— ДАН, 1980, 254, № 4, 846 — 850. 27. До роги яки В. В. О плоской деформации цилиндрической ортотропной трубы. — Изв. Арм. ССР. Механика, 1980, 33, № 4, 77 — 79. 28. До рог инин В. В. О плоской деформации вязкоупругой слоистой трубы. — Механика композитных материалов, 1983, № 1, 165 — 167. 29. Дево Ж. Функциональный анализ и механика сплошной средм. — В кил Теоретическая и прикладная механика.

Мс Мир, !979, 323 †3. .30. Е д а к о в А. В. Численное решение задач о равновесии слокстого упругого параллелепкпеда. — Деп. в ВИНИТИ № 3637 — 82. 3!. Ж игу н И. Г., Поляков В. А. Свойства пространственно-армированных пластиков. Рига: Зинатие, 1978. 32. Ив а ион С. Г. Расчет структурных напряжений в некоторых полкмерных композитах с регулярной структурой. — В кнн Теория механической переработки полимерных материалов.