победря (Победря Б.Е., 1984 - Механика композиционных материалов), страница 40

Таким образом, задача свелась к рекуррентным квадратурам. 6 6. Осреднение в теории малых упруго-пластических деформаций Построив анизотропную теорию пластичности для однородной среды, с помощью разработанной в $2 методики можно определить эффективные определяющие соотношения теории малых упруго-пластических деформаций А. А. Ильюшина. Рассмотрим квазистатическую задачу в перемещениях для композита, каждый компонент которого является изотропным уп- Тогда для радиальной компоненты и вектора перемещений получаем дифференциальное уравнение /~Ри ! йг ! и )'2 У $~2в1 ), ~ — + — — ) — (7,+2,) — — — Р~ — )=О. (5.34) '! вг~ г И~ 7 ~2,) Используя представление функции Р в виде (4.4) и вводя обоз- начение руго-пластическим материалом, возможно, непрерывно неоднородным. Уравнения равновесия и граничные условия запишем в виде Ю„,,+Х,=О, (6.1) и~'1х,='ии гг~1п;Ь,= 8с, о о (6.2) где и Ф(и,еи) / 1 ову — бвм = К(х) Обм + ' ( е1/ Обв еи причем справедливы соотношения Коши 1 1 ЕМ вв Е,1+ — Обы = — (ии1+ иои).

3 ' 2 (6.3) (6.4) ° 1 ° е', вв осг+ Уп, 0' ж е,"о е,' =— е,' — — О'боч О т еги 3 1, еп= — е» вЂ” —,Об 1 3" (6.5) Тогда уравнения (2.14) задачи Жв( — 1) для определяющих уравнений (6.3) запишутся в виде К(й)0*бы+ (О' и) е,',.1 = О. * * 1 и (6.6) После решения уравнений (6.6) с учетом (2.12) находим определяющие соотношения нулевого приближения о)7= 8е(7=К($) 8'б;; + " е,' Ф1С, в„) ви и эффективные определяющие соотношения <о1 ° о1 ('") оп= й,1(е) = (Уо) = (КО'бд+ . ец). ви В частности, для слоистой среды имеем в (6.5) 1 Л(к1 = — — (й(161в + Юсв) 8* = О + езв, (6.8) (6.9) 261 Применяя методику, изложенную в $ 2, найдем решение этой задачи в нулевом приближении.

Для этого повторим выкладки $ 2, исполъзуя конкретный вид оператора Я и (6.3). > Для «среднего» вектора перемещений и(х) и локалъных функционалов У(е, до) введем обозначения 1 1 ее1= — — (ои1+ оп1) й(се ~ — (ип1+ ип1) 2 ' ' 2 (6.10) с Ф!О, о„) ° К(~)00!о+ '„" ем = О, ео и нх можно проинтегрировать: Ф5,е„) К(~)0'6ы+ „' " ем=ам(х), (6,11) еи о где ам (х) — некоторые функции, не зависящие от быстрой переменной $.

Согласно $ 3 введем выражения для инвариантов в случае трансверсальной изотропии: ° ! 0 = е, + е,о, еоо, р' = — 1(ем — еоо)о + 4е', ], о о д' = е!о+ еоз ! ! а= — (а~+ аоо) аоо Р'= — ((аи — аы)'+4оЯ, Я'=ам+аз„ (6.12) ,о о' о' Яо = ам + аоо.

Тогда систему (6.11) (или (2.30)) можно переписать в виде Ф(О, о„) (6.13) Ф(3, о„) 2езз- 0 К Ц) (О + еоо) +, " = ое., о 3 (6.14) где ° о 2 о 2 ° ! е„— = р'+ 2д' + — ем — — еоо0 -)- — 0' 3 3 3 (6.15) ФЯ, о„) Разрешая (6.14) относительно Ео Ф !Е, е„) о'~~ — Д (3) (О -)- еоо) — 3 ои 2е — В (6.16) и подставляя результат в (6.13), получим Ф е„ 2е„— Е э и (!о Ф (о о*) 3 оооо — К (О) (0 + е'о) (6.17) 262 где, как и прежде, штрих означает производную по быстрой ко- . ординате а=то.

Уравнения (6.6) в этом случае имеют вид Теперь, воспользовавшись (6.15), имеем иэ (6.13) 2,з 2, ! Ф О, рз-!-24" + — е — — е Е+ — О' / з зз з зз е 2,> 2, ! по+24' -)- — е — — е О -1- — Ез з зз з зз е (6.18) 3 4-ДВ(е+ .,) 2'зз — о причем считается, что вместо величины д* (в 6.18) подставлено ее выражение через езз*, О, бззо, Яз по 'формуле (6.17). Тогда (6.18) представляет собой функциональное уравнение относительно езз*. Предположим, что его решение можно записать в виде езз = озз($, О, Р, б~~з, Яз).

(6.19) Тогда из (6.17) также имеем О* = з)" Ц, О, Р, озз, ((з). (6.20) Заметим, что (6.19), (6.20) — это частный случай соотношений (2.32). Осредняя теперь (6.19), (6.20) по ячейке периодичности, получим езз = (озз (й, О, р, б~м, Яз)), з( о - — )~о' (6.21) 3 бзоз — К ($) (Е + езз) Разопешая функциональные уравнения (6.21) относительно бззо и 9, получим о -о з. ба= «зз(о Р азз Ч) Яо ф (О, Р, ззз, д) д. (6.22) Ф (1, :„) Ч = 6 (0 Р воз*а)Ч з„ 7~(р(0+ еж ) ), „зз = бо (О, р, е, д).

(6.23) е.~ 3 РазРешаЯ (6.23) относительно езз* и б и УчитываЯ (6.19), (6.22) н (6.17), получим 263 Выражения (6.21) и (6.22) вытекают соответственно иэ соотношений (2.33), (2.34) для компоэита с изотропными компонентами. Из сравнения соотношений (6.22) и (6.13), (6,14) видно, что Ф$,е„) 1 О+ К(й) — — е еи 2 Ф>й ец) О+ К(е) +— еи о"'= Кй)+ — ' ( Фф,е„) 1 Ф =1ГК(„ 3 е ФВ.

е„') <о> Ф6, е„") еи е„ '. ' Осредняя соотношения (6.27), получим эффективные определяющие соотношения (6.28) оп = (К(й)+ —, " )О+( К($) — — . " ~езз) + Ф$, ц) Г Ф(3,е'„) 1 . еи 3 е' Ф($, е„) + — ( ")(е,— е ), и Ои (К®+ ' ) О+ (~КЦ) — — ' " ~ езз) + еи еи Ф$, „) + — ( ) (е — езз), еи (6.29) 264 езз = езз(3„0, Р, озз (О, р, еам о), ф (О, р, е„, д) д), (6.24~ (6,253' 3 азез — К ф (3 + езз) где в функциях езз, (1з, озз ((6.19), (6.22) ) аргументы опущены.

Определяющие соотношения (6.3) можно записать, используя. выражения для инвариантов тензоров напряжений и деформаций в случае трансверсально изотропной среды, в виде. оез= (К вЂ” — " ~ О+ (К + — )'езз, (6.26)' 1 Ф(еи) Ъ I 2 Ф(еи) >, 3 еи ~ (~ 3 ец )' Ф (ец) ... Ф (ец) Р 'е= з). еи еи Тогда согласно (2.39) определяющие соотношения нулевого приближения имеют вид о)(> = око (Озт — О„.йзт) + оз>з>йззйз> + — Р>т+ 2 — о„, (6.27) Р й где тензоры Р и з) определяются формулами (3.20), (3.21), а (К(й), .

) 6 (1)К(3),, ~. ) Ф(Е, е„) — Г 2 Ф(е,е„) т е» ее Ф$, е„) о'„= (, " )емн е„ ) Ф6 е„) 2езз 6 3 ее о~~~ — К 13) (О+ е~) Ф (е, ее) 2езз — 6 е„о„— КЕ(6+е,",) ~ где 2-з 2" - 1 + — езз — — езз 6 + — 8'. 3 ' 3 6 (6.30)" де ЪГ = — К($)6з+ Чг(е„), Ч'(е„) == ~ Ф(е„) сне„, (6.32) 2 е то, подставляя разложение (2.6) в (6.31), раскладывая лагранжнан в ряд по степеням а и используя вариационный принцип Лагранжа, получим все соотношения 5 2.

Так, например, для теории нулевого приближения имеем А<о>= 1 1 Каод+ Чг(е„)1 А' — 1 Хр,дг ~ Яо~,с(Е, (6.33) т Ха где величины, помеченные звездочкой, определены в (6.5). 265. а аргументы функций е,з, ~ем, (T (6.24), (6.22) опущены. Заметим, что если рассматривается упруго-пластический композит, компоненты которого могут быть трансверсально изотропными нли ортотропными, то, применяя технику осреднения, описанную в $2, и в этом случае легко получить эффективные определяющие соотношения.

Технику осреднения можно проводить н на основании вариационных принципов. Так, если для задачи (6.1) — (6.4) построить лагранжиан 1. = ~ 77ейг — ~ Кеи,сУ вЂ” ~ Взи;е(Е, (6.31) У т зз Вводя потенциал нулевого приближения %'УвУ )Рувд = — ~ ~ — К Ц) О + д1г (е,',) ~ сЯ, (6.341 тде дв — объем ячейки периодичности, и разыскивая минимум в пространстве периодических в й функций выражения (6.34), получим потенциал йув для эквивалентной однородной среды. Упражнение 6.1. Доказать, что для слоистого упруго-пластического композита Я7в — ( — КЦ)(О+ в~)в+ 2 2 в 2 ° ! ~в()lр +вд~- — ц,— — е~ — оу).

~азв> з з О где евв* и су* находится из (6.24) и (6.25). Упражнение 6.2. Показать, что соотношения (6.29) получают-. ся дифференцированием (6.35) по инвариантам О, евв, р, су. Упражнение 6.3. Показать, что для решения несвязанных задач термопластнчности всюду следует вместо тензора деформа.ций в согласно гипотезе Дюамеля — Неймана ввести тензор в" е?у = е,у — асуб, (6.36) .где тензор теплового расширения для трансверсально изотропной среды имеет вид а,у — — а,(б„. — бсвбу,) + авб„був, (6.37) где сд = (Лв + Л,) (Π— 2адФ) + Лв(в„— авб) овв = Лв (Π— 2адб) + Лв (е,в — ав'О), (6.40) Р = Р(Р, д, т), О = О (Р, 4, т). Упражнение 6.5.

Показать, что для упрощенной ортотропной теории пластичности определяющие соотношения с учетом гипотезы Дюамеля — Неймана можно записать в виде оц = оддбсдбуд + с'ввбсвбы + суввбввбув + ссс ем ерву + дв рв> у ~аз <вву (6.41) .266 .а для ортотропной — вид асу = адбддбуд + авбсвбув + авбсвбув. (6.38) Упражнение 6.4. Показать, ято для упрощенной трансверсально изотропной теории пластичности определяющие соотношения, в которых использована гипотеза Дюамеля — Неймана, имеют вид .