Сборник задач по аналитической геометрии (Сборник задач), страница 3

Опреде, '.'лить координаты заданных точек в новой (полярной) . системе. 33. В полярной системе координат даны точки 4 У ' О М, (12; — тх) и М, !,12; — — тх). Вычислить полярные ко:,:ординаты середины отрезка, соединяющего точки М, 'и М,. 34. В полярной системе координат даны точки , .'М1(р1! 01) и Ма(р; Оа), Вычислить расстояние е( между -. НИМИ. 35. В полярной системе координат даны точки 'М!'(5; -4-) и Мх(8! — — !О !. Вычислить расстояние 11 ме.

,жду ними. 36. В полярной системе координат даны две смежные вершины квадрата М, (!2; — —,— ) и М, (3; — ). Опре'делить его,площадь. .37. В полярной системе координат даны две противоПОложные вершины квадрата Р(6; — — тх) и ьг'(4; О-п). Определить его площадь. 38. В полярной системе координат даны две вершины правильного треугольника А (4; — —.

и! и В(8! —,— и). Опред~~~ть его п~ощ~дь. 39, Одна из вершин треугольника ОАВ находится в полюсе, две другие суть точки А (р1! 0 ) и В (р:; Оа). Вытсислить площадь этого треугольника. 40. Одна из вершин треугольника ОЛВ находится в полюсе О, две другие суть точки А (5; 4) и В!4! !О). Вычислить площадь этого треугольника. .:;;'41.

Вычислить площадь треугольника, вершины кот6рого Л (3! — тс), В (8; — - тх) и С(6; — тх) заданы в полярных координатах. 11 42, Полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольнь1х координат, а поларьая ось совпадает с положительной полуосью абсцисс. и', В полярной системе координат даны точки Мз (6; — )„ Мз(5; 0), Мз'(2; — 'л ), М,'(10; — з), Ма'(8; з и), Мв'1!2; — — Определить декартовы координаты этих точек. ) х 43. Полюс полярной системы координат совпадае с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс. В декартовой прямоугольной системе координат даны точкнМг(0; 5), М,( — 3; 0), Мз()г 3; 1), М,,( — )х 2; — )' 2), М,,(1; — )г 3), Определить полярные координать: этих точек.

й 4, Направленный отрезок. Проекция отрезка на произвольную ось. Проекции отрезка на осн координат. Длина и полярный угол отрезка. Расстояние между двумя точками Прямолпиейньгй отрезок изливается направленным, есле указано, какая из ограиичивзюшкх его точек счктается началам, какая— концом, Направленный отрезок, имею.дий точку А своим началом н тогжу В концам (ркс. 3), обозначается с«мволам ЛВ (т. с, так кзк о~резок аск; см.

4 1). Дания направленного ответив 'Лчт (прн заданном масштаба) аоазначается В скмвалом (АВ! (яли ЛВ; см. сноску на стр. 1З)Х Проекцией отрезка АВ на ось и назыс вчется числа, равное величине отрезка А~В~ оси и, где точка А, является проек: л) цней на ась и тачки А, а В~ — праекцкей нз зту же ось точки В. Рис. 3. Проекция отрезка ЛВ нг ось и обозна чается символом пр АВ. Есле на и«аскет стн зад«из система декартовых прямоугольных координат, то про,-; екция отрезка иа ось Ох обазначзется симвалах1 Х, ега проекция на' ась Оу — символом У.

Если известны координаты точек М~(хк у~) и Мг(хе; уз),,та проекции Х и У на оси координат направлен«ага отрезка Мзйге могут быть; ычяслены по формулам Х=-хз — хь У=у,— уа Таким образом, чтобы найти проекции направленного отрезка и» аси кооРшшат пУжно от каоРдкпат его кокца отнять саатвехтствй1ат шве координаты начала. :х«!ч - Угол О. иа который нужно повернуть полшкптельную полу:"'-хвйь Ох так, чтобы ее направление саш:ала с к«правлением отрез~ха т:-;хт(«Мн называется ао,.яркын уг.

ам отрезка Мы!0 Угол О понимается. как в григанаметрик. Соответственно ',:~оку О кмеет бесконечна много возчонскых знаке«звх которые от;, змчаются друг от яру~а ка веля.ику вида ' йяп (где л — целое .",;," «чажнтельиое число). Главным значением воляргюго угла к«зы. ",зад ха ".'.4»ется то кз ега зпзчеп за которое удовлетворяет ксравен таам Л+й ~ О =-. -Оп Формулы Х=-д сазО, У.— "=Л хгпО «Отражают проекция пра«звалького отрезка кз координатные оси ;;'кчраз ега алину н полярный угол. Отсюда же вытекают формулы Х .

У д=!7Х'+У', созО=: —, зшй= ух+Уз' ' УХе РУ .Катарые выражает данку и полярный угол отрезка через его проекцни на ася каарлнязт Если на и.",ос«ости даян две тачки М,(х; у,) и Мз(хп уз), то расстояние д между кими определяется формулой Л = )г (х, — х,)з + (у, — у,)з. 44. Вычислить проекцию отрезка на ось и, если даны его длина с( и угол ф наклона к оси: 1) с( =- 6, ф= у '2) с(=6, ср=-ч; 3) г( — — 7, ср=-'-; 4) с(=5, ср 01 '4). с(=5, йз=- и; 6) с! =4, ср=- —— 45.

Построить нз чертеже отрезки, исходящие из начала координат, зная их проекции на координатные осн: 1)„Х=З, У=2; 2) Х=2, У=- — 5; 3) Х=-5, У=О; 4)«Х= — 2, У=З; 5) Х=О, У=З; 6) Х=-5, У= 1 ' 46. Построить на чертеже отрезки, имеющие началом точку М(2; — 1), зная их проекции на координатные оси:!) Х=4, У=З;2) Х=2, У=О;3) Х= — 3, У= =1; 4) Х=- — 4, У= — 2; 5) Х=О, У= — 3; 6) Х =1, У,-'= — 3. :' 47. Даны точки М:(1; — 2), Мз(2; 1), Мз(5; 0), Мл(-1; 4) и М,(0; — 3). Найти проекции на координатНые оси следующих отрезков: 1) МхМз, 2) М,Мь 3) 3(.Мз, 4) МзМз. '48. Даны проекции отрезка МхМз на оси координат Х'= 5, У = — 4; знал, что его начало в точке Мг( — 2; 3), ннйти координаты его конца. !3 и» .

Даны проекции отрезка АВ на оси координат Х = 4, У = -5; зная, что его конец в точке В (1! — 3), найти координаты его начала. 50. Построить на чертеже отрезки, исходящие из на- чала координат, зная длину л и полярный угол О каждо- го из нях; 1) И =- 5, О = -' —; 2) й = 3, О =- — 'гО 3) г(= 4, з* 4)4 3 3 51. По . П строить на чертеже отрезки, имеющие нача- лом точк М(2 3), у М(2» 3), зная длину и полярный угол каждо- го из нях» 1) Ф=2, О= — —; 2) 0=1, О= — ' 3) 0=5 9' О= — — (координаты точки М вЂ декарто). 52.

Вы . Вычислить проекции на координатные оси отрез- ков, зная длину с» и полярный угол 8 каждого из них! 1) 0=12 О = — и; 2) д=б О= — — "' 3) 0=2 8= — —. 4' 53. Да . Д ны проекции отрезков на координатные оси; 1) Х=З, У = — 4; 2) Х =12, У=5; 3) Х= — 8, У = 6. Вычислить длину каждого из них. 54. Д . Даны проекции отрезков на координатные оси: 1) Х == 1, У = )/ 3 ', 2) Х = 3 )/2, У = — 3 )/2 » 3) Х = = — 2 )/3, У 2. Вычислить длину И и полярный угол О каждого из них. 55. Даны точки М1(2; — 3), Мз(1; — 4), Мз( — 1; — 7) и ~( — 4; 8).

Вычислить длину и полярный угол сле- дующих отрезков: 1) М1Мь 2) М~Мз, 3) М.М4 56, Длин абс ис , Длина д от~евка равна 5, ега проекция на о сь о яна я сс равна 4. анти проекцию этого отрезка на о рд: т при условии, что он образует с осью ординат) ось 1) острый угол, 2) тупой угол. 7. Длина отрезка М)У равна 13; его начало в тач. ке М(3; — 2)„проекция на ось абсцисс равна -12.

Най- ти координаты конца этого отрезка при условии, что он образует с осью ординат: 1) острый угол, 2) т.- пой угол. г л, ту- !4 ,:;:;", 58. Длина отрезка Л|У раина 17, его конец в точке :«''~('.(-7» 3), проекция на ось ординат равна 15. Найти ко- '.ррдянать» начала этого отрезка пря условии, что оя 'Образует с осью абсцисс: 1) острый угол, 2) тупой ;,у~ел 59. Зная проекции отрезка на координатные оси = 1, У:::= — )/3, найти его проекцию яа ось, которая 2 ;Саставляет с осью Ох угол О=- — и. 'з 60 Даны две точки М1(1; — 5) и М (4; — 1). Найтя ',-"проекцию отрезка М,М~ на ось, которая составляет .сс';,а»сью Ох угол О= — —.

6 ' 61. Даны две точки Р( — 5; 2) и Я(3; 1). Найти проек- ':-'цию отрезка Р6 на ось, которая составляет с осью Ох 4 .угол О= агс1д —, 3 ' .62. Даны две тачки М1(2; — 2) и М~(7» — 3). Найти -:;фраекцию отрезка М~М~ яа ось, проходящую через точки Я(5 — 4), В( — 7; !) и 'направленную: 1) от А к В, 2) от В к А.

63. Даны точки А(0; О), В(3; — 4), С(-3; 4), :В.( — 2; 2) и Е(10; — 3). Определить расстояние с» между алочками: 1)А я В; 2) В я С; 3) А'и С; 4) С и Р; 5) А ЙЪ;6) ВиЕ. 64. Даны две смежные вершины квадрата А(3; .-7) и'В;( — 1; 4). Вычислять его площадь.

65. Даны две противоположные вершины квадрата Р(3» 5) и Я(1; — 3). Вычислять его площадь. '66. Вычислять площадь правильного треугольника, две вершины которого суть А( — 3; 2) я В(1; 6). '67. Даны три вершины А(3; — 7), В(5; — 7), С( — 2; 5) параллелограмма АЗУ, четвертая вершина которого 0 противоположна В. Определять длину дяагоналей этого пйраллелограмма, . 68. Сторона ромба равна 5)/г»0, две его противопо- ложные вершины суть точки Р(4; 9) и Я( — 2; 1). Вычис- лить площадь этого ромба. 69.