победря (Победря Б.Е., 1984 - Механика композиционных материалов), страница 44

[Г (х) — Гэ (х) <р (х, е, 6)] е,; + [Г, (х)— — Ге (х) ф(х, е, 6) — — (Г (х) — Г, (х) <р(х, е, 6))~ 66;>. (4.13) 286 оп= й,ч.щл — Р;;6 (4.11) После решения задачи (4.5) — (4.8) можно найти напряжения по теории нулевого приближения и>< — й</мо<г.< ~ц 6. <о> -<о> <о> (4.12) Если шаровые части тензоров напряжений и деформаций связаны по закону теории упругости =К(х)6, (4.14) то соотношения (4.13) примут вид (1.4.48): пм — — ]Г (х) — Го(х) <р (х, е)] ем + + ~К(х) — — 1Г(х) — Г,р(х) ер(х, е)]~ Об,ь (4.!5) Рассматривая теперь соотношения (4.13) или (4.15) как опе- раторные (4.16) о„= 5г,.~ (х, е), можно повторить все выкладки $2 предыдущей главы.

Тогда для теории эффективного модуля в случае" вязкоупругих композитов получим задачу низ + Х„= О, о оо ~х, = иь о„п,.!х. = 5 о слоистых (4.17) (4.18) причем тензор напряжений (индекс «э» будем опускать) связан с тензором деформаций соотношениями о;; =- о(бо; — Ьмб„) + ооой„.ба~+ Р,~ + 2Яд, (4.19) где от = ] '1Е, (1 — т) 6 (т) + Ео (1 — т) е„(т) — Е, (1 — т) ~, (О, е„,оро, д')] Нт, о и„= ]С (1 — «) О(т) + Е,(1 — т) е„(т) Е1»(1 — т) Х х 7, (О, еам ро, до)] йт, Р» — — ] ]Е (г — т) — ц (1 — т) р,(О, е„,р', оо)] р;;(т)Ь, (4.20) о 287 о а; = ~ (е,(1 — ) — Ем (1 — ) Р,(О, „, р, О )] 4,, ( ) (т, ' о а аргументы функций 1"„а=1, 2, 3, 4, зависят от времени т, тензоры р, д и величины ро, Оо определены формулами (7.3.20), (7.3.21), (7.3.24), (7.3.25).

К (4.17) — (4.20) следует добавить еще .и соотношения Коши (1.2.1). Заметим, что фунвции („, а=1, 2, 3, 4, независимыми не являются. так что определяющие соотношения имеют вид 1 пм = ~ [;(.з(1 — т) 0(т) + ~,э (à — т) е (т) + — [Ц(с — т)— о — 1тз (1 — т) Щизс (т) — езэ (т)] ~ с(т, аээ —— ~((о(г — т) 0(т) + Сэ(г — т) еээ(т) + — [ъэ(г — т)— 2 о зтз (à — т) Сэ] [еээ (т) — ем(т)]~ с(т> пэз — — ~ [Еэ(à — т) 0(т)+ Ез(à — т)еэз(т)]с(т, (4.23) о псэ — — ~ [Еэ (Ф вЂ” т) — Е (à — т) я е„(т) дт, о псэ ~ [Е з (~ т) з 14 (Г 'г) ~~] е з (т) с('г о с пээ — — ~ [Еэ(à — т) — (.сс (à — т) ц еээ(т) с(т. о Для «простейшей» главной квазилинейной теории вязкоупругости трансверсально изотропной среды в (4.22) и (4,23) следует положить (4.24) )з=)з(Рз), 1а=)с(цз) НЕ КОТ ОРЪ| Е Л ИТЕРА ТУРН Ы Е УКАЗАНИЯ Обзор по теории вязкоупругих композитов имеется в работе [00].

2 1. Метод осреднения к решению квазистатических и динамических задач линейной теории вязкоупругости применен в [84]. 3 2. Эффективные вязкоупругие характеристики простых композитов рассмотрены в ~[84], непростых композитов — в [73]. Метод канонических операторов предложен в [85]. 288 Для упрощенной главной квазилинейной теории упругости,"" трансверсально изотропной среды следует положить [=6=0, (4.21), сз сз(Р сс )~ со=14(Р 9 )~ (4.22) $3.

0 методе численной реализации упругого решения говорится в [84~. Решение задачи о концентрации напряжений в анизотропной пластинке с отверстием в упругом случае дано в [541, в вязкоупругом — в [2[. Эффективные вязкоупругие характеристики в плоском случае приведены в [79~. Задача о слоистой вязкоупругой трубе под действием локальной нагрузки решена в работе [281 $ 4.

Постановка связанной задачи термовязкоупругости для анизотропных сред дана в работе [77[, различные нелинейные теории вязкоупругости рассмотрены в[38, 78[. Глава 9 КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ й 1. Динамическая задача об упругом неоднородном стержне Рассмотрим динамическую задачу МДТТ для композита.

Она заключается в решении трех уравнений движения (1.2.10) К;;,; (х, и) + Х, =- р —,' (1.1) относительно 3-х компонент вектора перемещений при удовлетворении граничным условиям (1.2.9) о о ц!х,= ис, Усг(х,п)пуух,= Юс (1.2) и начальным данным прн 1 = 0: и, = Уо — =-,Уо 'дою (1.3) [М К задаче (1.1) — (1.3) может быть, как и для квазистатического случая, применена техника осреднения. Прежде чем это сделать, заметим, что при изучении динамики МДТТ часто интересуются характером распространения плоских гармонических волн в неограниченной среде. Для этого рассматриваются однородные уравнения движения (1.1) пои Уп,;(х,и) = р — ' (1,4) н ищется их частное решение вида и(х, 1) = Ае'<~ *+"о, (1.5) 290 Описывается характер распространения плоских гармонических волн в неограниченной среде.

На примере неоднородного упругого стержня демонстрируется техника осреднения в динамических задачах. Далее зта техника применяется к пространственной динамической задаче теории упругости и линейной вязкоупруго- . сти. Описывается явление волнового фильтра. Обсуждаются некоторые вопросы разрушения композитов. где в — действительное число, называемое круговой частотой (см. 1.4.13)); й — волновой вектор, характеризующий направление Распространения волны (й — волновое число): й = Ь>, йж(Ц = УИ,И„)т ~= Учр, = 1, (1.6)~ длину волны Л и фазовую скорость с (скорость перемещения Ф Ф плоскости равных фаз ~р= — й х+Ы в направлении единичного вектора т, называемого фазовой нормалью) определим: Л=— —, с~ —; 2я и (1.7д а' а' А — постоянный вектор, длина которого называется амплитудой: А = (А(= ~А,А, .

Разумеется, (1.5) будет решением уравнений (1.4) не при всех А, й н ы. Для физически линейной среды оператор определяющих соотношений У вЂ” линейный, и поэтому уравнения (1.4) будут удовлетворяться при любой амплитуде. В этом случае, чтобы (1.5) было нетривиальным решением уравнений (1.4), между волновым числом й и частотой ы должна, вообще говоря, существовать связь вида г(е, /г) =О. (1.8) Соотношение (1.8) называется дисперсионным (или частотным) уравнением. Если для всех частот ы фазовая скорость распространения волны с одинакова, то волна называется недиспергирующей. В противном случае (фазовая скорость волны зависит от частоты) говорят, что имеет место дисперсия (волна — диспергирующая). В некоторых случаях волновое число может быть комплексным: (1.9) (например, при введении в определяющие соотношения комплексных модулей для изучения динамики линейно вязко- упругих материалов; 9 4 гл. 1). Тогда дисперсионное соотношение (1.8) записывается в виде двух уравнений с действительными переменными: г'(оз, й', Ф") =О, Г" (ы, й', й") =О.

(1.10) В этом случае (1.5) можно записать в виде и = Ае — мкепмх — н (1.11) причем мы выбрали специальную систему координат, в которой волновой вектор й направлен по координатной оси х~=х. Из (1.11) видно, что величина Ф' описывает длину волны Л и фазовую скорость с'. 291' а величина й" связана с явлением затухания волн. Область частот, для которой уравнения (1.10) не имеют действительного решения й', называется областью непропускания. Наличие таких областей называется явлением волнового фильтра.

Рассмотрим теперь в качестве примера динамическую задачу об упругом неоднородном стержне, Для него уравнение движения (1.1) будет иметь вид — ~Е (х) — 1+ Х(х) = р —, (1.13) дх г дк 1 ди ' а граничные условия (1.2) и начальные данные (1,3) — вид и)„=о=и',Е(х) — ~ = Ео, (1,14) д» )М=ь при 1 = О: и = У, —" =- 1l. (1.15) дГ Так же как и в статической задаче об упругом стержне ($1 гл. 4), введем быструю координату $ и обозначим точкой производную по этой координате, а штрихом — производную по медленной координате х.

Ищем решение задачи (1.13) — (1.15) в виде о го д'о т и = и(х, г) + ау,($)и'(х,1) + а' ~у,®и (х, г) + у,(э) — ~+ о + а ~Уо (я) и" ' + Уа (Б), ~ + а~ ~Уо ($) и'~ + доо' о доо ъ + Уо(ь), +Уа(ь) ., ~ + ° ° ° = = ~' ао ~дУр Я) — иы од~ (х, 1), Ь ° о=о В в где локальные функции УоД) таковы, что о Уо— = 1, У =0 при 4<20, д<0, 8<0. (1.17) Поэтому суммирование в (1.!6) производится от 8=0, так, чтобы выполнялось неравенство 4 †» О. Производя обычные процедуры методики осреднения, получим рекурентную последовательность дифференциальных уравнений для определения локальных функций (при д= — 1, О, 1,...) З. З З д З вЂ” 1 В (ЕУо+о)' + (ЕУо+,)' + ЕУо+~ + ЕУ, — р У = Ь», (1.18) 292 в где Ьо — некоторые постоянные, удовлетворяющие условиям в.

в в-! в: (Е11о+! + Ей!о — р 1о' ) = Ьо, причем, как обычно, в <й(,)=-О; д>О; Ц)У,11=0. (1.20) Тогда уравнение движения при отсутствии «объемных сил» при- обретает вид Ьоо'+ Ь,— "+ а ~А,о"'+)о,— 1+ д!о 1 го 1 д! о д! о )!осот + дп д!о «"О В доа = '«' а' гэчй — о<о+о-ов>(х, г) = О. д!оа о=о в (1.21) о Упражнение 1.1.