В. И. Феодосьев - СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ (995486), страница 68
Текст из файла (страница 68)
13.10). Рис. 1З.1О Линеаризованное уравнение (13.5), как и уравнение (13.2), является приближенным и верно лишь при сколь угодно малых прогибах. С его помошью мы определили Р„р и форму изогнутой осн стержня при потере устойчивости. Но при этом константа С1 в выражении для упругой линии осталась неопределенной.
Перемешения найдены, как говорят, с точностью до постоянного множителя. Пля описания закритического поведения стержня при больших прогибах следует использовать полное нелинейное уравнение равновесия. Поскольку при больших прогибах М = = Е.17'р, где р — радиус кривизны изогнутой оси стержня, то нз уравнения (13.4) находим ЕУ О (1+ у~г)зуз +Ру= 0. 17' 61б При силе Р, большей критической, перемещения столь велики, что пренебрегать величиной р' в знаменателе нельзя. Я' Наконец, из рассмотренного примера видно, что у сжатого стержня существуют высшие формы равновесия (а = 2, 3,...), которым соответствуют и большие значения сил.
Эти формы в чистом виде не реализуются. Они неустойчивы. Но если стержень снабдить промежуточными равноотстоящими одна от другой опорами, то соответственно числу пролетов и можно определить и критическую силу. 13.4. Зависимость критической силы от условий закрепления стержня В пределах малых перемещений для стержня, шарнирно закрепленного по концам, изгиб при потере устойчивости происходит по полуволне синусоиды, и критическая сила п~ЕЮ Рхр = з !3 Используя особенности упругой линии, мы можем довольно просто распространить полученное решение и на другие случаи закрепления стержня. Так, если стержень на одном конце жестко защемлен, а на другом — свободен (рис. 13.11), то упругую линию стержня путем зеркального отображения относительно заделки легко привести к упругой линии шарнирно закрепленного стержня.
Очевидно, критическая сила для защемленного одним концом стержня длиной ! будет равна критической силе шарнирно закрепленного стержня, имеющего длину 2!. Таким образом, в рассматриваемом случае х~Е,! '"Р - (2!)з Рнс. 13.11 Рис. 1Э.12 Шарнирно закрепленный стержень, имеюший посредине опору (рис.
13.12), при потере устойчивости изогнется по двум полуволнам. Следовательно, каждая его половина теряет устойчивость как шарнирно опертый стержень, имеющий длину !/2. Поэтому гЕ! Ряр С!/2)г Обобшэл полученные формулы, можно написать обшее выражение критической силы для сжатого стержня в виде яг Е,/ Ря яр ( !)г 1 (13.11) где !з — так называемый иоэф4иииеига приведения длины, р = 1/и; п — число полуволн. Коэффициент р — это число, показывающее, во сколько раз следует увеличить длину шарнирно опертого стержня, чтобы критическая сила для него равнялась критической силе стержня длиной ! в рассматриваемых условиях закреплении.
Лля стержня, защемленного нэ, одном конце и свободного на другом, р = 2; для стержня, приведенного на рис. 13.12, и = 1/2. На рис. 13.13 показано несколько видов закрепления стержня н указаны соответствующие значения коэффициента приведения длины р. Во всех случаях значение р определяют путем простого сопоставления упругой линии изогнутого стержня с длиной полуволны синусоиды при шарнирном закреплении. Р1 р г УЕ РЕ гг ХР1 Р1 11ед7 Рмс.
13.13 Рассмотрим несколько примеров на определение критической силы. П р и м е р 13.1. Определить критическую силу для стермиз с двумя участками (рис. 13.14), если местность одного участка в четыре раза больше жесткости другого. Рис. 13.14 Соответственно длз первого и второго участков получаем уравнения Еуу,"+ Руз = О; 4ЕХузе+ Руз = О. Р з Обозначаем — = а . Тогда 4 Е.1 Уз + 43 Уз = 01 Узе+ е Уз = О откуда уз = Сг вп 2лз + Сз соз 2ез; уз = Сз з1в лз + Сз соз ез.
Из условии, что прк з = О прогиб уг = О, получаем Сз = О. Леле«, имеем еше трк условия". при з = !/2 пере«зешеынв у« = уз и у', = у~з, кри з = 1 прогкб уз = О. Соответственно записываем трн уравнения: Н й! С«в1п И вЂ” Сз з!п + С«сов 2 2' Н . Н 2сг сов Н ж Сз сов — — Сзвгп —; 2 2' СзвшН+ С«соаН = О. Приравниваем кулю определитель этой скстемм в!п Н 2 сов И Н зИ и получаем два уравнения: в1п — ж О н «йз — = 2. Наименьший отлнч- 2 2 й! ный от нуля корень находим из условия «й — = «Г2, й!/2 = О, 955. Тогда 14, ОЕ.! Р„, = — ' !з П р н м е р 13.2.
Определить крктическую сину длв шарнирно закрепленного стержня, нагруженного продольной силок посередкне !рис. 13.15). ч ! ь з «к Рис. 13.15 Здесь длв первого к второго участков имеем Езу = — Р— ж У 1 Ейуз =-Р-в+ РЦ вЂ” уз), 1 519 й! -мп— 2 Н вЂ” сов— 2 в1п И й! — савв 2 И юп— 2 сов й! нлн з у» = — з( уз+«уз «/(1 ! ( , / ( откуда «з/ ,з у» =- — — +С, +С,. 8 Л уз = Сз а1п«э + С» сок«з+/ (1 —— !)' Прн з = О прогнб у» = О. Следовательно, Сз = О. Прн з = (/2 перемещение у» = / уз = / п у» = у4» а прн з = ( прогиб уз = О.
Такам образом, полу чаем следующне четмре ураваенна: «з/ (з ( — — — +С, -=/; 48 2 Н «( 1 Сз е»п — + С» сое — + — / = /; 2 2 2 «/( Н, Н Х вЂ” — + С» = Сз«сов — — С»«е!п — — —; 8 2 2 !' Сзе»пН+С» соаН = О. Прнравнкваем нулю определнтель этой скстемы, рассматрнвае С», Сз, С» н / как нензвестные. Тогда Н ОН/2 2 («(/2)з — О' Нанменьшнй корень этого уравненна Н/2 = 2, 18. Тогда 18,7Ез Р., зз П р к и е р 12.2. Определять критическую склу длл защемленного странна, к свободному концу которого передаетса через жестккй шатун длкиой е сала Р (рпс. 13.18).
820 Н О мп— 2 Н 1 -«сов— 2 О е1пН Н сое— 2 Н «зш г сое Н «зП вЂ” 1 —— 48 2 !з( ( О Рмс. 13.16 Отбрасываем жесткнн шатун и прихладмваем к упругому стержню продольную силу Р' и Р и поперечную силу Ру/а. Тогда ЕууУ' = Р (у — у) + Р— (1 — з), или у +Ь имя У 1+- — —, г' 1 г1 а а)' откуда 1 у = Сг я1пкз+ Сз соялг+у 1+ — —— а е) Далее, имеем граничные условия: при г = О у = О и у = О, а прк зм1 у=У. Тахнм образом, получаем три уравнении: 1 Сз+/ 1+- =О; Сгя — У-= О; сгягпИ+СзсояИ= О. а) и Приравнивал нулю определитель втой системы, приходим к следующему трансцендентному уравнению: гяИ=И 1+ — ' из которого находим критическую сану в зависимости от отношения а/!.
Последний пример заслуживает дополнительного обсуждения. Упругий стержень нагружен сжимающей силой, но она передается через жесткий шатун н при отклонении стержня меняет направление линии своего действия. Поэтому критическая сила зависит от длины шатуна. Выясняется, что устойчивость определяется не только условиями закрепления стержня, и самой силой, но и ее поведением при малых возмущениях. Если никаких оговорок о поведении силы не делают, то считают, что при отклонении стержня сила Р (рис. 13.17, а) сохраняет направление вертикали.
Но, вообще говоря, об устойчивости стержня, показанного на рис. 13.17, а, ничего сказать нельзя, пока не задан характер поведения приложенных сил. А возможностей здесь много. В частности, на рис. 13.17, б — г показаны примеры одинаково, казалось бы, нагруженных стержней, имеющих, однако, различные значения критических сил.
Ф г Рис. 23.17 При решении примеров 13.1-13.3 использовали уравнения второго порядка. Это традиционный алгоритм решения задач устойчивости прямолинейных стержней. Однако этот алгоритм не всегда эффективен при решении задач с более сложными граничными условиями, чем шарнирное закрепление (см. например, последний случай, показанный на рис. 13.13). Лля этого случая из рассмотрения формы осевой линии стержня после потери устойчивости был определен коэффициент 1 приведения длины д = — = О, 666... - О, 7. Значение д а О, 7 1,5 получено не из решения уравнений равновесия стержня, а из геометрических особенностей предполагаемой формы осевой линии после потери устойчивости, поэтому его следует рассматривать как приближенное.
Рассмотрим общий метод определения критических нагрузок для прямолинейного стержня. В я ВЗ были получены векторные уравнения равновесия стержня (В5) и (Вб). При малых отклонениях прямолинейного стержня, полагая пЯ = пх и 1я = О, имеем 4с) — +ч=О; (Ь 7М вЂ” +(ехг4)=О, пл (13.12) (13.13) Ограничемся случаем, когда после потери устойчивости осевая линия стержня есть плосквл криввл1.
Это имеет место только тогда, когда при потере устойчивости не возникают крутящие моменты. В рассматриваемом частном случае входящие в уравнения равновесия векторы в декартовых осях равны Ч = Яя11 + Яу19~ Г1 = Ч 11 + Яд191 М = А~я1З~ е = (е111)11+ (е119) 19 = совд11+ в1пд19 — 1 11+ е19. — +дя гл О; ояе'г гЬ сК7, — — д =О, сЬ ЫМ вЂ” — Я вЂ” Я,Р ге О.
Ил (13.14) 1 Более общие уравнения равновесия стержня, нагруженного осевыми силамн н крутя шими моментами, когда после потери устойчивости осевая линия стержня становится пространственной кривой, приведены в учеб- нике В,А. Светлнцкого "Механика стержней" (М., Высш. шк. 1987). При потере устойчивости возможно появление распределенных сил еу, зависящих от прогибов стержня. Например, после потери устойчивости сжатого стержня, связанного с упругим основанием (см. рис. 4.47), при двухсторонней связи стержня с упругим основанием возникнут распределенные силы йк — — — шр (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
