победря (Победря Б.Е., 1984 - Механика композиционных материалов), страница 37

в четырехмерном пространстве 8з. 'й, озз, Р, Я. Если деформации таковы, что соответствующее нм значение 1' 1(8, езз, Р, д)<)„то бУдем считать, что дефоРмации УпРУгие. В этом случае функции (3.31) являются линейными: о= ()з+зт)8+Лзезз, озз=). 8+к, (3.43) Р = 2Хтр, 1;З = 2Хзд, где упругие константы Аз„Х„Ц, Ан Лз для трансверсально изо- тропного тела определены в приложении П. Назовем процесс деформации простым в широком смысле, если рпЯ=ХЯря', НЯ=ХЯгрз', (3.44) и простым в узком смысле, если еп (1) =А(1) епз. (3 45) Просто простым процесс деформации будет в случае выполнения условия (3.17). Аналогично, процесс нагружеияя называется простым в широком смысле, если РПЯ=МЯР'л Ф~(4) — р(1)Ю.

(3.46) и простым в узком смысле, если ои(1) =р(4) пп'. (3.47) Упражнение 3,8. Показать, что из соотношений (3.29), (З.ЗО) и (3.37), (3.38) следует, что всякому простому в широком смысле процессу деформации соответствует простой в широком смысле процесс нагруження, всякому простому в узком смысле процессу деформации — простой в узком смысле процесс нагружения, и обратно. 8) Назовем материал трансверсально несжимаемым, если выполняются условия езз= — О, 0= — О.

(3.48) Для такого материала квазистатическая задача в перемещениях теории малых упруго-пластических деформаций заключается в решении уравнений о'з+ (пзз — а"),зб„. + ~ — р з+ 2 — дз~~ + Х, =О, (3.49) Р ч з 240 я,. ~х, = и~, ~п"и,. + (в,з — и ) ваб„+ ( — р„. + 2 — дгг~~ и; ~ ~ = Зг,, (3.50) где и', азз* — некоторые неизвестные функции, которые должны быть определены в ходе решения задачи, тензоры и и д выражаются через тензор деформации по формулам (3.20), (3.21). К уравнениям (3.49) следует добавить условия трансверсальной несжимаемости (3.48) и соотношения Коши (1.2.1) е~! = — ("ьг+ "ьг). 1 (3.51), (3.53) где й„, 1„, 1„, 1'„— неотрицательные числа, причем й„~+1„~чьО, 1„~+ +1„э~О для каждого я, с~„чьО, с~„МО, а суммирование производится по таким я, что й„+ 1„= 1„+ 1„= гчьО. (3.54)' Ф -ь Пусть, кроме того, объемные силы Х и поверхностные силы .У возрастают пропорционально одному параметру н(1), заданные перемещения пэ — пропорционально другому параметру ц1): х,(1)= р(г)х~", 3,'(1)= р(1)Ф", но (1) )~ (1) алло~ (3.55) причем эти параметры связаны между собой соотношением р(1) =1'(1).

(3.56) Тогда процесс деформации и процесс нагружения в каждой точке рассматриваемой среды будут простыми (во всех смыслах). В самом деле, предположим, что решение задачи (3.48) (3.51), (3.53) имеет вид и, (х, 1) = Щ) и', ~ (х), п,г (х, 1) = р (Ф) о(,д (х), з„-(х, 1) = ).Яеф(х), Рц(х, 1) = Х(1)у4;~ (х), 241 Заметим, что в этом случае функции Р и Я зависят толька от переменных Р и д, и поэтому в случае потенциальной теории из условий (3.34) остается только одно: дР(р, д) ЗЕО, д) (3.52) дд др Докажем теперь теорему о простом нагружении (упражнение.

1.5.6). Пусть материал трансверсально несжимаем (3.48), функции: Р и 9 имеют вид Р(Р,0) =~".~"~«, Е(Р,0) = ~с.РМ", с)с! (х, с) = Л(1) с)сс (х), Рсс (х, 1) = $! (1) Рсс (х), а; ( , 1) = р (г) Е(!' ( ), где исса!(х), сгсссзс(х), ... — решение этой же задачи прн фикснро. ванном 1 бз!. Подставляя (3.57), (3.55) последовательно в соотх ношения (3.48) — (3.51), убеждаемся, что они удовлетворяютс." при любом й Соотношения (3.53), удовлетворяющие условию (3.52), такж' справедливы при любом 1, если выполнено (3.56).

Теорема до- казана. Упражнение 3.9. Показать, что теорема о простом нагруженик имеет место для сжимаемой среды, если а= Ясс„б 'х'е згхгрззхгс) зх' стзз — — в" сгхб схге ясгр зх*Ч зхг зз зз — ~ гх зз (3.577 Р=). сзхб"!"зеззг зрзхзс)~с«з () Ясзхб'гхзе~гхзрззхзс)схз х х где йсм (1=1, 2, 3, 4) — неотрицательные числа, с; ФО (з=1, 2, 3, 4), а суммирование производится по таким х, что з 4 )' йсх! = ~~ йсхг = ~~~~ йсхз = ~ йсх! = г ФО.

й') (3.58~ с=! с=! с=! Квазистатическая задача А теории малых упруго-пластических деформаций трансверсально изотропной однородной среды заключается в решении уравнений равновесия (3.49) прн выпол-: нении граничных условий (3.50). Прн этом следует воспользоваться соотношениями Коши (3.51) и иметь в виду, что в (3.49) инварианты напряжений связаны с инвариантамн деформаций функциями (3.31), которые в упругой области имеют внд (3.43). В случае разгрузки этн функции приобретают вид 1 б о + (Лз + Лг)(6 б ) + Лз(езз езз) сгвз = !газ + Лз(6 — б ) + Лв(езз — езз), (3 59).

Р= Р'+ 2Лг(р — р'), 9 =(~'+ 2Лв(с) — с)"), где все величины, помеченные звездочкой, относятся к пластическому состоянию, достигнутому в данной точке среды к началу разгрузки. Квазистатнческая задача В теории малых упруго-пластических деформаций траисверсально изотропной однородной среды . заключается в решении уравнений равновесия о,с+ ("зз сс),збзс + Рцз+ 2Щсгс+ Хс = 0 (360) и шести уравнений совместности (1.2.2) Чсс зя! асзсасзс езх,свс = О, (3,61) 242 в которые вместо деформаций нужно поставить их выражение через 'напряжения (3.37) — (3.39). При этом следует еше удовлетворить граничным условиям и~ (и) 1х, -= пе, (она + (паа — а) лаби+ (Ры+ 2С3ы)л1) |х.= 31~ (3 62) В случае разгрузки деформации связаны с напряжениями законом 2(1 — е) -„2е' 0= 0'+ (и — о") — — (п~ — о ), Е и' еа ' 2е' 1 е — е* — —, (о — о") + — (оаа — и ) ее Е' Зе ' (3.63) р= Р'+ — (Р— Р'), Ч =0'+ —,(Я вЂ” Я'), 2С 2С' В упругой области можно пользоваться соотношениями (3.63), в которых все величины, помеченные звездочкой, следует положить равными нулю.

Обратим внимание на то, что всякий симметричный тензор второго ранга Ь может быть, аналогично тензору о (3.39) или тензору а (3.37), представлен в виде суммы четырех тензоров: (З.бб) где 1 ЬЫ= — — Ь(бк! — ба1бе1) 2йсА1 — = Ь' 2 (3.66) Ь11 — ЬМ 11а1 + Ь)1 (йеабеу + йаеби) Ьц М вЂ” = (й ) (3.67) Ь11а1 ам ймбе1 + Ьееба — 2Ь'е1 Ь)е1Ь 11 — (Ьоа)е С причем л, йае, Ь01, й<а1 — четыРе независимых инваРианта тензоРа й для трансверсально изотропной среды. Упражнение 3.10.

Показать, что для тензора й (3.65) справедливы соотношения 243 где технические постоянные связаны с модулями Ла, Лм Ле, Лп Ла соотношениями Л, = Е' (1 — т)К Л, = Е (т + Ье")!1(1 + ч) 11 Ле = Ет'11, Ле= 6= Е((2(1+ т)), Л,= 6', 1=1 — т — 2т' й, (3.64). й— : Е(Е'. (3.6$ й)дйдД=0, йд",й)У>=0, «~дй' ,=0.

Ю Заметим, что всякий симметричный тензор второго ранг4 можно представить в виде суммы не более шести линейно неза висимых тензоров (базисных). В случае трансверсальной изотро пни для квазилинейной тензорной зависимости оказалось четыр» базисных тензора. Квазилинейная ортотропная тензорная функ" ция включает в себя зависимость от шести инвариаитов, и поэтому тензорный базис для ортотропии состоит из шести тензорон (самый общий случай). Будем считать, что главные оси ортотропни совпадают с осямм' координат.

В этих осях можно записать тензор напряжений в виде одд = оддбддбду+ аеебедбвд + дтззбздбзу + оде (бддбву + бедбд!) + + яде (бддбзв + бв,бдд) + нее(бвдбз! + бздбед) (3. Ю) где каждая из величин сд„е является функцией шести инварнантов тензора деформаций деве = оаа (е, е,е, езз, еде, едв, езе), сс < р; сд, р = 1, 2, 3, (3.70х при этом все сд в и е„в, дд~(1, считаются неотрицательными.

Для упругой области функции (3.70) являются линейными: сддд = Хдедд + Аваев + аваев одв = везде севе = Хдздд + Аваев + Аваев, О„ = Хвевд, (3.71) оез = Хеедд + аваев + Хзезе деде =)дзедз. Следует различать величины нп — компоненты тензора сд и дгед, а~~, — инварианты тензора напряжений, которые совпадают по виду с компонентами только в специально выбранной системе' координат, которую мы рассматриваем.

Чтобы сделать это различие более четким, введем тензоры е<'з) = — з (б„бм + бмбыд), зс1зд=а (б дб д + б дб д) (3.72)' ад~у ~ — вез (бвдбед + бедбвд) где е)'з1 е<'а = 2ез, ейз>знз> = 2ее, едСЯее<зз> = 2е', (3.73) Н = м' дт д! = дз' дт 0 = ез н аналогичные тензоры для напряжений.

Тогда (3.69) можно записать в виде пп = сдддбддбдд + сдезбедбв! + сдезбедбзд + + ем па+ ем е(1з) + сев еню (3.74) ' еи ' едв еее 244 Материал называется ортотропно-несжимаемым, если выполя я(ется условня енинО, еаа — О, еаа О. (3.75) Рассмотрим теперь случай анизотропнн произвольного вида. Пусть в некоторой прямоугольной декартовой системе координат трехмерного евклндового пространства рассматриваемая квазилинейная тензорная функция имеет внд л (гц = ~~~~ 1 а("! ° 7а) Р((в~ а ! где у, — некоторые скалярные функции совместных инвариантов Х» 1а ... тензоров е, А» Ан ... (тензоры А» Ан -.

характеризуют рассматриваемый класс анизотропии), а р('"! — некоторый тензор, не зависящий от тензора деформаций е илн зависящий от него линейно, причем в выбранной системе координат можно записать. Р(! (Р((В! дГ ! Р(а! е(( =,~„РМ' ' = б в, — = — ". (3.77) ГаГВ да«7 а Как уже упоминалось, число и (а, р=1, ..., п) не может быть больше шести. Назовем !. линейным инвариантом, если существует такой гензор-константа а("(, что р,! = —" а((,".(, а„ж(а(!"!а((!)((а, ~~)~~ а(~( ! = Ь,(, (3.78) ~к к=! где ла<п. В противном случае инвариант 7! называется нелинейным. Тогда соотношения (3.76) можно представить в виде н а(в! р(7! о(! =,$, Ъ'х(У(, °, У„) !' + ~~1~ Ум(7! ° 1.) !' (3 79) ч т=т+! Не оговаривая этого каждый раз, будем считать, что индексы а, р пробегают значения от 1 до и, индекс х — от 1 до т, а у— от т+1 до п.

Итак, соотношения (3.76) илн (3.79) устанавливают связь между напряжениями н деформациями, если известны, наяример из эксперимента, п функций а У„=У (1,, ...,7„) Я А в(1 — н (г!. ° ° ! ))гв (38О) в 1 Здесь А, — некоторая квадратная матрица пХп с постояннымн коэффициентами, прячем С . ( )Р(В! «нр«рй (3,81) ав= г г н В где «> — функции инвариантов 11, ..., 1,.

Для линейной упруга' среды в (3.80) следует положить е> — = О. Если скалярные соотношения (3.80) можно разрешить относи тельно 1ь 1м -., 1а> а 1.=1.(У,...У„) = ~ В.,)) — ~З.~;,...,У.))У,, (3.8 а=1 где квадратная матрица В а определяется в виде ,/</иР<<а/> РЯ) (3.8" а >'а а тензоры Р< ) определяются аналогично (3.77) Р)"> Р)а> а>,. Р<а> <г>/ = ~~»~ Р)/), / / = б а, — = </, (3.8". )а)а з"// ~а а 1 то соотношения (3.79) также разрешаются относительно дефор маций а)/) " Р<<7> l <~~ ~1 () У ) / + ~~ > 1 (у У ) (3 8» аа у, а 1 т-а+1 Таким образом можно установить взаимно-обратную связ между тензорамн Р<'> и р<'): Рн = Ри Рц = — Рн <а) а <а> <а) 1а <а) (3.86 1а га Назовем процесс деформации е(1) и процесс нагружениа о(1) простыми в узком смысле, если выполняются условия '(3.45)„ (3.47), и простыми в широком смысле, если Р<а) (1) — ц/)р<а><> р<а> (1) а, р (1) Р[а)0 (3.87)> Упражнение 3.11.

Доказать, что простому процессу деформа: ции в обычном, широком и узком смыслах соответствует процес1 напряжения в обычном, широком и узком смыслах соответст венно. й) Пусть теперь в пространстве деформаций задана функци. >р(11, ..., 1,) и величина <рм которая определяется эксперименталь.