победря (Победря Б.Е., 1984 - Механика композиционных материалов), страница 42

'(4.5.12) ) о»'. > + 2Г," о'>р + Х' = О, (1.38) з связь между напряжениями и деформациями — в виде о'> == )т' "($, х) (ипл — ГР„и ). (1;39) Пусть заданы еще граничные условия и; ]х, = и,', Ф' "($, х) (и,„— Г" „и,) и> 1х, =- бб'. (1.40) Согласно теории нулевого приближения решение этой задачи ищется в виде + И Ф и> — — о, (х, 1) + а >У<о> (Э, х) о, + Ую Ц, х) осб + и>> (х, 1)], (1.41) причем вектор о определяется из решения задачи по теории эффективного модуля ьпо > ьии,, + ь>б>э~о> „+ Хг 0 (1.42) о, ~х, = об, (1>и>о> + Й>>ро> р) п> )х, = 5б (1 43) а вектор а> удовлетворяет однородным уравнениям (1.42) и В и>> 1в, = — (Уб>» (з, х) о> + Уш; Ц, х) о>,~) ~х,. (1.44) ! и Уб» и У,» Для определения локальных ядер релаксации требуется решить уравнения ~Р» У,'р>„„Г'„' Р <~, х, 1))н=-о, (1.45) 1Ри "У>„„+ )т» > (Ь х, 1)1» = 0 (1.46) )ф>'Ц, х, 1) = Р"""($, х) У>»„б„+ >>7»м> Ц, х, 1), (1.48) после чего можно определить эффективные характеристики регулярного вязкоупругого композита; 1>и>б (х, 1) = (Р>>(>' ), ~" ,(х, 1) = ()т>(» ), 273 >о Б.

е. Поберря при удовлетворении условиям (1.9). .э пм Ядра релаксации нулевого приближения )т>4> ($, х, 1) и )г,'б>> (4, х, 1) определяются после решения уравнений (1,45), (1.4б) )Ц Ц, х, 1)= У» "(~, х)У<б> > — Г" (х)Ии "Я, х, Е), (1.47) Ь" (х, 1) = ( — Г~~„гйн " + 2Г)',Жл' " (ЬЪ,чм — Г;э„)— — Г" 117 + (Йп~")У' ).> Ь"'(х~ 1) = (Р* "ЬГ~~ог м — 1" «йи™л + 2Г',йп'~" Лф р„+ + 2Г,",гпн" + (11 - Л~,",,„),). (1.49)( Упражнение 1.2. Показать, что из (1.45) и (1.45) следует, что 7У(0)тм (ь х~ 1) = — Грч (х) ЬГ(1)тм (ь х 1). (1.50~' Упражнение 1.3, Показать, что из (1.50), (1.47) и (!.48) следует, что (1.51) Й(~) ($, х, 1) = — Грд (х) )~г() ($, х, 1), а поэтому Ь',"(х, 1) = — Г„'(х) Ь'!-(х, 1) (1.52~: Упражнение 1.4. Показать, что из (1.50) и (1.49) следует, что' для квазипериодической структуры Ьм (х, 1) =- — Г' „1(х) Ьпщй (Π— 214, (х) Ьл'"" (1) Гтп (х), Ь'"'(х, 1) =- — Г~ „(х) Ьм "(Е) -~- 2Г,", (х) Ь"™ (Т).

(1.53): $2. Структурная анизотропия У,.м Я, 1) ж Ао„Ц, 1) — (Аом($, г)), (2.1) где Ап» (еь 1) = ~ (Разо (Взщз) (ЙлзлэВазп) (Фйййзп)] г(ье (2.2) о где под В~п((й, 1) понимаются ядра, резольвентные по отношению к ядрам Изм($, 1): г ( Ргьи (1 — т) <Яизр ('г) = бы о- (2.3) 274 Прежде чем решать задачу теории эффективного модуля, нужно найти эффективные теизоры ядер релаксации и ползучести, для чего требуется решить задачу линейной теории вязкоупругости для неоднородной среды на ячейке периодичности. Для слоистого композита, как и в упругом случае, эта задача ' решается просто. В самом общем случае (произвольиого числа неоднородных аннзотропнык компонентов) имеем согласно гл. 5 локальные ядра релаксации: Тензор ядер релаксации нулевого приближения имеет вид Нуае(К 1) = Р!!' е (К, 1) + Йц„!з (еь)!тз!з (еь) Х Х (%3!3> (йръцз Рдьп$а> — Йпзз!3 ($) ЙЕзп4 откуда определяется эффективный тензор ядер релаксации й !а! (1) = (%7и($.

0> Аналогично имеем для локальных ядер ползучести $ Мее!! (Б 0 = ~ (в — т1) Ого!! (ть 1) "Ч + 2Ь ййм!!>— о (2.4) (2.5) — — Юге!!> + ($Ч)го!!->), (2.6) где йц!! = еемеои Плалр. (Пивши — (Пк(,'!!) ' (ПилзПлз!!>) (2 7) Тензор ядер ползучести нулевого приближения имеет вид !О! ! -!" — ! — 1 !!!!я!= Поа!($,1) + П!!миПммкь( — Плыл+ (Пкьи) (ПигоПгци>) (2.8) 275 то* откуда находится аффективный тензор ядер ползучести Н,ян (1) = (П,"," (й, 1)>. (2.9) Заметим, что для стареющего материала все результаты сохраняются, но каждая рассматриваемая функция будет иметь два «временнйх» аргумента, например !!|!*!(1, т). Рассмотрим двухкомпонентный композит с изотропными однородными компонентами. Индексом 1 будем снабжать величины, относящиеся к армировке, а индексом 2 — к связующему.

Для случая нерелаксирующего объема имеем (1.4,41), (!.4.42) й!!я!Я = Ка~бу)би + — е!а(1) (бмб!! + бг!бм «бсА!) ~ ° Пим(1) — б!!8„, + и.(1) б„б„+ бобы б„б„) ~, в а = 1, 2, (2.10) где и ф — ядро оператора, обратного к !в: и =1(ь!!„, ю = — Й /(ЗК). (2.11) Для решения задач Ж'( — 1) в случае таких композитов можно воспользоваться методом аппроксимаций А.

А. Ильюшина отдельно для.армировки и связующего, а затем удовлетворить условиям сопряжения на границе раздела компонентов идеального н неидеального контакта. Эффективные тензоры ядер релаксации и ползучестн в это! случае будут иивариаитными относительно некоторой группы„ связанной с анизотропией эквивалентного тела. Такая анизотро пня называется структурной анизотропией. Операторы эффектив ных тензоров зависят от операторов а>„,а= 1, 2: йи =1>г (» мз) Нм =Й>ь((м «>) (2,12» и их ядра можно представить в виде сумм 276 Ь,>чи (1) = ~)~~ )ф>>м >Р! ! (1), Н>чм = ~' П<ч>>м Х! > (1), (2,13). >=> д=> где 1г>;и, П>гм — так называемые структурные константы, зави-'. (ч> м> сящие от К>, К>ь концентрации связующего у, геометрии армировки и т.

п., а фУнкции >ам>(1), Хм>(1) — скалЯРные ЯдРа Релаксации и ползучести соответственно, зависящие от операторов ь>! и «>з. Важной задачей линейной теории вязкоупругости композитов является определение этой зависимости. Если в М-компонентном композите один из компонентов является изотропным вязкоупругим материалом с иерелаксирующим объемом, а все другие компоненты — изотропными упругими, то такой композит называется простым композитом.

Для простого композита скалярные ядра >>>>>(1), Х>,>(1) зависят только от одного оператора а>. В приложении Ч1 приведены эффективные характеристики простого двухкомпонентного слоистого композита. Из формул (Ч1.4), (Ч1,6) видно, что для этого случая в (2,13) т=п=4, и можно положить (а» =«» =сопз1): 1 ! >(>(1! = 1, >(>в! = а>м >р(3! = йв~=, фи> = йз,= >+1>юя >+Ма (2.!4) 1 1 Х>>! = 1, Х>>> = >ты Ха = йз,=, Х~ = щ=— .

(2,16) ! + 1>зв ! + Оаэи Для неслоистого простого композита могут появиться в (2.14), (2.15) операторы ф» с другими значениями 6, причем, в силу того что точного аналитического выражения для эффективных тензоров ядер релаксации и ползучести найти, вообще говоря, не удается, их аналитическая аппроксимация (эмпирическая) должна содержать операторы вида (2.14), (2.15). Как уже указывалось в $4 гл. 1, ядра А. А. Илюшина д>(1) операторов д, могут быть найдены экспериментально.

Заметим, что числа т и п в (2.13) должны быть не больше, чем число независимых компонент тензоров Ьим и Нць! при структурной анизотропии данного вида. Если композит простым не является, найти выражение операторов >(>м>, Х! > через операторы «», ь>з затруднительно даже в случае слоистого композита. Дело в том, что представление этих опе- раторов в виде (2.14), (2.15) основано на разложении рациональ- ной функции одной переменной (ез) на простые множители. Для композита, не являющегося простым, имеются две переменные (оь ат), а для разложения рациональной функции двух перемен- ных на простые множители никаких общих правил не существует.

Однако можно ввести так называемые канонические вязкоуп- ругие операторы, основанные на комбинации основных операто- ров: о„я„д'„1 (а=1, 2), причем необходимо указать экспери- менты для определения ядер этих канонических операторов. Введем в рассмотрение, например, операторы ВФ и) =йв+ пктв. Вч(а) — я, + ая,=1ппрВ(р, а), (2.16) в А„(а) = в, + аа1„ где а — некоторая константа, зависящая от Кь Км обьемной концентрации армировки у и т. п. Рассмотрим также операторы, обратные к операторам (2.16): А ((3, а)= л ~в+ алзв Ал(а) ге = 1пп — А((), а), 1 .

1 я1 + Йлд в- В (а)= оч+ аш, (2.17) Теперь для слоистого композита можно найти выражение для эффективных тензоров ядер релаксации и ползучестн и локальных ядер релаксации и ползучести через канонические операторы (2.16), (2.17), что и сделано в приложении 1П. При этом введены обозначения я=К,!К,; а = 1 — т т (2.18) 1 Р~ Р~ — = — +— л вк, вк, (2. 19) Тогда связь между силой („1, растягивающей образцы, и переме- щением и будет иметь вид 277 Опишем эксперименты, позволяющие определить ядра, соответствующие операторам А(р, а) и А„(а). Пусть пружина, изображенная на рис. 63, имеет жесткость й.

К этой пружине последовательно присоединены образцы первого и второго компонентов композита, имеющие отношение длины к площади сечения соответственно Р~ и Рь Пусть собл1одено ус- ловие 4- и 1 Ь,я,+б,я, где за Ь„= — ", а = 1, 2. 9К (2.21 Если теперь задать перемещение в виде и= пай(1), (2.22ь где Ь(1) — единичная функция Хевисайда, и замерять изменение силы со временем Я(1), то А„(а) (1) = — '~(1). (2.23) Рассмотрим теперь более сложную систему, состоящую из параллельно соединенных пружины жесткости й и системы образ- к, н р к Ряс. бЗ.

Рас, 94. цов нз обоих компонентов, соединенных последовательно с пру- жинами жесткости й, и йи (рис. 64). Тогда при выполнении усло- вий Ра й=1(с, +11с,; ся = — — + — ", а= 1,2, К 9К„ с,/Ь, = с,/Ь, = — (1, (2.24) где величины Ь„определены в (2.21), связь между перемещением и и силой Я будет иметь вид с, С1 к19 + к за Са (2.25) Задавая теперь силу в виде Я=Юой(1) (2.26) я замеряя изменение перемещения со временем и(1), получим А(р, а)(1) =— г,Я~ Для иеслоистых композитов могут встретиться и другие операторы.

Отметим очевидные обобщения в рамках рассмотренных экспериментов. Так, если в (2.24) положить й, й — — — — )О, (),=- — ', Ц,= — *, (2.28) с, с, ' ' Ь,' ' Ь,' (2.27) то из эксперимента, схема которого представлена на рис. 64, можно определить ядро оператора А (~м ~м аг, а,) = (2.29) ~+~ Й,„, +~ьк„, Нетрудно построить канонические операторы типа (2.16), (2.17) для Ф-компонентного композита.

Упражнение 2Л. Описать схему эксперимента для определения ядер канонических операторов компознта с Л вязкоупругими компонентами: (2.30) 1+ а,дщ + ... + а,„д лал А ((),, ..., рл, аи ..., ал) =— 1 А,(а„..., ал) = 1 + а,л~+ ... + а и,„ (2.31) 3 3. Методы аппроксимаций Для решения квазистатнческих задач линейной теории вязко- упругости для анизотропной однородной среды (1.11), (1.12) универсальных эффективных методов нет. Однако мы можем воспользоваться представлением (2.13) для структурной анизотропии. Обозначим через ~рч(1) одно нз ядер набора 4кч(1), тио(1) (2.13) или их комбинации.