Сборник задач по аналитической геометрии (Сборник задач), страница 7

В полярной системе У координат вывестя уравнение окруж. у, ности, которая имеет центр С(рз! 6,) О и радиус г (рис. 7). 4 Р е ш е и я е. Обозначим буквой Рис. 7. М произвольную точку окружности, буквами о и 6 — ее полярные координзты.

'!'ак кзк точка М может за. ценными вели нимать нз окружности любое положение, то р и 6 являются пере- личинзмя. Как и в случае декартояой системы, ик на. зывщот текущими координатами. Все точки к очки окружностя отстоят от центра на рзсстоякии г; запишем зто условие символически: СМ г. (!) Выразим СМ ч р через текущие координаты точки М (воспользуеллсз теоремок косинусов; рис.

7); СМ = )ггрв + р, '— 2рер с (6 — 6о) Подставив полу ленное выражение в равенство (!), кайдем урзв. псине, связывающее коордялшты !э, 6 точки М: 12 Р + Р22 — 2Реу сов(6 — зо) = г. (2) Это и есть уравнение данкой окружности. Действвтельяо, для каждой точки М, лежащей на данной окружности, выполняется условие (!) и, следовательно, коо динатэ. удут удовлетворять уравнению (2); для каждой точки М, не лежащей на данной окружности, не будет выпочняться уело ( ) , следовательно, ее координаты не будут удовлетворят Таким образом, задача решена. Можно лишь несколько упростить получелнгбе уравяение и представить его в виде, свободном от радккзла! р 2рор соз (6 — во) = г — ро 2 :;1'-,$74. Вывести уравнение геометрического места точек, ($$(ньиасково удаленных от координатных осей.

$75, Вывести уравнение геометрического места точек, ,~вхзудуящихся на рзсстояняи а от оси Оу, $76. Вывести уравнение геометрпче.кого места точек, 'ндяодящллхся нз расстоянии (2 от оси Ох -':«5$77. Из точки Р(6; — 8) проведены всевозможные л(ичн, до пересечения с осью абсцисс, Составить уравне'н(ув', !'еометрического места их середин. ,:,",,$78'; Из точки С(10; — 3) проведены всевозможные 'дучн:до пересечения с осью ординат. Составить уравне'Нфв'геометрического места их середин. '.,:.:- ЛЯ; Вывести уравнение траектории точки, которая ''-и':~уждый момент движения одинаково удалена от точек: '$!)::;:.; -'А'(31 2) и В (2; 3); 2) А (5; — 1) и В (1; — 5); '3~!::Я"(Б; ' — 2) и В( — 3; — 2); 4) А(3; — 1) и В(3; 5) ,.-в::;:,„::х86, Составить уравнение геометрического места то- ';~;:;::.разность квадратов расстояний которых до точек ф~",'.аА О) и В(а; 0) равна с, '";.„,",'-$8(.,Вывести уравнение окружности, имеющей центр '$$!мйчддр:координат и радиус г.

'~!.-':,':;;::$хл2;:"Вывести уравнение окружности, имеющей центр ,а$л$$$,,ф)'"лн радиус г, "', $8Ж'Дано уравнение окружности ха+у'= 25. Софффвитьс.уравнение геометрического места середин те; Х($трд::втой окружности, длина которых равна 8 ,,л:,"::$84.: Составить уравнение геометрического места то , .,й '„',,„сумйла квадратов расстояний которых до точек ; —:3; О) и В(3; 0) равна 50 -,$85, Вершины квадрата суть точки А(а; а), В( — а; а), С(';",;-а; -а) и ьт(а; — а).

Составить уравнение геометрнчце$()$рго места точек, сумма квадратов расстояний кото. Рмд:::.дто сторон этого квадрата есть величина постоянная, рваная баз '::!$66х Через начало координат прогедсны вссвозмож- :, нйв хорды окружности (х — 8)2+ уз =- 64. Составить '.;,УРамиение геометрического места середин этих хорд. "'$8л;!Вывести уравнение геометрического места точек, су~$Й' расстояний которых до двух данных точек ;Рлдг$63; 'О) и Ез(3; 0) есть величина постоянная, раг,- наф:'з)О.

-' -$ЖВ.' Вывести уравнение геометрического места точек, РФзйвсть расстояний которь!х до двух данных точек ~$!(:;;-':",'Б; О) н Рх(5; 0) есть величина постоянная, равная 6. 3! 189. Вь!вести уравнение геомегрпческого места точек, длп которых расстояние до данной точки с(31 О) равно расстотшшо до данной прямой х+ 3 = О.

190. Вывести уравнение геометрического места точек., сумма расстояний которых до двух данных точек гг( — с; О) и Ьа(с) 0) есть величина постоянная, равнзп 2а. Это геометрическое место называется эллипсом, точки Е! и гв — фокусами эллипса. Доказать, что уравнение эллипса имеет вид х' у' — „, + —, = 1, где Ь' = аа — с'. 191. Вывести уравнение геометрического места точек, разность расстояний которых до двух данных точек Гт(-с, 0) и гт(с; О) есть величина постоянная, равная 2а. Это геометрическое место называется гиперболой, точки г! и Ра — фокусами гиперболы.

Доказать, что уравнение гиперболы имеет впд ут — — — = 1 где Ь' = са — ат. аа Ь' 192 Вывести уравнение геометрического места точек, ддя которых расстояние до данной точки Р1-1 0) равно (2' расстоянию до данной прямой х = — —. Это геометри2 ческое место называется параболой, точка Ь' — фокусом параболы, данная прямая — ее директрисой. 193, Вывести уравнение геометрического места точек, для которых отношение расстояния до данной точки Г( — 4; 0) к расстоянию до данной прямой 4х+ 25 = О 4 равно =.

194. Вывести уравнение !еометрического места точек, для которых отношение расстояния до данной точки Р( — 5; 0) к расстоянию до данной прямой 5х + 15 = О б равно —. 4 ' 195. Вывести уравнение геометрического места точек, для которых кратчайшие расстояния до двух данных окружностей (х-)-3)а+да = 1, (х — 3)'+у'= 81 равны между собой. 196. Вывести уравнение геометрического места точек, для которых кратчайшие расстояния до двух данных окружностей (х+ 10)'+у' = 289, (х — 10)'+ уа = 1 равны между собой. 32 еского места то !ек, до данной окружпрямой х -1- 2 = 0 лярной оси и отсе- вить уравнение этом клонен к полярной не этого луча в по- с и наклонена к поить уравнение этой оставить уравнение ния которых от по- проходит через по- . Составить уравнестеме координат. касается полярной этой окружности в ения линии скоторой точки М; рас.

ут, вообнгс говоря, мсмсщаться. Равенства (1) Рнс, 8, я траектории точки а угол ( = — «".ОНА 1 и найти уравнение = О. 66т Вывести уравнение геометрич рыляс:которых кратчаЙшие рас""я""! я ~:,1;г (. 5)а +уз — 9 н до данной ;~втвнй между собой 196« 'Прямая перпендикулярна по ~вйв-'ца ией отрезок, равный 3. Соста 'пубмой в полярных координатах -';*;466; Луч выходит из полюса и на ,~ам,;:пйпд углом — .

Составить уравнен -",.~ц))цых координатах. :-";;::,-666.'Прямая проходит через полю лт(рносй оси под углом 45'. Состав '-'.6р6)езй в' полярных координатах - „,'-::;:,"26т.;пБ полярных координатах с 'г1ВВМвФрического места точек, расстоя Лявцой оси равны 5 „;.,;,„,26г2. Окружность радиуса )с = 5 дщ4;: ее центр лежит на полярной оси ((6В!':В)вой окружности в полярной си .;,";:",''фаей. Окружность радиуса «т = 3 ,,вЮ:::в-' полюсе.

Составить уравнение ,,:-;~у)у«)яриой системе координат, $11. Параметрические уравн ':1::.,"~::,.Обозначим буквами х н у коордпнаты н 'Скату)тйвм двв фувкдн!! аргумента т: "- д)-;"!; х=ф(!), у=-ф(т). т,,-';:::.'Прв ввмгнснпп ! вслнчвпм х в у буд '4 в(1)1ууя,:.следовательно, точка м будет перс ,;~вйав!ввкттсв. варамстричсскнмв ууаяненняын ":«Илий(';.,всторая является трасктоонса точ. рв'-4) 'аргу!тент ! тюснт названнс !!аравот йд!)16сав кз равенств (1) могкно искам тять 'у)46)вмйтр й то получпм уравяснне туаскто' ',йкв1твчкв м н ваде г(х, у).--о '.'(::'$66в 'Стержень АВ скользит своимй,",,'Жиц!!ми А и В по координат- МФМ:,'","гйсякмь Точка М делит стержень Вц,'.::-''две', части АМ = а н ВМ = Ь.

:е)ятееу(е!Фти ',параметрические уравнени —,'М,;:;,;:'.","пРигияв в качестве параметр "!з()йег(кт!6).,Иск«!ючить затем паРаметР ,',.!т~ФэКтарии точки М в виде Е(х, у) „„-';-';- Ф'",',:,.тя, В. Касте!як Составить параметрические уравнения этих линий в декартовых прямоугольных координатах, совмещая положительную полуось абсцисс с полярной осью н выбирая в качестве параметра полярный угол.

209. Даны параметрические уравнения линий: 1) х=йз — 21-(-1, 2) х=асозз, 8) х=азесг, у=( 11 у=аз1пй; У=Ь(ду; й (Г+ т)' 5) х=2тх сов г, 6) х=гт'з(п2г', ь~ (). у=Лз(п21; у=2)т'з(пзй; 7) х=2рс1пзГ, у = 2р с1д г; исключив параметр Г, найти уравнения этих линий в виде Р (х, у) = О. 205. Траекторией точки М является эллипс, уравне. х' уз нне которого †, (- †, = 1 (см. задачу 190). Вывести параметрнческгие уравнения траектории точки М, принимая в качестве параметра г угол наклона отрезка ОМ к осн Ох. 206.

Траекторией точки М является гипербола, уравх' пз пенне которой —,— — ";=1 (см. задачу 191). Вывести оз параметрические уравнения траектории точки М, принимая в качестве параметра Г угол наклона отрезка ОМ к осн Ох. 207. Траекторией точки М является парабола, уравнение которой у' = 2рх (см. задачу 192).