В. И. Феодосьев - СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ (995486), страница 69
Текст из файла (страница 69)
З 4.7). Из уравнений равновесия в проекциях на декартовые оси получаем К полученным выражениям следует добавить еще два уравнения (см. 3 4.6) Не М вЂ” — — =О; дз Е.7я !ф — — 0=0, й где Е,1, — наименьшая изгибнел жесткость, которел в общем случае зависит от я. Из первого уравнения системы (13.14) находим осевую си- лу !Ь = — е,!я+С, 0 где С вЂ” произвольнел постояннел, определяемая из конкретных условий нагружения. Например, если стержень сжимается только силой Р (е = О) (см. рис. 13.1), то Я,, = С = — Р.
Если учитывать собственный вес стержня (йз = — е) и силу Р, то осевал сила !~, = ух+ С. При з = ! д, = -Р, поэтому Я = -Р— д(! — «). В результате систему уравнении, из которых можно определить критическое значение сосредоточенной силы Р н распределенной силы д для общего случая, когда при потере устойчивости появляются силы ея. (Ц вЂ” — д =О; Ыг ЫМ вЂ” — Я+ !У(я)д = О; Ыд М ~!я (13.15) — — — =О; оэ Е.7 Ыу — — д= О, Нз где !у(я) = Р+ д(! — «). Для стержня, лежащего на упругом основании с линейной характеристикой дя = -жу.
Систему уравнений можно привести к одному уравнению относительно перемещения у, последовательно исключая Я, М и д: (Е3яул)п + (Ф(л) у')'+ юу = О. (13.16) Полученное уравнение позволяет определять критические нагрузки (сосредоточенные и распределенные) для наиболее общего случил, когда изгибнал жесткость стержня переменив по его длине. При изгибе прямолинейного стержня в плоскости (см, систему уравнений (13.15)) при малых отклонениях точек осевой линии стержня всегда имеются четыре граничных условия (по два на каждом конце стержня). Поэтому решение уравнения равновесия стержня должно содержать четыре произвольные постоянные. Рассмотрим частный случай уравнения (13.16), когда жесткость стержня постоянна и он нагружен сосредоточенной сжимающей силой Р (упругого основания нет, т.е.
ж = О). Из (13.16) получаем у~~+ Й ун = О (йз = Р(Е3). (13.17) Интегрируя два раза это уравнение, находим у +я у=С13+Сз. (13.18) Общее решение уравнения (13.17) имеет вид С, С, у = Сз сов/си+ С431пйл+ — л+ —. йз йз Чтобы получить уравненке для определения критической силы, входящей в коэффициент Й, это решение должно удовлетворять четырем однородным граничным условиям. Рассмотрим несколько примеров на определение критической силы с использованием решения (13.19) уравнения (13.17). (13.19) П р и м е р 13лк Определить критическую силу для шестого случая закрепления концов стерягня, показанного на рис.
13.13. Граничные услоВня ИМЕЮТ СЛЕдуЮщмй Внд: Прн я = 0 у = у' = 0; Прн я = 1 я = ре = 0 (Ейяв' = 47). Из граничных условий прк з = О н я = ! имеем й'с +с =о; й~с<+ С, ю О; — Сз 3 ив Н + С< й соэ И + — = О," С< йз Сзйз э1п И вЂ” С<йз соя й! = О. (13 20) Получаем систему однородных алгебраических уравменмй относмтельно С! (! = 1,...,4). Лля существования нетривиального решения этой си- стемы необходмые, чтобы ее определитель В был равен нулю, т.е. 1,з О О 1 О йз — йэ1п Н 3 соя И 1/й О йзэгпН -йзсояИ О О = О.
(13.21) раскрыв определитель, получаем (13.22) ыпН = О. Наименьший отличный от нуля корень этого уравнения Так ках (Н)з = Р!з)(Е1), то критическое значение силы яз гЕу Р<э = з что соответствует значению козффмпнента д = 1, т.е. приближенное зна- чение д н точное в данном примере совпали. йзСз + Сз = О; йс+с =о; с с Сз соэ И + С< юп Н + — ! + — = 0; 1,г йз Сзйз соэН+ С<йз ага И = О. (13.23) 32О П р и м е р 13.5.
Определить критическую силу для последнего случая закрепления стержня, показанного на рмс. 13.13. Граничные условия имеютвид: прн я=о у=у'юо;прн з=! у=у"=О. Из граничных условий прм з = О и я = ! получаем Приравняв опредедитель системы уравнений (13.33) пупки О О 1 йз ягпы 11йз 1(йз й ягой О О (13.34) соз И й соеЫ после преобразований получаем уравнение для вычисленкя критичесиок силы: (13.33) Численное решение полученного уравиенкя дает наименыпий корень (Ы)ы, = 4,49. Тах как йз = Р(Е3, зо после преобразований находим уточненное значение козффипиента д = О, 699, что незначительно отличается от приближенного значения, равного 0,666. Если стержень имеет переменную изгибную жесткость или нагружен распределенной осевой нагрузкой, то получить аналитическое решение для системы (13.16) нельзя.
В этом случае для определения критической силы используют численные методы. Представим систему уравнений (13.15) при Оу — — -жу в виде векторного уравнения, введя вектор состояния системы Е: — +А2 = О, Н2 (13.26) г(г где Е ((.'), М, д, у), 0 0 1 Е,7 0 0 ж Ф 0 А= 0 0 1 0 Воспользовавшись методом начальных параметров (см. 3 4.6), получаем фундаментальную матрицу решений (задавшись числовым значением Р1 при известном д) и находим ре- шение л = К(л, Р1) С (К(0) = Е). (13.27) Например, для третьего случая закрепления, показанного на рис. 13.13, компоненты вектора 2( должны удовлетворять следуюшим граничным условиям: при 3 = 0 М = О, у = 0; при з = 1 1',> = О, д = О.
Поэтому Сз = Сз = О, а для определения С1 и Сз получаем два однородных алгебраических уравнения йы(1, Р1 ) С1 + йгз(1, Рг ) Сз = О; йз1 (1, Р1 ) С1 + йзз(г, Р1 ) Сз = О. (13.28) Лля существования нетривиального решения необходимо Конечно, при первом приближении Р1 определитель в нуль не обращается, поэтому решения проводят для ряда Р . Наименьшее значение Р„р, при котором .0 = О, является критическим значением сжимающей силы Р. В настоящее время при широком распростронении вычислительной техники и внедрении ее в учебный процесс изложенный вариант численного определения критической силы является наиболее эффективным.
13.5. Устойчивость плоской формы изгиба прямолинейного стержня ззв Хорошо известно, что в некоторых случаях плоскзл форма изгиба стержня становится неустойчивой н при потере устойчивости происходит изгиб в плоскости уОз н одновременно возникает кручение. Это наблюдается у стержней, имеющих большую жесткость в плоскости действйя внешних сил и ма.- лую жесткость — в плоскости уОз.
Рассмотрим стержень (рис. 13.18), нагруженный на концах моментами, действующими в вертикальной плоскости. Условия закрепления на концах будем считать допускающими свободный поворот сечения при изгибе как в одной, так и в другой плоскости и в то же время запрещающими поворот при кручении. Жесткость в плоскости заданных внешних моментов предполагаем достаточно большой. Это позволяет считать, что до потери устойчивости стержень сохраняет в основном прямолинейную форму, Представим себе, что стержень изогнулся в плоскости, перпендикулярной плоскости моментов 9Л, и одновременно закрутился.
На рис. 13.18 форма изогнутого стержня показана так, что перемешенне у и его первая и вторая произвопные положительны. Это исключает ошибку в знаках при составлении уравнений. Рис. 13.18 В произвольном сечении, расположенном на расстоянии х от левого конца, изгибной момент относительно оси я1 (см. рис. 13.18) равен М = -ЯИу, где ~р — угол поворота рассматриваемого сечения относительно продольной оси. Знак минус поставлен в связи с тем, что изгнбной момент направлен в сторону уменьшения кривизны.
Крутяший момент в том же сечении равен М„= 9Л8, где 9Л И вЂ” составляющая момента 9Л относительно оси з1 (см. рис. 13.18); д = у' — угол поворота сечения относительно вертикальной оси. Пользуясь известными соотношениями Е.78' = М; С.У„<р' = М„, получаем следуюшие дифференциальные уравнения: ЕЗФ = -9Л~р; С3к~Р = 9Лд. (13.30) Здесь под Е3 понимается жесткость стержня на изгиб в направлении, перпендикулярном плоскости действия внешних моментов ОИ.
Величина С.гх представляет собой жесткость на кручение. Исключив иэ уравнений (13.30) д, получим ,р" +йэ,р- О где и 921 2 С 7„ЕХ' (13.31) отсюда <р = С1 91пйя+ С2 соей». (13.32) и., = '-ча2.22. хр Выражение (13.32) принимает вид (рис. 13.19, а): ях <р = С1зш 1 Рис. 19.19 Воспользовавшись методом приведения длины, как это делали для сжатых стержней, можно установить, что в случае защемленных концов (рис. 13.19, б) о „= '— ,',/йУаг,.
вэо Функция у должна обращаться в нуль при я = О и х = 1. Значит, С2 = О и С1 згп И = О. Как и для шарнирно защемленного стержня, С2 = О, зшх1 = О. Наименьшее, отличное от нуля значение критического момента определяется из условия Ы = я. Согласно выражению (13.31), находим Задачи об устойчивости плоской формы изгиба при нагружении стержня поперечными силами оказываются существенна более сложными, чем рассмотренная выше, поскольку изгибающий момент в плоскости нагруження меняется вдоль оси. 13.6. Энергетический метод определения критических нагрузок Рассмотрим полную потенциальную энергию консервативной системы ( ( Ц = — ~ — = — ( Е,1у" Нг (У = Х „„). (13.34) Работа силы Р = Р' при потере устойчивости (стержень считается нерастяжимым) равна (рис.
13.20) А = ЛР'. (13.35) При малых отклонениях точех осевой линии стержня от оси з вертикальное перемешение точки приложения силы Р' равно (см. рис. 13.20) ( 1 ( ((з Л = ((Л = (Ыз — Нзсозу) = ~( — с(з, „~ 2 о о Рис. 13.20 Ыу или, так как д = —, с(з Л=-~ у (з. 1 Г,г о (13.36) (3~ Э= У+П= У вЂ” А, (13.33) где У вЂ” потенциальная энергия упругой информации стержня; П вЂ” потенциал внешних сил; А — работа внешних сил (П=-А). Потенциальнел энергия стержня при изгибе в плоскости уОз (частный случай выражения (5.3)) равна В результате получаем Э= -/ ЕЛу ~Ь вЂ” — ~ у Иг. 1 Г я2 Р / ~2 2/ (13.37) В соответствии с принципом Лагранжа, состояние равновесия консервативной системы устойчиво тогда и только тогда, когда ее полная потенцкальная энергия в этом состоянии минимальна, Сформулированный принпнп часто называют гаеоремоа Лагранэса-жиринке. Необходимое условие минимальности полной энергии заключается в том, что ее первая вариация равна нулю, т.е, (13.38) бЭ= О.
у =,б1е1(г), где 81 — произвольный постоянный множитель; е1(г) — функция, удовлетворяющая граничным условиям задачи. Подставив у в выражение (13.37), получим 2 Э = — ~ Е.уег дг — — Д ~ е1 сЬ. Р1 ( а2 Р 2 7 ~2 2 / 2 о о Первая вариация Э~ равна ( БЭ = 6,81 Е.ус~~' Нг — Р и~ Нг Первая вариация это аналог первой производной при исследовании функции на экстремум. Об устойчивости состояния равновесия, где выполняется условие (13.38), можно судить по знаку второй вариации б2Э. Если о2Э > О, то данное состояние равновесия устойчиво, если 32Э ( О, то состояние равновесия неустойчиво; и, наконец, при б2Э = О имеет место безразличное состояние равновесия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
