Сборник задач по аналитической геометрии (Сборник задач)

Ппд рбдакдкей проф. Н. В, ЕФИМОВА ИЗДАНИЕ ТРИНАДйсАТОЕ, СТЕРЕОТИПНОЕ Донуцено Министерством вьссиьего и среднего снеииаеьного обоа*овиния СССР е яаеестве уигбиого иособия дон студентов висисиг уеебньсх наведений МООКВА ИАУКАь ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИИ ФИЗИКО.МАТЕМЛТИЧЕОКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МО С К 13 А 1980 22. (о!Л К 48 УЛК 51б От иэдате»)ьетеп ОГЛАВЛЕНИЮ Глава 2. Уравнение линии НБ уа Н596 053(02)ФО Настоящее (тринадцатое) яздание кпнгн ве отличается от предыдущего (1975 г.) Давид Бллгороэич Клетекик Сборник задач по аналитической геометрии М., !980 г., 240 стр, о илл. Редакторы Ф. И.

Клакер, В. В. Докчекко Техн, реаактор В. Н. Колдахоел Корректоры Г. С. Плегкееа, Н. Д. Дорохоея Печать с матРкц. Подпнсаао к печати ОО.ОЗЛО. БУмага 84)(1089»ь ткн. М 3. Литературная гарнктура, Высокая печать. у»лози. печ. л. 12,6. уч..язд, л. !4,73.

Тираж 200 000 экз. ().й заэод 1-100 ООО зкэ ). Заказ М 2899. Цена кки:и Ш коп, Иэгательстэо «наука» Глазная редакция Физико-матемагнческоб литературы 1!7071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15 Отпечатэко с матрац Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградской типографии М 2 имени Евгении Соколовой «Союеполнграфпрома» при Гасуларсгзенком комитете СССР по делам издагельстэ, полиграфии и княжной торгоэли.

Измайловский проспехт, 29 и типографии М 2 изд.эа «Наука», Мескаа, Г.99, Шубя!»с»гг!й пер„10 ЧАСТЬ ПЕРВАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ . Г л а в а 1. Простейшие задачи аналитической геометрии иа плоскости . . . . . . . . . . . . . . , . 5 6 1. Ось и отрезки осн, Координаты на прямой (6). 5 2. Дгкартоэы прямоугольные »соордяяаты иа плоскости (7).

4 3. полярные координаты ,-, 9). э 4. Напрааленный отрезок. Проекция отрезка на произэольиую ось. роекцня отрезна на ося координат. Длина и полярный угол отрезка. Расстояние между двумя точками (12). $ 5. Деление отрезка а данном отлошення (16). $6. Площадь треугольника (20). 67. Преобразоэаиие координат (21), $8. Функция даун переменных (2И.

4 9. Понятие урзэкеккя линни. Эадание линни при помощи уравнения (27), 5 !О, Вывод ураэненнй заранее данийх лений (2И. й 1!. Пзраметрнческис ураэяеяия линни (33). Глава 3. Линии первого порядка $12. Общю урззиеиие прямой. Ураанение прямой с углозым коэффициентом. угол между дзумя прямыми. Услозне параллельности и перИснликулярности лзух грямых (35). 4 13. Неполные ураэненяя прямой. Соэнестнос нсследоэаня«ураанеянй лоук и трех прямых.

Уразпение прныой «э отрезках» Из). 5 !а Нормальное ураэкение прямой. Задача сюределекпя рзссгоякяя от то кк до прямой (471 9 15. Уразиенке пучка прямых (53). 5 16. Полярное урззнеяпе прямой Ищ. ' Г л а в а 4. Геометрические свойства линий второго порядка 53 17. Окружность (М1. 9 18. Элзцпс (64). 9 19. Геперболэ (75).

20. Парабола 185). 6 21. По ярк»е ураэненне эллинга, гияерболы и па -; абазы (90), й 22. Дягмегры линий егорого порядка (92). ::Г л а в а 5 Упрощение общего уравнения линии второго порядка. Уравнения некоторых кривых, встречающихся в математике и ее приложениях.... 95 5 23. Центр линии эторого порядка (96). й 2К Приведение к пр~». гстсйще»~у экду ураэяеняя центральной липни а-,одого порядка (98). Ь 2Г Прнзедгкие к простейщеыу выду параболического урезке»»пя (!63). 26.

Ураэкення некоторых крчэых, пстречающихсл з математике и ее , Прйложе!»кях» ( 05). (е 3 Ответы и унвзания к задачам ЧАСТЬ ВТОРАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Гл а в а (Т Некоторые проста))шие задачи аиалнтичесной геометрии в пространстве , .

. . . . . . , . , 119 % .'П, Декартовы чгзмсзгсль«ы« кссрдвнзты з ввастрзкствс (112), % 29. Рзсстехнне между двумя тачками. Целе.хе (трет(з в дзк(юм стваюовкн (!13). Гл аз а 7. Векторная алгебра........,... !18 % 79. Пс«втве зсктогз, Пгсзхпвг сектора (1!6(. % ЗО, Ливейныз сч«гадив кзд вектзвзмн (1!8) % 3! Схзлхгхсе вгсиззйдсв((е «кторов !1241, % 32. Вектаркае в!усиззедсвнй зсхтйгсв 1 73). % 33 См«ызквс«гров«веле.- ние трек зз«тсвсз (13!). % 34. Двойное зз«арксг ввскззедсвне (131.) Гл ав а 8. Уравнение поверхности и уравнения линии... !88 % ак урзвиевхе всзегм(е-тн (!звь % 36. увззнзннх зхн (н задача аевесеченви Рсх в«зерхвостей (138). % 37. угззвзвве «клвндвн«зеков азерхввств с ебвзту(слхмв, пзвзлдззьныыв одч(ж вз косгдивзтвых асей ((19), Г л а в а 9. Уравнение плоскости.

Уравнения прямой. Уравкення поверхностей второго порядка...... 141 % 38. Овесе урз((невке плоскости. Угззнезке плсгкогтн. пвехедвп(ей через данную тачку х кчзюжей дымый в(зв«(з((ьный зектсв Н41). % 39. Негсзнье угзввзв(ж плоскостей. Упззиевне плсскесса «з етрезхзхз (14з). % 40. Напмзльнае урззиевнз плоскости. Рзсстехвне от тачки да взоскости (147). % 41. Урзвв«вих пгхмай (!61). в 42. Нзарзззх(вмвй жктор прхмсй Кзиокические уртвкенвв врзмой. Пзр«метрнческвз ураза«ннк првиой (154). Ь 43.

См«жзикьм зздз ж, атвссх(дкзсх к урзвненню влв. схостн н урззнзннхм прямой (!59). % 44. СФера ((65). % 45. Увззневив вхо. скости„авхчай И СФеры з вектоансй .«изалике (!(0). % 46. Позер(насти второго первака (174). Приложение. Элементы теории определителей..., . 188 % 1. Олределнтытв второго порядка н системз двух урзвневкй первой степени с двуыв неизвестными (185). % 2. Одногодка% системз двух уравнений вепзой теаеки с твемв нзиззестнымн (187). ьх 3. Определители третьего порядка (!88). % 4. Свойства определителей (190). % ь. Реженве и исследование системы трех уравнений лев«ой степени с твеязв неизвест ными (194), % 6.

Определители четвертага ворхдкв (!96), ЧАСТ)з ПЕРВАЯ ЛНЛЛИТИЧЕСКИ ГЕОМЕТРИН НА ПКВЛИ ГЛАВА 1 ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ $1. Ось и отрезок оси. Координаты нл прямой Првман, ва кжорой выбрано по, ож!Оелькос напраелеш е, пв. зываетсн осью.

Отрезок ос(ь ограпкченньй какими нж!у:ь точкам'. А и В. назь(настов направленным, есги сказгно, какал (з зтпх тачек счнтнгтсв качалом отрезка, какая — ка!шоы, Напрввлепн(нй отрезок ":с началом А и концом В обозначаетсп символам АВ. Веллчпной направленного отрезка оси назыпастск его длина, взвтзя со знаком --- плюс, есле напрзнление отрезка (т. е.

направление от начала к кан. .; Цу) совпадает с пологкнтельным направлением оси, и со знаком ': минус, ес.тв зто направление противоположно положительному ваагн. Величине отр(ж(а ЛВ обозначаюсп символом АВ, его л.,лнв — гнмвалом )~АВз!. Если точкк А н В совпадают, то. апре:,. дсчвемый нын отрезок (юзывастск нулевым, очеву!Лно, в зтом слу': Лрзе АВ == ВЛ =- б (направлеаке 1!улевога атрея(а следует счнта-,ь 'неопрелслснным).

Пусть лана произволы(ак пряиав а. Выберсы некоторый отрезок в качестве единицы измерения длин, назкачам на прямой и положительное направлекие (после чего она становится осью) з) отметим на атой примой буквой О какую-нибудь то«ку. Тем сзз!ым на прямой а будет пвсдснс п)ст ма кокард(!наг Коордгнатой жо ой точки М прямой а (с )становлснной скстсыс коорлнна ) нззыеаетсн кис!о х, разков чслнчгв)е отрезка ОМ: х =ОМ. Точка О называе1(в вьча1014 координат; се сабственнав каа(!Цп)!ага .Равна пулю В лгльпг!(юе«! символ М(х) овна'(аст, что точка М 'умеет коорл магу х Гели М (х,) н М;(хз) — две прюгзволькыс точки арам !и а, ! з ..формула М,М« = х! — х, 'Выражает г, личину отрезка 7)(,Мт, формула ~М(Мз) =- !«ь — х, ! гыраукаег его длину.

*) Обычно на чертежах гоаи!анталы!ык осс) поз,:кптслни ! ((азначагтся направлське слева направо '1. Построить точки А(З), В(5), С( — 1), В~ 3) Е( ), Р ('уг 2), Н( — '!гг 5). 2. Построить точки, координаты которых удовлетво. ряютуравнениям; 1) 1х( = 2; 2) (х — 1 !=3;3) !! — х~= =- 2; 4) ! 2 + х ( = 2. 3. Охарактеризовать геометрически расположение то- чек, координаты которых удовлетворяют неравенстваьм 1) х > 2; 2) х — 3 = 0; 3) 12 — х ( О; 4) 2х — 3 ( 0; 5) Зх — 5:> 0; 6) 1 - х ( 3; 7) — 2 ( х ( 318) =" > > 0; 9) 2 > 1; 10) — 1 < О, "11) — з < 1; '12) х' — 8х'-1= 15 ( 0; 13) х' — 8х + 15 > 0;, 14) х' + + х — 12 > О; !5) хз+ х — 12 ( О, 4. Определить величину АВ и длину !АВ~ отрезка, заданного точками; 1) А(З) и В(11)з 2) Л(5) и В(2); 3) А( — 1) и В(3)! 4) А( — 5) и В( — 3); 5) А( — 1) и В( — 3); 6) А( — 7) и В( — 5), 5.

Вычислить координату точки Л, если известны: )) В(3) и АВ = 5; 2) 'В(2) 'и АВ = — 3; 3) 'В( — 1) и 'ВА .= 2; 4) В( — 5) и ВА = — 3; 5) В(0) и 1АВ! = 2; 6) В(2) и 1АВ['= 3; 7) В( — 1) н 1АВ~ = 5; 8) В( — 5) и (ЛВ~ = 2. 6. Охарактеризовать геометрически расположение то- чек, координаты которых удовлетворяют следующим не- равенствам: 1) 1х1<1; 2) 1х [>2; 3) 1х !--2; 4) ! х !~)3; 5) ! х — 21<3; 6) ~ х — 5 !(» 1; 7) 1 х — 1 ! > 2; 8) ! х — 3 1- 1; 9) ! х + 1 ! < 3; !0» 1х+ 2! > 1; 11) 1х+ 5!(1; 12) !х+! !) 2, АС 7, Определить отношение Х = —, в котором точсв ' ка С делит отрезок ЛВ при следующих данных: 1) А(2) В (6) и С(4); 2) А (2), В (4) и С(?); 3) А ( — 1), В (5) и' С(3); 4) А(1), В(13) н С(5); 5) А(5)„В( — 2) и С( — 5).

8. Даны трн точки А( — 7), В( — !) и С(1). Опреде-' лить отношение )ь, в котором каждая из них делит от- резок, ограниченный двумя другими. м~м 9. Определить отношение 7ь = †„ , в котором дан- ная точка М (х) делит отрезок М1Л!2, ограниченный дане ными точками М1(х1) и М2(х2) ° '16.