победря (Победря Б.Е., 1984 - Механика композиционных материалов), страница 50

69. догг о„— осе ! до.е + + — '+ — '+Х,=О, дг г г да дг доге 9о е ! доев доех + 'е + "е -1- е' + Х = О, (1!1.2). доге огх ! доех (дохг + — + — — *+ — + Х,=- О. дг г г до дг в) Сферическая система координат г, 6, гр (рис. 69): до„1 до,е 1 + + до, 2огг — осе — о +о, с!а~р де г дг ге!по де до.е ! доев +— дое, доге+ тое,с!я% ° +~,.х,=а, ип.и до г + дг гнив дв 2.

Соотношения Коши. 321 дО, ! дОЕ, ! дО„(Π— ОЕЕ) С!а О+ Зиг — + — ~+ — — + 'е+Х =О. дг !и р дв др а) Прямоугольная система координат: ди ди де~ е = — * е =е-,е кР а» е РР д г~ ар (П1.4) б) Цилиндрическая система координат: де~ 1 дие и,. де~ е„= — еев = — — + — е„=— др р дВ р ~~ др (111.6) При выводе уравнений совместности в напряжениях часто полез- ным оказывается теизор (111.8) Чи — = Чы — т!Ь„= Ле,.; + Е.и — „.„— е, а) Прямоугольная система координат: дуде дрР дуР дРерр д'е„, д'е„ и =2 — —— дрдр дрР дрР 322 а"е "в ! е,е — 11 ' + (111.5) 2 ~ р аВ а. р ) 1 др, даю ! див ! де~ в) Сферическая система координат: ди 1 р 1 дие е„= —, евв= — ~ .

— +и„+иес1аф)» др р ~ ршф дВ 1 ди, 1 1 ди, див ие е,р,р — — — ~ — "+и,), ее — — ~ . — + — ) ° 1 ди 1 ди, и 1 р дие 1 ди ! еее= — ~ — + — — ч+ иес!иф). а.1!аф ы р ав 3. Уравнения совместности в деформациях. Тензор несовместимости р! (!.2.2) разложим иа шаровую и девиаторную составляющие: о о Чы= Чи+ — Чви, '1=р!рр= ерьр! — ЬО (111.7) 3 деду дуе дхе (111.9р д ~ де„у деег дехх' Ч = — + дее„ дхду дх ду ) дг дг д дех, де„е дее, ) еее де дх дх дхдх ду ( ду дехг дехе ) 6) Цилиндрическая система координат: девг 1 дегг 1 деегх д'егх дее„ е.еег Чав= 2— дгдг дхе дге д'евв дхв 2 д г де.в е.в! 1)дх — — — ~ — ' + — ') + — — (е„— 2евв)— дО~ дг г)! г дг д'е.

деева г' д8е дге (Ш,1О). 323 д + — (е в — ев,)~, дх д !деве евв — егг, ! д ! ! дегх Чг,— — ~ — + !+— д '! дг г / г дО ! г дО дев* евг де.в ! дг г дг 1 д ~ де, де,х, е„ Чв* "- — — ~ — — — + г дО ! дг дг г д г2 де,в ! деев* ! деег евх — — ~-егв+ ' )+ *+ дх ! г дг ) дге г дг в) Сферическая система координат: де Ч„= — ~ — !(а!и !Р— (ып~Ре,в) + — (ып!Ревр) + д~р дедО + ып !р — ' + е!п' !ре„~ + — ып 2!р деве ! ., деве ! д~в, — — — ( ып' ~р — ) — ып' ~р — — — — вв— д~Р дО дг г дде Приложеиие 1Ч Преобразование Фурье Пусть на бесконечном интервале — со<!(+ее задана функция )(!), интегрируемая на любом конечном интервале и для которой выполняется равенство 11т ~!~а!(т) = О, (!Ч.1) !и-~аа где а — произвольное действительное число.

Такая функция (обобщенная функция) называется фурье-оригиналом и ей можно поставить в соответствие некоторую функцию того же класса 1 (м) по закону У*(ы) = ~~(!)е-~ с,у (1Ч.2) Функция (обобщенная функция) )'"(в) называется фурье-образом ~(!), или ее спектральной функцией. Существует, обратное преоб- разование Фурье, которое каждой спектральной функции ставит в соответствие фурье-оригинал по закону )(!)= — "1'(ы) '"'ага. 2я,1 (1Ч.З) Воспользовавшись формулой Эйлера, получим из (!Ч.2) косинус-преобразование Фурье: ~' (е) = 2 ~~ (!) ша а!т(1, о (1Ч.4) а из (1Ч.З) — обратное-преобразование Фурье ~(!) = — ~ !'(а) возЫйэ. 1 Р (1Ч.5) 325 Аналогично, для синус-преобразования Фурье, прямого и обратного, имеем ОФ 1'(е) = 2 ) 1(!) а1п ейИ, о (1У.бо 1(!) = — — ~1'(е) а)пей(е. о Заметим, что если 1(г) — четная функция, то 1о (е ) — 1с (е) (1У.8) Если 1(1) — нечетная функция, то 1'(е) = !1'(е). (1У.9) Подставив выражение 1(!) через спектральную функцию (1У.З) в формулу (1Ч.2) и производя формальную замену порядка интегрирования, получим (1Ч.7) ЮЮ 0~ 1'(е)= — ' ~ е-ам(~ 1(р) '"М) 6т= (!У.

!0) откуда видно, что (1Ч.11) где 6 (р) — дельта-функция Дира ка. Аналогично, (1Ч.2) в (1У.З), получим — ~ е'"и-ойо= 6(! — т). 1 2п подставляя (1Ч.12) Точно так же устанавливается справедливость формул — (спв!(р — е) пг'= 6(р — е), — 1 сове(! — т)йв= 6(! — т). г 1 г о о (1Ч.13) 326 Фурье-образ производной и-го порядка от функции 1(!) (обобщенной производной) находится и-кратным дифференцированием выражения (1Ч.З): ФВ 1оч (!) ( (! )л 1» (е) оьм о(е (1Ч. 14) 2п з В таблице 1Ч.! приведены фурье-образы оригиналов, встречающихся в книге Таблица !Ч.! )л (е) = ) 1(!) е ~л! (! в )л )* (е) 1)л) (6 ФО ) 1(! — т) я (т) ат 1* (е) к* (е) Пусть функция )(х) может быть преобразована по Фурье: Р(в) 1 с(х) е-)е.

4/ (1Ч.15) где Р(е) называется спектральной функцией, или фурье-образом функции )(х), причем интегрирование в (1Ч.15) ведется по всему трехмерному евклидову пространству. Преобразование, обратное к (1Ч.15), дает (1Ч.16) Дифференцированием (1Ч.16) по координате хз легко убедиться, что фурье-образом производной !',з(х) будет функция исзР(а). Легко дать обобщение формулы (1Ч.11) на трехмерный случай: ! е "~ -> — е)'" ~)(Чл = Ь(в — Р) ~Ь(е! — Р!) Ь(е)з — Рз) Ь(и)з — Рз).

(1Ч.17) Фурье-преобразованию могут подвергаться векторные и тензорные величины. Пусть, например, имеются два симметричных теизора второго ранга !(х) и л(х), фурье-образы которых Р(е) 327 с Ь (!) (л, л>0 енм япа! О)3 а! 2лб (е) 2лсЬ(в) ! 2л ( !)л Ь(л) (в) 2лЬ(в+ а) л ! (Ь (в — а) — Ь (в + а)1 л (Ь (е — а) -(- Ь (е )- а)) и 6(в). Пусть 1 и д являются действительными функциями.

Тогда тензор-функция д(х), комплексно сопряженная к д(х), с ней совпадает. Поэтому имеем ~Дх): д" (х) йУ„= ~1(х): д(х) ~Л/, = — ~ ДР(ы) а'"' Д'„): : Д 6(р) е — ы ~ Мт ) Мl, = — ~ Р (а): : ГХ-" ) (Х""=""') "3"'-- Учитывая (1Ч.16), получим из (1Ч.18) 1 ~ (х): а(х) ДР. = +~Р(в): 6 ( ) ДУ (1Ч 19) Формула (1Ч.19) носит название обобщенной формулы Парсеваля. Замечание. Иногда функцию й(х), комплексно сопряженм ную к д(х), мы обозначаем 8*(х). Приложение Ч Эффективные характеристики слоистого компознта для плоской задачи теории упругости (Ч, 3) 329 Пусть слои ортогональиы оси ха. 1. Задача в перемещениях.

а) Общий случай. Тензор модулей упругости нулевого приближения: 1О> «-1 «1 С>акь = Сика + Сыма Смаиа (Силва) ' Х .-1 1 х (Сри>г Спала) — Сыма Смаа>а С>чакь. (Ч.1) Эффективный тензор модулей упругости: 1 -1 )а>ака = (С>ака) + (С>амаСма>аа) (Смара) х 1 -1 * х (Сраоа Спала) — (Сима Смал>2 Сими) (Ч.2) где С>акь = Сыкь для плоской деформации и С>акь = Сикс для плоско-напряженного состояния ($8 гл. 4). б) Все компоненты композита изотропиы. Плоско-деформированное состояние. Теизор модулей упругости нулевого приближения: >О> Е ( >(1 — )> '1>н —, + 1 — ча 1 — ч ((1+ ч) (1 — 2ч) ) Е (1 — ч) С>о> 1 > (! + ч) (1 -2ч) ) 2222 = 1>( , !2> 1 1122 1 — ч ((1 +ч)(1 — 2ч) ~ Е (1 — ч) С !о> -( 1 1 — ч «' ((1+ч)(1 — 2ч) ) Е (1 — ч) С!0>, Е 2(1 +ч) Эффективный тензор модулей упругости Е <+ (!(1 — ) 1 — ча / ((1 +ч)(1 — 2ч) ) Ь„„— ( ~1+ Е (1 — ч) , <о> а ,.<о> 'ааааа Сааза "аааа ' аз<и (><.4) в) Все компоненты композита нзотропны.

Плоско-напряженное состояние. Тензор модулей упругости нулевого приближения: С<ш= Е+ ч -<о> (ч) ( ' ," > сй,=, ', с<~>,= ('.") (',") ( ч'.5) -<о> (ч) -<о> Е Сааи = С!а!а ( 1 — ча ) ' 2(1+ч) Е Эффективный тензор модулей упругости: (ч)а -<о> )>!и! (Е) + ~ (<аааа = Саааа, ( ',"') (ч.е) -<а> 1 < Е )>иаа Со!<и Ь а а= ( ) 2 ! 1+ч 2.

Задача в напряжениях. а) Общий случай. Тензор упругих податливостей нулевого ) <о> ) !ии ( !><кс%ш) )<<кс = )икс+ !<и! (1! (>и!) приближения: >>,и! 7ик<. (Ч.7) Эффективный теизор упругих податливостей: !' ~ > >пи < (>ихс)>ни) > Ели (июи ! <>и! (1> >>и!) о<и! где <их<. = Уикс для плоской деформации и (>>хс = )><кь для плоско-напряженного состояния (5 8 гл.

4). б) Все компоненты композита изотропны. Плоско-деформированное состояние. Тензор упругих податливостей нулевого приближения 4ш= 1/(,,), -<о> (1 + ч) (1 — 2ч) ч (ч,'(1 — ч)> '~22>2 +— Е (1 — ч) 1 — ч (Е<(! — чо)) <о> ° (ч!(1 — ч)) <Е<(! — 2)) -<о> ч 1 -,<о> 1+ ч У2211 — (Е<(! —;)) " ' 2Е О>2!2 = Эффективный тензор упругих податливостей -<о> < (! + ч) (1 — 2ч) < Н„„=Хин, Н„„=( Е (1 — ч) )+ (Ч.9) +( ч П( Е ) Н 1<0~ (Ч.10) Н1212 = ( ). 1 1+ч (Ч.11) Эффективный тензор упругих податливостей: 1<о> Н ( 1 — чо ) + (ч)2„ (Ч.12) в) Все компоненты композита изотропны.

Плоско-напряженное состояние. Тензор упругих податливостей нулевого приближения; УП<>1 = — «22<222 = <о 1 о> 1 — ч' (ч) +ч— (Е) ' Е (Е) ' <о> (ч) <о> <1122 = — — ~ О2211 = (Е) (Е) <о> 1+ч >1212 = —. 2Е Приложение е! Эффективные вязкоупругие характеристики слоистого двухкомпонентного композита 1. Простой композит.