В. И. Феодосьев - СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ (995486), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Если рассматривают цилиндрическую оболочку, то также считают, что она имеет совершенную форму и нагрузка не отступает от предписвлных законов распределения. Идеальной системе сообщают отклонение от положения равновесия. Прн этом рассматривают отклонения, которые не только являются малыми, но и могут быть меньше любои наперед заданной малой величины. Если после устранения причин, вызвавших отклонение, система возвращается в исходное состояние равновесия, то последнее считается устойчивым, если же нет, то положение равновесия считается неустойчивым.
Силы инерпии, возникающие при деформациях системы не учитывают. Такая расчетнал схема позволяет рассчитывать систему на устойчивость и определять условия перехода от устойчивого состояния к неустойчивому. Параметры, характеризующие такой переход, называются криглическими. В частности, обобщенная сила, превышение которой приводит к переходу от устончивого равновесия к неустойчивому, называется критической силой. При расчете на устойчивость рабочую нагрузку назначают как л-ю долю критической. При этом под и понимают коэффичиекгл запаса усглойчиеосгли, значение которого, как и при расчетах на прочность, назначают в зависимости от конкретных обстоятельств, связанных со спецификой технологии, с условиями эксплуатации, а также со степенью ответственности конструкции.
Естественно, что расчет на устойчивость по коэффициенту заласа не исключает, а даже предполагает необходимость одновременной проверки конструкции по условиям прочности. 13.2. Определение критических нагрузок Чтобы более наглядно показать особенности подхода, который обычно используют при анализе устойчивости упругих систем, рассмотрим для начала простейшую механическую модель. вов На конце жесткого стержня (перевернутого маятника, показанного на рис.13.5) укреплен груз Р.
Внизу стержень имеет шарнир и удерживается в вертикальном положении упругои Р пружиной, имеющей линейную характеристику. Это значит, что прн повороте стержня на угол у Р в шарнире возникает момент, рав- ~з уз ный су, где с — жесткость пружины. Эта модель, обладая предель- М-су ной простотой, сохраняет в себе л все основные свойства, характер- Ы ные для более сложных задач, которые будут рассмотрены в даль- Рис. 1зл нейшем. Можно предположить, что при достаточно большой силе Р нли достаточно большой высоте расположения груза положение равновесия обращенного маятника станет неустойчивым; при малом отклонении стержня от вертикали пружина не сможет восстановить исходное состояние равновесия. В основе анализа устойчивости упругих систем лежит определение условий существования соседних форм равновесна.
Сообщим системе возмущение, т.е. примем, что маятник отклонился от вертикали на некоторый угол ~р (рис. 13.5, б), По какой причине это произошло, не имеет никакого значения. Приравняв момент силы Р шарнирному моменту, получим (13.1) Р1гйп у = су. Построим график зависимости РЦс = Д1з) (рис. 13.6). Прежде всего мы видим, что при у = 0 уравнение (13.1) справедливо прн любых значениях силы Р.
Значит, ось ординат принадлежит ксследуемому графику. Остальные ветви кривой определяются выражением у с аду которое будет верным, пока пружина сохраняет линейность характеристики. Прн значениях у, кратных 1г, график терпит разрыв, и происходит смена знака Р через бесконечность. Оно и понятно. Хогда угол поворота маятника приближается к я плечо силы уменьшается до нуля, а сама сила должна неограниченно возрастать (рис. 13.7). Если маятник протолкнуть через мертвую точку, то для того чтобы удержать его в новом положении равновесия, следует приложить силу обратного знака.
Рис. 13.7 Рис. 13.6 Теперь обратимся к вопросу, какие точкк на построечных кривых отражают устойчивые и какие — неустойчивые положения равновесия. Основным критерием устойчивости, как известно из механики твердого тела, является условие минимума полной потенциальной энергии системы. Например, для шарика, лежащего на дне лунки и занимающего устойчивое положение равновесия, потенциальнал энергия будет наименьшей по сравнению со всеми соседними положениями. Если шарик расположен на 510 вершине выпуклостк или на седловине (рис.
13.8), его положение равновесия бупет неустойчивым. Этот критерий применим, естественно, и к упругим системам, — конечно, с учетом потенциальной энергии деформации. Рнс. 13.6 В нашем случае полная потенциальнал энергия системы Э состоит из двух слагаемых: из потенциальной энергии груза Р1(1 — соя ~р) (см. рис. 13.5) и потенциальной энергии деформа- 1 цни пружины — су . Таким образом 2 1 1 Э = — су~ — Р1(1 — соя 1я). 2 дифференцируя это выражение по <р, получим ИЭ вЂ” = ~ир — Р! я1п~р. фр Если приравнять производную нулю, то мы придем к уравнению равновесия (13.1), на основе которого построены кривые, показанные на рис.
13.6. Значит, положение равновесия определяется экстремумом потенциальной энергии. Остается только решить, какие точки на построенных кривых соответствуют максимуму, а какие — минимуму потенциальной энергии. После второго дифференцирования получаем условие минимума (условие устойчивости) в виде следующего неравенства: с — Р1соя<р ) О. (13.2) Сначала рассмотрим вертикальное положение маятника (~р = О). Условие устойчивости выполняется при Р ( с/!. При вш силе, большей с/1, вертикальное положение маятника оказывается неустойчивым. Таким образом, все точки оси ординат, расположенные ниже точки бифуркации А, отражают устойчивое положение равновесия, а выше — неустойчивое. Прн ~р ф О условие устойчивости (13.2) удобно преобразовать с учетом уравнения равновесия (13.1).
Исключив силу Р, получим ввп ~р — ) сов ~р. У Легко установить, что на участке от — я до +я это условие выполняется. Следовательно, ветвь кривой ВАС, расположенная внутри этого интервала, отражает устойчивые положения равновесия, и по достижении силой критического значения происходит переход из неустойчивого вертикального положения к новому, устойчивому положению с отклоненной от вертикали осью.
Лругие ветви, показанные на рис. 13.6, в свою очередь также имеют участки как устойчивого, так и неустойчивого положения равновесия. Вернемся к уравнению (13.1). Если угол ~р считать малым, то в1п у = у, и тогда мы приходим к линеаризованному уравненкю (13.3) (Р1 — с) ср = О. Очевидно, это уравнение всегпа имеет тривиальное решение у = О, означающее, что при вертикальном положении маятника условие равновесия выполняется при любом значении Р. Имеется и второе решение: если ~р ф О, то Р = с/1. Следовательно, линеарнзованное уравнение (13.3) дает ту же самую точку бифуркации А, которую мы нашли нз нелинейного уравнения (13,1).
Но важно подчеркнуть, что линеаризованное уравнение не содержит никакой информации о конечных перемещениях системы при Р ) Р„р. Если задачу решать в малых перемещениях, а это, как мы увидим в дальнейшем, существенно упрощает дело, то мы можем определить критическую силу, но не сами величины перемещения. Пля исследования закритического поведения системы необходимо применять нелинейные соотношения. 612 13.3. Задача Эйлера Теперь мы можем перейти непосредственно к некоторым задачам об устойчивости упругих систем.
Начнем с дростейшей задачи о равновесии прямолинейного стержня, сжатого силой Р, линия действия которой совпадает с осевой линией стержня (рис. 13.9,а). Впервые эта задача была поставлена и решена великим математиком Л. Эйлером в середине ХЧП1 века. Поэтому часто, когда говорят об устойчивости сжатого стержня, употребляют выражения: "задача Эйлера" или "устойчивость стержня по Эйлеру". Рис. гв.е Положим, что по какой-то причине сжатый стержень несколько изогнулся.
Рассмотрим условия, при которых возможно равновесие стержня с изогнутой осью. На рис, 13.9, 6 показана часть стержня и действующие на нее силы. Отсеченная часть стержня находится в равновесии, поэтому сумма моментов относительно точки О равна нулю: (13.4) М+Ру = О, или Е3у" + Ру = О. (13.5) Изгиб стержня прн потери устойчивости происходит в плоскости минимальной жесткости, и поэтому под у здесь следует понимать минимальный момент инерции сечения. Обозначим — =й. Р 2 Е3 (13.6) Тогда уравнение (13Л) примет вкд И» + /с'р = О, (13.7) откуда (13.8) у = Сг в1пкя+ Свсовкв. Постоянные С1 и Сз находим из граничных условий (в = 0 и в = 1). В рассматриваемом случае имеем при в = 0 у = 0; приз=1 у=О.
В результате получаем систему однородных алгебраических уравнений С1 О+Сз 1=0; Сг в~в И+ Сз сов И. Как кзвестно из линейной алгебры, чтобы система однородных линейных уравнений имела нетривиальное решение, необходи- мо, чтобы ее определитель был равен нулю, т.е.
В=бег, =О. Раскрывая определитель, находим в1п И = О. (13.9) В данном простом примере уравнение (13.9) можно получить и без выписывания определителя. Из условия при в = 0 у = 0 следует, что Сз = 0; а из условия при з = ! у = 0 получаем С1 в1пИ = О. Произвольная постоянная С1 ф О. При С| = Сз = 0 получаем тривиальное и = О, которое нас не интересует, так как при новой форме равновесия стержня его осевая линия не прямолинейна.
Поэтому в1п И = О. Но в более сложных задачах, требующих использования вычислительной техники, для определения критических сил определитель необходим. Из уравнения (13.9) следует, что И = яп, где и — произвольное целое число. Учитывал выражение (13.6), получаем Р = язпзЕ,7/1з. Это означает, что для того чтобы стержень сохранял криволинейную форму, необходимо, чтобы сила Р принимала определенное значение. Наименьшая сила Р, отличная от нуля, будет при и = 1: ягЕ1 яд р (13.10) Эта сила носит название э71лероеой или кригаическо71 силы. При а = 1 имеем И = 7г, и уравнение упругой линии (13.8) принимает вид яг у = С1 з1п —. Стержень изгибается по полуволне синусоиды с максимальным прогибом С1. При любом целочисленном значении п у=С1з1п™, 1 и упругая линия стержня изображается кривой в виде к полу- волн (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
