341_3- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.3_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2002 -576с (987779), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Варнационпое псчигление 453 Эта задача вариационного исчислении называстсп задачей Лагранжа. Введем функцию Лазраижа рассматриваемой задачи Е(х, у„..., у„, у'„..., у,'„Л„..., Л,„) = — г(х Уа У» У~ Ул) + па +~ Л,(х)ьэ,(х, уы ..., Уа, у',, ...,. у,',), (25) ~=1 где Л;(х) 6 С~[а; б) — произвольные функции (множители Лазранжа). При решении задачи Лагранжа используется следующее необходимое условие экстремума функционала (22). Теорема 6 'э).
Если функции уа(х), ..., У„(х) доставляют слабый экстремум функционалу (22) при условиях (24), (25), то суисесгпауют множители Лаераижа Л,(х), 1 = 1, ..., тп, при которых эти функции удовлетворяют системе уравнений Эйлера (26) Ь вЂ” — Е =О, У=1,...,п, дх записанных для функционала 1(ую ..., Уа) = / Ь дх.
а С помощью теоремы 6 решение задачи об условном экстремуме функционала .1(уы ..., Уа) сводится к исследованию экстремума функцио-. нала 1(уы..., Уа) без дополнительных условий (24). При использовании теоремы 6 длп решения задачи Лагранжа искомыс функции уя(х), Й = 1, ..., и, и множители Лагранжа Л,(х), э' = = 1, ..., п1, определтотсп из системы н + т уравнений (26) и (24). Пример 10.
Найти функции у~(х), уэ(х), на которых может достигатьсп экстремум функционала д(ды уэ) в следующей задаче Лагранжа: д(уа уэ) = (у, + уэ ) дх; о дэ (0) = рэ(0) = О, рэ(1) = 2сЬ 1, уэ(1) = 2эЬ 1; у~ уэ = О. (э з Функция Лагранжа данной задачи имеет вид Ь = у', + уэ + Л(у',— — у ). Длп определения функций у~(х), дэ(х) и Л(х) запишем систему, 'э) Эта теорема обобщает соответствующий результат длп задачи на условный экстремум фунлпнн и переменных (см.
Часть 2, стр. 214). Гл. 17. Методы оптимизации 454 состоящую из уравнений Эйлера (26) и уравнения связи: 2У",+ Л' = О, 2дз'+ Л = О, р( — рз = О. Исключал из этой систсллы сначала функцию Л(х), а затем рг(х), получим рз' — рз = О. Обозначим рз буквой з, тогда з" — з = О. Общее решение этого уравненил з(х) = Сге'+ Сзе '. Отсюда последовательно находим рз(х) = з(х)г1х = Сгез — Сзе ' + Сз, рг(х) — рз(х)г1х = Сге + Сзе + Сзх + С4. Для определения постоянных Сг,..., Сз пз граничных условий получаем следующую систему уравнений: Уг (О) = Сз + Сз + С4 — О рэ(0) = С, — С.
+ Сз = О, Уг(1) = Сзе+ Сзе '+ Сз+ С,г = 2сЬ1, рз(1) = Сге — Сзе ' + Сз —— 2зЬ1, откуда находим Сз = Сз = 1, Сз = С» = О, т.е. в данной задаче функционал Г(рг, уз) может достигать экстремума при рг(х) = е' + +е *=2сЬх,Уз=с' — е *=2зЬх. ~> Найти функции р,(т), уэ(х), на которых мол<от достигаться экстремум функционала у(ры рэ) в следующих задачах Лагранжа. з/2 17438 У(ры Уг) = (Уз +Рэ — Рг — Уэ + совх) г(х; о рз(0) = рэ(0) = Ьй(п/2) = 1, уэ(п/2) = — 1; рг рэ в(их = О. 1 17.439.
У (1гы рэ) = (рг + 2рэ + рэ~) г(х; о уг(0) = -2, уэ(0) = 1, ЬО(1) = -е, рэ(1) = 0; гэ рг — рэ — — О. Гл. 17. Методы оптимизации 456 Задача на условный экстремум функпионала (22) с граничными условиями (23) при дополнительных условиях ь Г,(х, уг, ..., ун, у'„..., у„') дх = Со ! = 1, ..., т '"), (27) а называетсп изопериметрической задачей. Функции Лагранжа данной задачи имеет вид Х(х,уг,...,у„,уг,...,у'„,Лг,...,Л )= = Е(х, уг, ..., уо, у'„..., у'„) + ~ Лгу!(х, уг, ..., у„у',, ..., у„'), г=! (28) Х,д„— — Хд — — О, 1=1, ...,и, дх (29) где Х вЂ” функция Лагранжа (28).
При использовании теоремы 7 длп решении изопериметрической задачи функции ув(х), й = 1, ..., и, и множители Лагрангка Л;, ! = 1,..., т, находптсн из системы и+ гп уравнений (29) и (27). Пример 11. Найти функцию у(х), на которой может достигаться зкстремум функционала д(у) в следующей изоперилгетрической задаче; д(у) = / у дх; о у(0) = 1, у(гг) = — 1; / усовхдх = —. 2 о и) В данном случае, в отличие от задачи Лагранжа, число дополнительных ограничений ке ограннчиваетсл условием т ( и. где множителями Лагранжа Ло ! = 1, ..., т, являются произвольные вещественные числа.
При решении изопериметрической задачи используется следующее необходимое условие экстремума, подобное условию, сформулированному в теореме 6 длп задачи Лагранжа. Теорема 7. Если функции уг(х), ..., у„(х) доставляют слабый экстремум функционалу (22) при условиях (23), (27), то суиьествуют числа Лг, ..., Л (множиглели Лагранжа), при которых эти функции удовлетворяют системе уравнений Эйлера Э б.
Вариацнонное исчисление 457 з Функция Лагранжа данной задачи имеет вид Х = у' + Лусовх. Из ,г Л уравнения Зйлера Лсовх — 2у = О находим у(х) = — — созх+С1х+Сз. 2 Длл определения множители Лагранжа Л используелл дополнительное / Л а У условие ~ — — соэх+С1х+Сз) совх4х = — — Л вЂ” 2С1 —— —, откуда 2 ) 4 2' е 8 находим Л = — 2 — — См Такил1 образом, общее решение уравнении 4 Зйлера имеет вид у(х) = соэ х + — Сл соз х + С~ х + Сз. Постопнные С| и Сз определлем из граничных условий у(О) = 1 + + — С|+Се — — 1, у(ж) = — 1+~а — -) С,+Се = — 1, откуда С1 = Ст = О.
Итак, функционал 7(у) люжет достигать экстремума при у(х) = соэх. с Найти функции, на которых может достигатьсл экстремум функционала 7(уы ..., у„) в следуюгцих изопериметрических за- дачах: 17.446.,7(у) = у' с(х; о 1 у(0) = (0), у(1) = 1; хус(х = О. о 1 17.447.,7(у) = у' г(х; о 1 1 у(0) = у(1) = 0; у Йх = 1, ху ф = О. о о 17.448. 7(у) = у' Йх; о у(0) = О, у(п) = 1; узцлхс(х = О. о Гл. 17. Методы оптимизации 458 17.449..7(у) = уяпхдх; о у(0) = (0), у(л) = и; у~ Нх = -л, о 1 17.450.,7(у) = (у' + у ) Ых; о 1 у(0) = О, у(1) = е ~; Ге *УИх = — (1 — Зе г). 4 о 17.451..7(у~, уг) = у~уз сЬ; о у~(0) = уг(0) = уг(1) = О, уг(1) = 1; 1 1 Г уз Их = 1, уг <Ь = О.
о о 1 17.452.,7(уы уг) = (у~ + уг) Нх; о у,(0) = у,(0) = О, у,(1) = 1, у,(1) = -8; 1 Г улуг дх = О. о 17.453. 7(У~, Уг) = У~ Угих~ о у~(0) = уг(0) = уг(1) = О, уг(1) = 1; 1 1 Г ху~ с~х = О, хуг Их = О. 3 б. Париапиолное исчисление 459 17.454.,1(у!, Уз) = (у! + !дэ ) с1х; о у!(О) = уо(0) = у!(1) = уз(1) = О, у!Ут с(х = — 2. о 17.455.,1(уг, ут) = х(д! — ут) с)х; о д,(0) = у,(0) = д,(Ц = О, д,(1) ! 4 д!У2 Пх 5 о = 2. ,1(у) = / Г(х, у, у') дх, у(а) = уо, у(Ь) = у!. (30) и Идел метода Рптца состоит в том, что значении функционала д(у) рассматриваются не на произвольных допустимых кривых вариационной задачи (30), а лишь на всевозмох!ных линейных комбинациях вида У„(х) = Ро(х) + ~ ~С,~Р,(х), ~=! (31) где 'Ро(а) = уо, ~Ро(Ь) = у! и ~Р,(х) — последовательность линейно независимых функций, причем !Р!(а) = ~р!(Ь) = О, ! = 1, 2, ..., п.
Эти функции называются координатными. 5. Прямые методы вариациониого исчисления. Обычные методы вариационного исчисления, при использовании которых задача минимизации функционала сводится к интегрированию уравнений Эйлера- Лагранжа, как правило, приводят к трудоемким вычислениям и поэтому нвлнютсп малоэффективными. Приближенные численные методы, дающие непосредственное решение вариационной задачи, называютсн прямыми меглодами вариаиионного исчисяен я. Основная иден прямых методов заключаетсп в том, что варнационнал задача рассматривается как предельнал для некоторой задачи на экстремум функции конечного числа переменных.
Наиболее известными среди них пвлпются меп!оды Рооп!а, Канторовича и Г леркина. Следует отл!етитсн что прямые методы вариационного исчислении квллютсп также и приближенными методами решения краевых задач дифференциальных уравнений. М с т о д Р и т ц а. Пусть требустсп найти минимум функционала Гл. 17. Методы оптимизации 460 На функциях вида (31) функционал (30) превращается в функцию, зависяшую ат и переменных С!, См ..., Сьл У(у (х)) = Ф(С!, Ст, ..., С„). Значения С!, Ст, ..., С„выбираются так, чтобы функция Ф(С!, Ст,..., ..., С„) достигала зкстремума, т.с. С!, Сз,..., С„определяются из системы уравнений дФ вЂ” =О, л=1,2,...,п. дС! (32) При найденных из системы (32) значениях С,", 1 = 1, 2, ..., и., приближенное решение вариационной задачи (30) запишется в виде п у„*(х) = ч!о(х) + ~ ~С р,(х).
1=1 (33) Вопросы сходимости минимизируюшей последовательности (у„"(х), х Е И) являются сложными. Они изучаются в специальной литературе. Для оценки точности результатов, полученных ллстодом Ритца или другими прямыми методами, обычна пользуются следующим практическим правилом. Вычислив у„*(х) и у„'л!(х), сравнивают их между собой в нескольких точках отрезна [о, б]. Если в пределах требуемой точности их значения совпадают, то считают, что с требуемой точностью решение рассматриваемой вариационной задачи (30) равно у„*(х). Если же значения у,',(х) и у„*л!(х) хотя бы в некоторых из выбранных точек отличаются значительно, та вычисляют у„'л (х) и сравнивают теперь значения у„*л!(х) и у„*лз(х). Этот процесс продолжается до тех пор, пака значения у„"ч л(х) и у„'лл лл(х) не совпадут в пределах заданной точности. Пример 12.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
