Задачник по термодинамике, страница 10

Массовые доли определяются из выражений: йм, =тм,!т = 1О/16,63 =0,601; йо,=то,/тл 5/16,63~0,3; янм =тме /т =1э63/16~63=0с098 Определим газовую постоянную смеси И = ям, Им,+ + по, йо, + Дне.Вне — 0>601 ' +ОЛ + 28 32 + 0,098 459,77 Дж/(кг. К). 4 Взяв из таблиц Приложения необходимые значения теплоемкостей: рс = 29,35 кДжр(кмоль К); рср = 29,73 кДж/(кмоль К); рсрн„= 14,56 кДж/(кмоль К), переходим к определению энтропии компонентов смеси: Г 29,33 1ср и 1и (Т/То) /Зн 1п (Р/Ро)! йен ~ Х х!п(573/273) — — '1п (8/1) ! 0,601 =* 23 =0,096 кДж/(кг К); Фэ, =1сро, 1п (Т/То) — Йо,)п (Р/Ро)! Ко, = — 1и (573/273) ' ! п (8/1)1 0,3 Г 29,73 З,ЗГ4 ~ З2 32 0,0446 кДж/(кг К); аНе =(С»Не,1П (Т/То) — ИН»е! П (Р/Ро)) кне»= — 1п (573/273) — — ' 1П (8/1)1 0,098 = 4 4 =: — 0,159 кДж/(кг К). Найдем объемные или молярные доли через известные массовые: Еф/Р~ =фн,/Рн +йео /Рое+ Яме /Рне =О 601/28+ + 0,3/32+ 0,098/4 = 0,058; ям,/рн, 0,601/23, Йо,/ро, гн,= — '' = — '-— 0,383; го,= — * Хгн/И! 0,036 223/И! 0,3/32 — О 17' гн» вЂ” 1 гм го ! 0 383 О,овз — 0,17 0,45 и рассчитаем энтропию смешения 53»м = — /7(гне!п гн.

+го,1п го, +гн,, !пгне,) = = — 0,4598 (0,383 1п 0,383+ 0,17 1и 0,17+ +0,45!п0,45) =0,473 кДж/(кг К). Искомая удельная энтропия газовой смеси зем =зх»+ зо, ф зне, + з»мещ = =0,096+0,0446 — О,!59+0,473 .0,455 кДж/(кг К) 4.41. Смесь выхлопных газов реактивного самолета состоит из углекислого газа, водяного пара, кислорода и азота и находится при давлении 98 кПа и температуре 469'С. Массовые доли компонентов: дсо, = О,!8, ан,о = 0,17, до, = 0,182 и ян, = 0,4б8. Определить энтропию 1 кг газовой смеси, предполагая, что энтропия газов равна нулю при давлении 1О кПа и температуре 0 'С. При решении воспользоваться понятием энтропии смешения. 4.42. Решить предыдущую задачу, не прибегая к вычислению энтропии смешения.

4.43. Смесь водорода и гелия массой 1 кг„находящаяся в резервуаре объемом 0,1 м" при температуре 175 'С, вытекает в другой резервуар, объем которого вдвое больше. Какую температуру приобретает смесь газа после завершения этого процесса, если энтропия смеси увеличилась на 2,7 кДж/(кг. К). Состав смеси в объемных долях 94 е4 водо. рОда Н 6 ете ГЕЛИЯ. 4.44. Известно, что энтропия является адднтивной функцией и может быть вычислена по следующей формуле: и ВР, т= ~! 5 (з )Р1, т, (4.1) 1= ! где индекс р; означает, что энтропия з! вычисляется прн парциальном давлении !'-го компонента газовой смеси.

С другой стороны, энтропия может быть вычислена по общей формуле ВР. т = ~~~~~ Я! (В1)Р, т + бземе!и = ~л~~~ Е1(Р1!Р, т+ 1= ! 1=- ! и + ~ч~ ГГ1/71!и(!/Г1), (4.2) !=1 в которой аддитивность энтропии не отражена. Показать, что формула (4.!) эквивалентна формуле (4.2). ГЛАВА Е ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕРМОДИНАМИКИ. ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ $5.1 Дифференциальные уравнения термодинамики 5.1.

Доказать равенства си = Т (дз/дТ)Р и с, Т т,' Х (дз/дТ)„. 5.2. Доказать равенство с, = — Т/(дВГ1дТВ),. 55 5.3. Вывести уравнение Г = и + Т(дР/дТ),. 5.4. Вывести уравнение 0 = / + Т (дб/дТ)р. 5.5. Доказать, что в критической точке теплоемкость равна бесконечности. Р е ш е н и е. Найдем связь между теплоемкостью при постоянном объеме и теплоемкостью в критической точке. Дифференциал энтропии для переменных Т и о дь = (дь/дТ), бТ+ (дь/до)г ба.

В критической точке это выражение принимает вид (дь/6Т)гв= (дь/дТ), „р+(дь/до)г ьь (бо/бТ), но (бь/бТ)„„=с„р/Т„в; (дь/дТ)„„р с, „„/Т„„, тогда и так как(дь/ди)г=(др/дТ„'), то сиа = с.хр+ Тьр (др/дТ).ии (до/дТ)к.. В критической точке (ди/дТ)„р —— ао, поэтому с„„оо. 5.6. Найти связь между теплоемкостями вещества на верхней с' и нижней с' пограничных кривых через теплоту парообразования г. Р е ш е н и е. Известно, что с= Т (дь/дТ), следовательно, с'=Т(дь/дТ)„а Т(бь'/дТ), с"=Т(дь|дТ), Т(дь"/дТ). Вычитая из второго выражения первое, получим /ы ьь ~ т с"-с'=Т~ — — — ~ — (ь" — ь'), ~ ат ат 3 ат ио д (Т (р' — ь')) = бг = Тд (р" — ь') + (ь" — ь') ЙТ, от- куда Т6 (ь" — ь') = дг — (р" — з') 6Т, или окончательно с" — с' = (дг/бТ) — (г/Т).

5.7. Доказать, что ср/с, = (др/дп),/(др/до)г. 5.8. Вывести уравнение адиабаты в дифференциальной форме, используя переменные и, Т. 5.9. Доказать, что в случае идеального газа существу- ет интегрирующий множитель, равный 1/Т, с помощью кото- рого выражение дд = с,дТ + рбо преобразуется в полный дифференциал. Р е ш е н н е. Для идеального газа справедливы зависи- мости ри = РТ и с, = / (Т). Разделив выражение для б4 на Т, получим Йг//Т = (с„/Т) 6Т + (Я/о) до, Если в правой части этого раненства стоит полный дифференциал, то крест-накрест взятые производные должны быть равны друг другу. Так, потому что с„и Т не зависят ат и, а 1( и о не зависят от Т. 6.10.

Найти зависимость внутренней энергии от объема для газа Ван дер Ваальса. 5.11. Найти уравнение для вычисления внутренней энергии для газа Ван дер Ваальса. 5.12. Доказать, что при 4'С для воды ср —— с,. Р е ш е н и е. Связь между теплоемкостями для реальных веществ выражена уравнением ст — с„= Т!(др(дТ), (ЫдТ) р, Для воды прн 4'С и атмосферном давлении имеет место максимальная плотность. Следовательно, (ди(дТ)т = О, а термическая упругость (др!дТ).— величина конечная. Поэтому ст — с, ~ О и с„= с,.

5.13. Доказать равенство ср — с,=~ — ( — )1 и,Т~~ — ~ — ) ~. 5.14. Найти температуру инверсии в области малых плот- настей для газа Ван дер Ваальса. Решен не. В выражении ч (Зр!Во)т+т (др/дт)о Х ~ (5.1) ст (дрlди)т знак Х определяется числителем, так кзк знаменатель всегда отрицателен Цдр(ди)т « О). Для газа Ван дер Выльса о (дРЩт= — ойТ!(о — Б)з+ 2а(и', Т(др(дТ),=РТ!(и — Ьь Подставляя полученные выражения в соотношение (5.1), найдем 2а! Ф вЂ” ЮТЬ/(о — Ь)з ст (СР!Ют Так как знак Х определяется числителем, то температуру инверсии определим из уравнения 2а/ох — КТЬ/(о — Ь') = О.

Пренебрегая величиной Ь по сравнению с о, получим Т = = 2а/(Ь)с). 5.15. В установке, используемой для определения показателя аднабаты Ь (рнс. 5.1), находитРис. 3.1 ся газ, сжатый до р = 2942 гПа. Определить показатель адиабаты Ь этого газа, если при быстром перемещении поршня на 9 мм давление в сосуде повышается на 100 мм вод.

ст. Объем У сосуда а равен О,З 10 э м~, диаметр поршня 10 мм, газ можно считать идеальным. Р е ш е н н е, й = с„/с, = (дшдр)г (др„йЬ„). Если рс = = КТ, то (ба/др)г = — (ц/(р) и й = — (с/р) (бр„/бц„), или в конечных разностях (0,3 !О ") ( — 9,807) 1,41 Р Зтн 2942(а.0,0)ч/4) 9.10-х 5.16. Вывести уравнение для дифференциального эффекта Джоуля — Томсона Х = — ЬТ//хр. $5.2. Фазовые переходы 5.17.

Вывести уравнение Клапейрона — Клаузиуса; а) методом функций; б) методом циклов. 5.18. Воспользовавшись уравнением Клапейрона — Клаузиуса, получить уравнения Эренфеста для фазовых переходов второго рода. 5.19. Используя уравнение Клапейрона †Клаузиу, получить уравнение кривой упругости пара для небольшого диапазона изменения температур.

5.20. Ввиду неустойчивости состояния системы на пограничной линии для определения объема сухого насьнценного пара используется уравнение Клапейрона †Клаузнуса. Определить удельный объем сухого насыщенного пара при р = 0,491 МПа, если из опыта известно, что теплота парообразования г = 2120 Кйж/кг, 0' = 0,00109 м'/кг, а зависимость Т = /(р) представлена такими данными: 0,491 0,041 424 427 6 и.

Ыпа . Т, К 0,443 420, 1 Р е ш е н н е. Из уравнения Клапейрона — Клаузнуса, записанного в конечных разностях Ь/7/ЬТ = г/!Т,(в"— — и')1, имеем а" *о'+г/ЗТ/(ТЬ/7) = 1,09 1О-з + 2 12.10в,7,3 424 0,093 1О' = 0,3821 и'/кг. Опыт дает значение в" "- 0,3818 м"/кг.

5.21. Удельный объем льда при 273 К составляет 0„1091 ° 10 * и'/кг, воды — 1.10 ' и'/кг, а теплота плавления 336 кДж/кг. Определить изменение температуры плавления льда при повышении давления на 0,1 МПа. 5.22. При каком давлении вода, имея температуру 368 К, будет кипеть, еслн прн р, = О,!013 МПа (760 мм рт. ст.) Т„ = 373 К, а теплота парообразовання в пределах этих температур г = 2260 кДж/кгй 5.23. При давлении р, = 0,09807 МПа температура кипения воды Т„ = 373,2 К, а прн /7, = О,!18 МПа Т„ = = 377„4 К. Определить удельную теплоту парообразовання в пределах этих температур.

5.24. Определить изменение бг/ЬТ теплоты' парообразования бензола С Н, при повышении температуры на 1 К, если для паров бензола при температуре 323 К ср —— 1230 Дж/(кг ° К), а для жидкого бензолв с,; = = 1880 Дж/(кг К). 5.25. Теплота парообразавания бензола С,Н, прн 323 К г, = 416 кДж/кг, а при 353 К г, 398,6 кДж/кг, Определить теплоемкость парообразного бензола ср в пределах этих температур, если теплоемкость жидкого бензола с' =- 1,73 кДж/(кг К).

Р е ш е н и е. Используя уравнение Кирхгофа в конечных разностях, получим с,,= Лг/ЬТ + с,', ' -1-1,73=1,15 кДж/(кг К) 323-333 5.26. Сернистый водород Н 8 кипит при 211,6 К и атмосферном давлении. Определить его удельную теплоту парообразования, 5.27. Метан СН, имеет теплоту парообразования г = = 579 кДж/кг.

Определить его температуру кипения прн давлении р 0,1013 МПа. 5.28. Для воды при р = 1013 МПа приведенная тем. пература кипения т = 0,58, температура в критической точке Т„р = 647 К. Определить температуру кипения воды. 5.29. Определить теплоту сублимации льда при 273 К, если объем 1 г водяного пара при 273 К равен 204,68 х х 10' смю, объем льда 1,09 см' и изменение давления пара при изменении температуры иа 3„5 К составляет 100 Па. 5.30.

Теплота плавления парафина при 325,7 К и давлении 0,1013 МПа равна 148 кДж/кг. Какова температура плавления парафина при давлении 1,013 МПа, если объем 1 г парафина при плавлении увеличивается на 0,125 смюЗ 5.3!. Через эфир при температуре 303 К н давлении 0,0985 МПа продувают 3 10 ю мю воздуха. Каков объем получаемой смеси и сколько в ней эфира, если температура кипения эфира при давлении 0,1013 МПа будет 308 К, а молярная теплота парообразования 27 900 кДж/кмольй 5.32.