победря (Победря Б.Е., 1984 - Механика композиционных материалов), страница 49

Тог- да можно ввести локальный базис (коварнантный) дг ду! (1.52) и фундаментальную матрицу а„=й! й!, е1!у„)= — учао. (1.53) 313 Как видно из (1.44), для квазилинейной тензорной функции аа и а! зависят только от двух инвариантов. Если же квазилинейная тензорная функция является потенциальной, то из (1.42) и (1.43) следует, что аа и а! не зависят от третьего инварианта П1. 3. Пусть л — единичный вектор внешней нормали к регулярной замкнутой поверхности Х, ограничивающей односвязную область У: а=ай,=аф, (1.55) где а' — контравариантные, а а! — коэариантные компоненты вектора а.

Символамн Кристоффеля второго рода называются величины Г' (у', у', у'), определяемые следующим образом: Г = — а( — + — — — ). 1 н днев дум утп (!.56) 2 ~ду ду ду~ )' С их помощью вводятся так называемые коварнантные производные ковариантных и контравариантных компонент вектора а и тензора Ь: ~7~а~ма —" + Г~~а~, ду~ даС ~р,а~ ж — — Г~па„, ду~ т,)Ь дь' +Г,Ф +7~4;. ау! (!.57) (1.58) (!.59) причем Г„= — д ! — '. дум 2 дуа (1.60) В криволинейной системе координат ковариантные производные компонент вектора образуют некоторый тензор второго ранга, т. е.

объект, инвариантный относительно преобразований перехода от одной криволинейной системы координат к другой. (Частные производные компонент вектора, вообще говоря, тензора не образуют.) Путем операции симметрирования по двум индексам ауи = — [а'у~уй ж — (ам + ап) 1 (1.61) 2 формулу (!.59) для симметричного тензора Ь можно переписать в виде 7,.Ьи = дам + 2Г(Ф,Ьла (1.62) дуС 314 Матрицу, обратную к фундаментальной, обозначим через й'~,н введем контравариантный базис по формуле й' = йфОг (1.54) ' Тогда каждый вектор а(у', ут, уз) может быть представлен в ви- де Аналогично (1.61) вводится операция альтернирования по двум индексам а1О1 = (а,' Д1О1 ~ — (໠— а;,).

, 1 2 (1.63) В частности, для того, чтобы тело, в котором введены криволинейные координаты у', у', уз, принадлежало трехмернс)му евклидову пространству, необходимо выполнение условий .1 — Г~ + РЗ",1 = О. ду~ )цц Если криволинейная система координат является ортогональной, то ум= й,~=О, если 1чь1; )Г~"= 11~щ, . (1.65) Физическими компонентами вектора Ь или тензора а в ортогональной криволинейной системе координат называются величины Ь|е, лен, отнесенные в каждой точке к ортонормированному базису е„е,®г~. (1.66) Пряиоженне 11 Симметричные тензоры четвертого ранга Рассмотрим два взаимно-обратных тензора четвертого ранга С и 1. (П.1) С: ) = Л: С = б где О аг;=Сицбц = — аб„+ ац, атац, 3 о о ЬП=Смнбц = ЬЬ '+ Ьы, Ь~~ Ьц, (П.4) (П,б) 316 ( .= =т 1 СыцХцт„= 7нцСц.„, = — (Ьь Ьы+ быбь.)). Оба тензора обладают следующей симметрией: С, „, = С; „, = С„.,„= С„„, (П.2) 1нц = "'пи = АИ4= ~цн так что в самом общем случае имеют 21 независимую компоненту.

Подобно тому как всякий симметричный тензор второго ранга о а может быть разложен на шаровую часть ау и девиатор а (см. йриложение 1), тензор четвертого ранга С, обладающий симметрией вида (П.2) может быть представлен в виде комбинации двух симметричных тензоров второго ранга а и Ь, а также тензора четвертого ранга и, имеющего в самом общем случае девять независимых компонент и поэтому называемый напором: о а Ф Э Сцц —— — (2а — Ь) Ь„'бц + — (ЗЬ вЂ” а) (Ьсаби + Ь, ~бгь) + 5 — — 4 + — (Ьыац + а„бц) — — (Ь, 1бц + Ьцбц)— 2 — — (а,,б, ~- амЬ„+ агебц + а„б„) + 3 + — (Ьмбп + Ьнб;д + Ь~ьбц + Ьмбы) + лцао (Н.З) 7 а напор и удовлетворяет тождествам и,;а,бм — — О, п,;2,6;а = О. Точно так же можно разложить и тензор Л: ] е 1 71131 = — (2Р— 27) 61 1631 + — (82) — Р) (622611 + 611613) + 15 3О (П,б) + .

(611Р31 + 621Р11) ... (611121 + 63|11' 2 — — (р,„бп + р„б;а + р;аб„+ р;,бы) + + Йь 261'1 + 011613 + ~7уа611 + Ц1612) + г2~цао (П 7) где о Р11'= 11121631 + — Р61, + Р11' Р— = Ри 3 (П,8) о д11= — гз~нбм = — дб;; +д,, д=д„, 3 (П.9) а нонор Х удовлетворяет тождествам Л',13,6м =О, Лг„мб; = О. Между тензорами а и р существует зависимость * — аР+ аМР11=а„Р„= 3, 3 (П,10) (П.11) хотя они, вообще говоря, взаимно-обратными не являются.

Выберем в качестве девяти компонент нонора следующие: П„„, П,з„, П„„, И1112 П1113 П2312 Пзззз П3312. Пзззз. (П.12) изззз = — — пмм + изззз+ 2п„„, П„зз = — П,з,з = — (П1„1 + ПММ), и„„= и,з„— — — (пзззз + и„„), и„„= — и„„, и2213 = изма — — — (и„„+ П3313), П „, = П1323 — — — (ПМ„+ П2212), Пызз = П,з,з = — (П2222 + П2222).

(ППЗ) 317 Остальные компоненты (с учетом симметрии (П.2)) выражаются через них следующим образом: тензора С для ортотропного случая в С „= Л„С, = Л„ Смзз = Лв Свеев = Лв Смзз = Сдззз — — Л,, Свзвз — — Лз, Сззы — Лв, (П.14) так что матрица (1.3.10), соответствующая этому тензору„имеет вид гл ЛЛ, О О л, л, о о Л, О О 2лг О 2Л 1С) = (11.15) Для трансверсально изотропного случая в(П.14) и (11.15) нужно положить (главная ось трансверсальной изотропии — хз): Лг=Лз=Лв+2лг, (11.16) Лв Лвь Лв Лег а для изотропного случая к (11.16) добавляются соотношения Л,=Л.=Л, Л,=Л,= — р, (П.17) Лз=лв+2Лг=л+2р Для ортотропного случая симметричная матрица ветствующая тензору а, имеет вид [а1, соот- гЛ,+Л,+Л, О 0 (а1=~ Л,+Л,+Л, О 1, (П.18) Лз + Лз+ Лвз' в так что аг (го: ю а = Лг+ Лз+ Лз+ 2лв+ 2Лв+ 2лв.

(11.19) Матрица 1Ь1, соответствующая тензору Ь, в ортотропном случае запишется в виде ул,+Л,+Л, О О ~Ь~ = ~ Лз+ Лг+ Ле 0 ~ (11.20) Л +Л +Лер Поэтому для Ь= — 1гЬ имеем Ь = Лз + Лз + Лз + 2Лг + 2Ле + 2лв. 318 Обозначим компоненты главных осях анизотропии С„,=л„ 0 0 0 0 0 2Лв г ля ортотропной среды ионор имеет только три отличные от нуля н зависимые компоненты 1 а~дд,— — — (8Л + ЗЛэ+ ЗЛэ — 8Лэ+2Лэ — 8Лэ 16Л, + 4Лэ — 16Лэ), л э, =. — (ЗЛ + 8Лэ + ЗЛэ — 8Лэ — 8Лэ + 2Лв — 16Л, — 16Лэ + 4Лэ), 1 л„, = — ( — 4Л вЂ” 4Л, + Л + 9Лэ — ˄— Л, + 18Л,— 2Лэ — 2Л,). 1 (П.21) Для трансверсальной изотропии в (П.18) — (П.21) нужно воспользоваться соотношениями (П.16). В частности, 1 пи=-аээ= — ( — Л, + 2Л,— Л, + 2Л ), (П.22) — 2 аээ = — 2а = — (Лэ — 2Лэ + Лэ' — '2Л,)„ з 4 а = Лэ -). 4Л, + 4Лэ+ 4Л„ / Ьм Ьээ 3 ( Лэ+ Лэ+ ЗЛ~ Лэ) (П.23) 2 Ьээ = — 2Ьээ = — (Лэ — Л4 — ЗЛэ + Лэ), (П.24) ибо пмм = лмээ = Злыээ, (П.27) Для изотропной среды все компоненты покора тождественно рав- ны нулю, тензоры а и Ь являются шаровыми, причем а = 3(ЗЛ+ 2р), Ь = 3(Л+ 4р).

(П.28) С помощью представлений (П.З) и (П.7) можно ослабить ограничения, накладываемые на компоненты тензоров С и 1 при доказательстве положительной определенности этих тензоров. Например, чтобы выяснить условия, при которых у и Спмв; в„, ~~(), (П.29) где С вЂ” произвольный симметричный тензор, нужно тензор в разложить на шаровую и девиаторную части, а затем восполь- 319 Ь=Л +2Л +6Л,+4Л.

(П.25) Для' трансверсальной изотропии существует единственная отличная от нуля независимая компонента нонора: 1 лмээ = (Лэ + Лэ 2Лэ + 2Лэ 4Лэ) 35 (П.26) зоваться представлением (11.3). При этом следует иметь в виду что 1 е„=- — (езз + е„), е;; = е,.; — — ВЬпо В яа взз. (11.30) з Тогда о 1= — В + — (ЗЬ вЂ” а)(еп + егг+ е„,е„+ ем+ ем+ егз) + 2 4 + — В [е„, (2а, + а„) + е„(2а,з + ам)] + — ((З܄— — 2а„) (егг — ем — егг — 2е„е„) + (З܄— 2а„) (еьг — е~з— г г г г г — ей — 2е„е„) + 2 [(З܄— 2а„) (е,„е„+ е„егз + + е,„е,з) + (ЗЬз, — 2а,з) (е,зезз — е,зе„) + (ЗЬ,з— — 2а„) (е„гезз — емезз)[) + пзмз(4еп + егг+ г г г + 4е„е„— 4егз) + п„„(4егг + еп + 4е„е„— г г — 44) + п„„„(4еп + 4егг + 10е„е„+4е~г— г г — 4ем — 4е,з) + п„„(6е„е„+ 2е„е„— 4е„е„) + + пмзз (4е„е„— 2е„е„— 4е„е„) + п„„(6еме„+ 2е„е„,— — 4еззезз) + п„„(4е„егз— — 2е„е„— 4е„е„,) — п„„(6е„е„+ 4е„е„+ 4е„,е„)— — пззгз (бе„егз + 4егге„+ 4езгегз) (11.31) Для выяснения условий, при которых УъО, нужно выражение (П.31) записать в виде суммы полных квадратов.

Одно из условий, при котором справедливо неравенство, устанавливается сразу: а> О. (11.32) Приложение П1 Основные уравнения МДТТ в ортогональных координатах 1. Уравнения равновесия. а) Прямоугольная система координат х, у„г (рис. 69): — + — + — + Х, =' О, до„х дохи до», дх ду дг — + — Уи + — "* + Х„= О, (Ш.1) дх ду дг — + — + — + Х,-- — О. дохе доил до„ дх ду дг б) Цилиндрическая система координат г, О, и (рис. 69): Рис.