победря (Победря Б.Е., 1984 - Механика композиционных материалов), страница 39

Доказать, что обобщенное решение задачи А имеет не более одного решения, если выполняются условия (3.100) или (3.101). Упражнение 4.4. Доказать, что обобщенное решение задачи Б имеет не более одного решения, если выполняются условия ' (3.103) или (3.104). Упражнение 4.5. Показать, что для потенциальной теории при выполнении условий (3.100) или (3.101) лагранжиан (4.24) в- положении равновесия имеет минимум. Точка минимума единст- ', венна.

Упражнение 4.6. Показать, что для потенциальной теории при . .выполнении условий (3.103) или (3,104) кастильяииан в положе-; нии равновесия имеет максимум, Точка максимума единственна. Упражнение 4.7. Показать, что для потенциальной теории тео- ремы о простом нагружении остаются справедливыми, причем вместо ограничений (3.105) н (3.107) следует принять соответ- ственно (4.26) )У вЂ” ~~~с// е+!/ / а/ (4.27) ' / где й» вЂ” неотрицательные числа, Ес', ~ 0 и суммирование в (4.26) происходит по таким /, что Яй!/ — — г+ 1, а в (4.27)— /=1 по таким /, что ~~' й!/ — — г+ 1, где г — фиксированное неотри/=юв+1 цательное число.

Упражнение 4.8. Показать, что теория пластичности для трансверсально изотропной среды следует из общей теории (3.76), если положить 254 у'ив !,= — 8, 7»= ззз, lз — — р, 7«=)/2 д, 2 Рп = 8(бы бгабм). Рп = з»»ба»бы <р ~ - пв (4.28) Рйв = реп Р)м = 2су,, 8 5. Модельные установочные эксперименты (5.2)~ 255 Для определения материальных функций деформационной теории пластичности трансверсально изотропной и ортотропной сред в принципе можно указать набор простейших эксперимен- тов, часть из которых описана в $ б гл.

1. Однако, как уже отмечалось, специфика некоторых компози- тов состоит в том, что об их механических свойствах можно го- ворить только в связи с определенной конструкцией (в крайнем случае, в связи с моделью, геометрически ей подобной). Меха- нические свойства вырезанных из этой конструкции образцов будут существенно иными.

Поэтому на практике приходится часто ограничиваться неко- торым узким набором экспериментов, который не позволяет найти все материальные функции выбранной теории, и исследо- ватель вынужден эту теорию как-то разумно упрощать, чтобы сде- лать ее «серьезной» (см. гл. 1) в рамках возможных экспери- ментов. Рассмотрим, например, тонкостенный цилиндрический обра- зец радиуса Л, толщиной 6 (рис. 8, с., 41), который может подвергаться трем видам нагружения: осевому растяжению, кру- чению и внутреннему давлению. Спрашивается, какой деформа- ционной теорией пластичности нужно воспользоваться для того, чтобы этих экспериментов хватило для описания всех ее матери- альных функций, если образец, например, обладает цилиндричес- кой трансверсальной изотропией (ось трансверсальной изотропии направлена по радиусу г).

Будем считать, что по радиусу направлена ось хз=г и, кроме того, я~е я (по оси цилиндра), х»=8, т. е. о» = аы, оз = о»», а, = ом, пгз = ам и« = пы. аз« = ам. (5.1) Для упрощенной теории (4.1), (4.7) требуется найти упругие пос- тоянные Хз, Х~, Хь Хп А» и функции Р(р, д), 0(р, д) (3.28). 1) Кручение образца. Задаем крутящий момент М„р, т.

е. М п,з= —, «Р впЯЧ ' и снимаем показания и,. Тогда, в силу того что 2з,з = — — з Ч = 1з.е 1, О =!п.е ~, (5. 31 можно построить кривую 1а,«~ (1е„1) (верхняя кривая на рис 61, помеченная р 0). Из этого графика находим функцию 1~(0, д) н модуль Хе. Для «простейшей» теории (4.3), (4.8) таким образом можно найти функпии Я(Ч) и ч(Я).

2) Растяжение образца. Растянем образец силой Г«. (5.4) яяйб и будем замерять величины е„е, и, если возможно, е (т. е. изменение толщины образца). Тогда из (4.7) имеем 1 — т У' 6 = е + ее = — а, е„= — —, а «Е а Е (5.5) 1 — ч 1 р е,= — а + — — а, «2 Р х (5.6) яде р= — ~е,— ее(, Р= — а,. (5.7) 1 — ч т' Определив из (5.5) константы — и — —, строим согласно Е Е' (5.6), (5.7) графики функции Р(р) нли р(Р) (верхняя кривая на Е рис. 62, у=О), откуда определяем модуль — (а значит, Е и 1+т ч в силу (55)) и кривую Р(р, О) или р(Р, 0). Для «простейшей» р р« р Рас.

62. Рае 61. теории (4.3), (4.8) из рассмотренных двух экспериментов находятся все материальные функции и упругие константы, кроме Е' (или т'). Для упрощенной теории, описываемой соотношениями (4.1) и (4.7), необходимо провести еше серию экспериментов по одновременному кручению и растяжению цилиндрического образца, чтобы найти функции Р(р, у) и Я(р, д). В этом случае остаются справедливыми формулы (5.2 — (5.7), и, задавая различные значения М„р и Гм получим серию кривых, изображенных на рис. 61 и 62. 3) Внутреннее давление. Как уже отмечалось в 9 0 гл.

1, обычно в эксперименте о действии равномерного внутреннего давления 1в на образец действует и растягивающая нагрузка, так что напряженное состояние имеет вид а,= — 1„ав= — Ъа с" = Ю ав Ю (5.8) 6 2 26 Поэтому, замеряя деформации ем е, и, если возможно, а„полу- чаем нз (4.14) где р= — !ев — а,~, Р=- — —. эс2 т'2 1Д 2 4 6 (5.11) Для нахождения функций Р(р, а) и Я(р, с)) можно использовать совместный эксперимент по кручению образца и по действию внутреннего давления.

Заметим, что замерять изменение толщины прн описанных выше экспериментах довольно сложно. Поэтому из них практически невозможно найти все материальные функции вида (3.31) нли (3.39) . Чтобы продемонстрировать особенность упрощенной теории, рассмотрим задачу о равновесии шарового слоя с внутренним радиусом а и внешним радиусом 6 под действием внутреннего равномерного давления )в, причем предполагаем, чго ось сферической трансверсальной изотропии направлена по радиусу г.

В силу сферической симметрии задачи единственное уравнение равновесия имеет вид — + — (а,— ав) = О, йа,, 2 ис (5.12) где полагаем а, ю ами ав = а,„= авв. (5.13) Граничные условия можно записать следующим образом: а,! .=- — Р„а,1,=в= О. (5.14) Если среда трансверсально несжимаема (3.48): с!и - 2и е,= — =-О, 0=-2ав= — ==О, с!с с (5.15) 9 Б. а. победря 'а,= — — ав+ —,ааа —— — — ', ~1+ — ~, (5.9) зв' 1 )д / Зи'Я 2Е' Е' Е' ! 26 откуда «в принципе» может быть найден модуль Е'.

Кроме этого, можно также построить график функции Р(р, 0) или р(Р, 0) из соотношений ее= 3(! — и) 1 й р 1ол + (5;10) 2Е 6 4Р 6 Г с 2 Р а,= — + — ) ра(р)Ир, ГЗ ГЗ з (5.16) где постоянная с определяется из первого граничного условия (5.14) с =-~зоз, (5.17) а из второго имеем ~ра(р) Ф = в (5.18) Если предположить, что гидростатическое давление постоянно: 1 1 а = аз =- сопз1, о'==' — (За — а,)= — (За, — о;), (5.19) 2 2 то из (5.18) имеем ез1з а,= —, Ьз зз' (5.20) а поэтому а, = — !11 — — ), ае = — '~1+ — ~, (5.21) 1заз) Г Ьз ! 1заз Г Ьз ! Ьз з~ гз)' Ьз зз~ 2гз)' т.

е. напряжения получаются такими же, как и в изотропном упругом случае. Если материал считать сжимаемым, но подчиняющимся упрощенной теории, то решение совпадает с решением упругой задачи. В самом деле, имеем для этого случая а, = Лзе, + 2Лзев, ае = Лзе, + 2 (Лз + Лз) ев, (5.22) и мы получаем для радиальной составляющей вектора перемеще- ния и уравнение Юи 2 Газ 2зз 0 !2ЛГ+2Х, — Лз е(! — тт') з!Гз г Ф гз Х . 1 — тз й = — Е!Е', (5.23) решение которого имеет вид и=с,г" +с,г"*, зх,=- +~ + ~, аз = 1 + ~,(5.24) 2 2 где постоянные с! и сз находятся из удовлетворения граничным условиям (5.14): 258 то все перемещения равны нулю, т.

е. тело является жестким. В этом случае из уравнения (5.12) получаем (5.25) Хз+2Хз оз (вв — ~В» ~ — а ' 1В< ' 1) с, с ь'" о 1 3 Лз+2Хз а, (в~ -~зи.-1 дз -~В" -~)' В случае плоской деформации имеем вы =е1з=е1з-О. (5.26) (Если выбрать взз=вм=взз=О, то упрощенная теория будет описывать плоскую деформацию для изотропной среды). В этом случае имеем для упрощенной теории Р азз = (Л, + Л,) е„+ Л,езз + — е„, 2р ааз = Лзвзз + Лзвзв О азз = — ем, в (5.27) Р) а„= ~ (Л, + Лз) — — ~ в„+ Лзезз, 2р ! а„=а„= О, причем все деформации и напряжения зависят только от хз, хм з~й 1~2 - р 2 0= ввз, р= — !е, != — !О!, Р= — !аз,— а„!, 2 2 2 (5.28) з)=!взз!, Я=)а„!.

Рассмотрим, например, задачу о толстостенной трубе внутреннего радиуса а и наружного 5, находящейся под действием внутреннего и внешнего равномерного давления: а,),=,= — )„а,! =з= — )'з (5.29) где а,в = а„а„= ав, а„= а„а„= а,в. (5.30) Единственное в этом случае уравнение равновесия имеет вид (5.31) Если труба является трансверсально несжимаемой: взз=О. езз=О, (5.32) то она жесткая. Заметим, что так будет для любого трансверсально несжимаемого материала в случае плоской деформации. Для сжимаемой трубы имеем соотношения а, = Л, †" + Лз †, ав = (Лз + Лт) — + Лз — + .г Р(р). (5,33) г вг г вг 2 ~'ж "'~ ' „Р(р) = 22,(1 — л(р)) р, (5.35) ! задачу (5.34), (5.29), (5.33) сводим к интегральному уравнению и(т) = С га + Сага — — ' г — а ~ г-1+'ай ~ Я ~ — — ") и(Р) Р-'-а дР, г~2 и (5.36) где постоянные С, и Сз находятся из удовлетворения граничным условиям: С, = — ~а-а-г (~ь — Х,ЬВ-т ~ ир-а-'лйр)— ! 1 а ь Г 6)„)Ь-В- Гг-+за(Г, и --а,(р'!Дг ) Ь-а-1 а Ф ь С, = — (аа-'( — (ь+Х,Ьа-' ! ир-а-'лир) + — (Х,— ~Ц (5.37) н)„) Ь-а- ( г- +за ~ ( п~ - -а!(р ~,(г в й сХ, = (Х + ~)Х ) (аа-'Ь-а-! — а-а-!Ьа-т), !(з = (Х, — рф ) (аа-'Ь-а-' — а-а-'Ьа-').